压缩映像定理

❶ 证明压缩映像原理

f的绝对值不大于a
若a=1
则f的绝对值不大于1
则f在[-1，1]之间啊
则f存在不动点。

❷ 什么是不动点

动点，是一个函数术语，在数学中是指“被这个函数映射到其自身一个点”。
不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理或巴拿赫（Banach）不动点定理，完整的表达：完备的度量空间上，到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。用初等数学可以这么理解：连续映射f的定义域包含值域，则存在一个x使得f(x)=x 不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上。 假设X是拓扑空间， f:X→X是一个连续映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就称x是不动点。

❸ 不动点的原理

不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理或巴拿赫（Banach）不动点定理，完整的表达：完备的度量空间上，到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。用初等数学可以这么理解：连续映射f的定义域包含值域，则存在一个x使得f(x)=x
不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上。 假设X是拓扑空间， f:X→X是一个连续映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就称x是不动点。

❹ 什么是不动点

动点,是一个函数术语,在数学中是指“被这个函数映射到其自身一个点”.
不动点原理是数学上一个重要的原理,也叫压缩映像原理或巴拿赫（Banach）不动点定理,完整的表达：完备的度量空间上,到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点.用初等数学可以这么理连续映射f的定义域包含值域,则存在一个x使得f(x)=x 不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上.假设X是拓扑空间,f:X→X是一个连续映射,且存在x∈X,使得f(x)=x,就称x是不动点.

❺ 压缩映射原理的证明

度量空间(M,d)上的压缩映射，或压缩，是一个从M到它本身的函数f，存在某个实数，使得对于所有M内的x和y，都有：满足以上条件的最小的k称为f的利普希茨常数。压缩映射有时称为利普希茨映射。如果以上的条件对于所有的都满足，则该映射称为非膨胀的。 更一般地，压缩映射的想法可以定义于两个度量空间之间的映射。如果(M,d)和(N,d')是两个度量空间，则我们寻找常数k，使得对于所有M内的x和y。 每一个压缩映射都是利普希茨连续的，因此是一致连续的。 一个压缩映射最多有一个不动点。另外，巴拿赫不动点定理说明，非空的完备度量空间上的每一个压缩映射都有唯一的不动点，且对于M内的任何x，迭代函数序列x，f (x)，f (f (x))，f (f (f (x)))，……收敛于不动点。这个概念在迭代函数系统中是非常有用的，其中通常要利用压缩映射。巴拿赫不动点定理也用来证明常微分方程的解的存在，以及证明反函数定理。

❻ 介绍函数不动点

函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身一个点
不动点原理
不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理或Banach不动点定理，完整的表达：完备的度量空间上，到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。用初等数学可以这么理解：连续映射f的定义域包含值域，则存在一个x使得f(x)=x 不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上。 假设X是拓扑空间， f:X→X是一个连续映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就称x是不动点
不动点应用
1 利用f(x)的不动点解方程（牛顿切线法）
2 利用f(x)的不动点求函数或多项式的解析式
3 利用f(x)的不动点讨论n-周期点问题
4 求解数列问题（求解一阶递归数列的通项公式）
5 求解一阶递归数列的极限

❼ 是压缩映像原理还是压缩映射原理

是压缩映像原理

❽ 数学分析关于压缩映像原理的一道题目！！

如图所示，用到中学的递推数列求通项公式的方法也可以哦

❾ f(x)=x的根是f(x)的不动点,怎么理解这句话,它的几何意义是什么

不动点
函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身一个点。例如，定义在实数上的函数f，
f(x) = x2 -3x + 4，
则2 是函数f的一个不动点，因为 f (2) = 2。
也不是每一个函数都具有不动点。例如 f(x) = x + 1就没有不动点。因为对于任意的实数，x永远不会等于x + 1。用画图来说，不动点意味着点 (x,f(x)) 在直线y = x上，或者换句话说，函数f的图像与那根直线有共点。这个例子的情况是，这个函数的图像与那根直线是一对平行线。

不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理或Banach不动点定理，完整的表达：
完备的度量空间上，到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。
用初等数学可以这么理解：
连续映射f的定义域包含值域，则存在一个x使得f(x)=x

不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上。

假设X是拓扑空间， f: : X→X是一个连续映射， 且存在x∈X， 使得f(x) = x, 就称x是不动点。

❿ 用压缩映像原理证明方程 只有唯一的解x=0

条件应该是a ∈ (0,1)吧.
考虑映射f: R → R, f(x) = a·sin(x).
对任意x, y ∈ R, |f(x)-f(y)| = a|sin(x)-sin(y)|
= 2a|sin((x-y)/2)cos((x+y)/2)|
≤ 2a|(x-y)/2| (|sin(t)| ≤ |t|, |cos(t)| ≤ 1)
= a|x-y|.
a ∈ (0,1), 故f是完备度量空间R上的压缩映射.
由压缩映射原理, f在R上存在唯一不动点, 即x = f(x)恰有1个解.
然而易见x = 0已经是1个解, 所以是x = a·sin(x)的唯一解.

说实话这里使用压缩映像原理有点多余, 对x ≠ 0直接用|sin(x)| < |x|放缩即可.