压缩行列式

A. 高数，雅可比行列式问题。

其实雅可比行列式的推导和线性代数有关，因为当你换元时，图形的形状是改变了的，根据矩阵的秩秩的相关知识，相当于压缩了雅可比行列式的值的维数，所以要乘回雅可比行列式

B. 什么是行列式

行列式

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

数学定义

n阶行列式

设

但对于阶数n≥4的方阵A，这样的主对角线和副对角线分别只有n条，由于A的主、副对角线总条数 = 2n < (n − 1)n < n! = Sn的元素个数

因此，行列式的相加项中除了这样的对角线乘积之外，还有其他更多的项。例如4阶行列式中，项a1,2a2,3a3,1a4,4就不是任何对角线的元素乘积。不过，和2、3阶行列式情况相同的是，n阶行列式中的每一项仍然是从矩阵中选取n个元素相乘得到，且保证在每行和每列中都恰好只选取一个元素，而整个行列式恰好将所有这样的选取方法遍历一次。

另外，n×n矩阵的每一行或每一列也可以看成是一个n元向量，这时矩阵的行列式也被称为这n个n元向量组成的向量组的行列式

C. n阶三角矩阵的上三角元素值相等,进行压缩存储时,该值存储在下标为多少的数组

摘要 三角行列式计算公式为：(-1)^(n(n-1))/2a1na2，n-1...an-1，2an1，三角行列式，无论是上或下，它的行列式里，只有主对角线(右斜顺乘)不含零元素，其余右斜顺乘或左斜逆乘的项都有零元素，这些乘积项就都为零了，所以行列式就只是(剩下)主对角线各元素的乘积。

D. 实对称矩阵行列式的值怎么求，求方法！！！！！！

解: |A-λE|=

|2-λ 2 -2|

|2 5-λ -4|

|-2 -4 5-λ|

r3+r2 (消0的同时, 还能提出公因子, 这是最好的结果)

|2-λ 2 -2|

|2 5-λ -4|

|0 1-λ 1-λ|

c2-c3

|2-λ 4 -2|

|2 9-λ -4|

|0 0 1-λ|

= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8] (按第3行展开, 再用十字相乘法)

= (1-λ)(λ^2-11λ+10)

= (10-λ)(1-λ)^2.

如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，而且该矩阵对应的特征值全部为实数，则称A为实对称矩阵。

主要性质：

1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4.若λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

之前恰有j个元素，即ai0,ai1,…,ai,j-1，因此有：

sa[i×(i+1)/2+j]=aij

③aij和sa[k]之间的对应关系：

若i≥j，k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2

若i<j，k=j×(j+1)/2+i0≤k<n(n+1)/2

令I=max(i，j)，J=min(i，j)，则k和i，j的对应关系可统一为：

k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2

（3）对称矩阵的地址计算公式

LOC(aij)=LOC(sa[k])

=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d

通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。

E. 怎么判断特征值是否线性无关

组成一个矩阵，求秩，矩阵的秩=向量个数时无关，矩阵的秩<向量个数时相关
如果向量维数等于向量个数，把这些向量构成一个行列式，如果值非0则线性无关。

如果向量维数大于向量个数，需要取所有的向量维数等于个数的缩短组，计算行列式，如果存在非0则线性无关。

另外还可以施密特正交化，如果在某一步后得到0向量则线性相关。
①行列式是针对方阵的

②行列式=0，意味着空间压缩，比如本来三维的，压缩成了二维的平面（本来不在同一维度上的东西压缩到了同一维度），线性相关

②行列式><0(不等于0），意味着空间未压缩，维度不变，线性无关
1、定义法

令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。

2、向量组的相关性质

（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；

（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；

（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；

（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。

（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的

F. 矩阵的行列式是什么

矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。行列式的意义是变换后，空间的膨胀系数。要理解行列式，先理解向量的叉积。

三维矩阵的行列式是三个向量所张成的体积。

一个变换，在特征向量所张成的坐标系下，是一个对角矩阵。对角线上的数字，是对应基向量的特征值。特征值表示的是，矩阵对单位基向量的缩放倍数。也就是说，特征值代表着映射到另一个空间的单一维度的缩放比例。

对角矩阵的行列式等于特征值的乘积。这一点，从特征值和行列式的意义，不难直接得出。

如果行列式不为零，代表变换对每一个维度的缩放都不为零。所以这个映射是可逆的。矩阵是满秩的。原空间和映射之后的空间的维度是相等的,映射后的空间与原空间在体积上扩大的倍数等于行列式，等于各个维度缩放倍数的乘积，也就是等于所有特征值的乘积。

如果行列式为零，代表变换至少对一个维度的压缩到了零点。所以这个映射是多对一的，矩阵不可逆。矩阵是非满秩的。原空间和映射之后的空间的维度是不相等的，映射之后的空间维度降低了。向量空间经过矩阵映射之后，被压缩了。

G. 行列式的本质

1，行列式是针对一个的矩阵而言的。表示一个维空间到维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成维空间中的一个新立方体。

2，原来立方体有一个体积，新的立方体也有一个体积。

3，行列式是一个数对不对？这个数其实就是 ，结束了。

就这么简单？没错，就这么简单。

所以说：行列式的本质就是一句话：

行列式就是线性变换的放大率！

理解了行列式的物理意义，很多性质你根本就瞬间理解到忘不了！！！比如这个重要的行列式乘法性质：



道理很简单，因为放大率是相乘的啊~！

你先进行一个变换，再进行一个变换，放大两次的放大率，就是式子左边。
你把“先进行变换，再进行变换”定义作一个新的变换，叫做“”，新变换的放大律就是式子右边。

然后你要问等式两边是否一定相等，我可以明确告诉你：too simple 必须相等。因为其实只是简单的把事实陈述出来了。这就好像：

“ 你经过股票投资，把1块钱放大3被变成了3块钱，然后经过实业投资，把3块钱中的每一块钱放大5倍成了5块钱。请问你总共的投资放大率是多少？”



翻译成线性代数的表达就是：



这还不够！我来解锁新的体验哈~

上回咱们说到行列式其实就是线性变换的放大率，所以你理解了：


那么很自然，你很轻松就理解了：


so easy，因为


同时你也必须很快能理解了

“矩阵可逆” 完全等价于 “”

因为再自然不过了啊，试想是什么意思呢？不就是线性变换把之前说的维立方体给拍扁了啊？！这就是《三体》中的”降维打击”有木有！！！如来神掌有木有！！！直接把3维立方体 piaji一声~一掌拍成2维的纸片，纸片体积多少呢？当然是 0 啦！

请注意我们这里说的体积都是针对维空间而言的， 就表示新的立方体在 维空间体积为0，但是可能在维还是有体积的，只是在 维空间的标准下为0而已。好比一张纸片，“2维体积”也就是面积可以不为0，但是“3维体积”是妥妥的0。

所以凡是的矩阵都是耍流氓，因为这样的变换以后就再也回不去了，降维打击是致命性的。

H. 为什么我算的行列式结果与答案不对

第一步第三行最后一个应该是负的12而不是负8，而且行列式之间不能用箭头！应该用两条横线表示，而且还要写上行初等变换的符号，c几减c几，望采纳

I. 能帮我找一些特殊行列式的计算方法吗

那什么算是一般呢？你有那个题目或者类型不会呀。特殊行列式的话概念很多啊，有广义行列式，压缩行列式，量子行列式。行列式的堆，紧密树等。