數學組合演算法

『壹』 數學排列組合公式都有哪些

排列的定義：從n個不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數,下同）個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號 A(n,m）表示。

計算公式：

此外規定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,也就是6！=6x5x4x3x2x1[1]

組合的定義：從n個不同元素中，任取m(m≤n）個元素並成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符號 C(n,m) 表示。

計算公式：

；C(n,m)=C(n,n-m）。（n≥m)

其他排列與組合公式 從n個元素中取出m個元素的循環排列數=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n個元素被分成k類，每類的個數分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數為 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k類元素，每類的個數無限，從中取出m個元素的組合數為C(m+k-1,m）。

符號

常見的一道題目

C-Combination組合數[2]

A-Arrangement排列數（在舊教材為P-Permutation）

N-元素的總個數

M-參與選擇的元素個數

！-階乘

基本計數原理

⑴加法原理和分類計數法

⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在

組合恆等式(2張)

第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

⒉第一類辦法的方法屬於集合A1，第二類辦法的方法屬於集合A2，……，第n類辦法的方法屬於集合An，那麼完成這件事的方法屬於集合A1UA2U…UAn。

⒊分類的要求 ：每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同（即分類不重）；完成此任務的任何一種方法，都屬於某一類（即分類不漏）。

⑵乘法原理和分步計數法

⒈乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。

⒉合理分步的要求

任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續完成這n步才能完成此任務；各步計數相互獨立；只要有一步中所採取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同。

3.與後來的離散型隨機變數也有密切相關。

組合數的奇偶

奇偶定義：對組合數C(n,k)(n>=k）：將n,k分別化為二進制，若某二進制位對應的n為0，而k為1 ，則C(n,k）為偶數；否則為奇數。

下面是判定方法：

結論：

對於C(n,k），若n&k == k 則c(n,k）為奇數，否則為偶數。

證明：

對於C(n,k），若n&k == k 則c(n,k）為奇數，否則為偶數。

證明：

利用數學歸納法：

由C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1）；

對應於楊輝三角：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

………………

可以驗證前面幾層及k = 0時滿足結論，下面證明在C(n-1,k）和C(n-1,k-1) (k > 0) 滿足結論的情況下，

C(n,k）滿足結論。

1）.假設C(n-1,k）和C(n-1,k-1）為奇數：

則有：（n-1）&k == k;

（n-1）&(k-1） == k-1;

由於k和k-1的最後一位（在這里的位指的是二進制的位，下同）必然是不同的，所以n-1的最後一位必然是1

。

現假設n&k == k。

則同樣因為n-1和n的最後一位不同推出k的最後一位是1。

因為n-1的最後一位是1，則n的最後一位是0，所以n&k != k，與假設矛盾。

所以得n&k != k。

2）.假設C(n-1,k）和C(n-1,k-1）為偶數：

則有：（n-1）&k != k;

（n-1）&(k-1） != k-1;

現假設n&k == k.

則對於k最後一位為1的情況：

此時n最後一位也為1，所以有（n-1）&(k-1） == k-1，與假設矛盾。

而對於k最後一位為0的情況：

則k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意個0。

相應的，n對應的部分為：1{*}*; *代表0或1。

而若n對應的{*}*中只要有一個為1，則（n-1）&k == k成立，所以n對應部分也應該是10。

則相應的，k-1和n-1的末尾部分均為01，所以（n-1）&(k-1） == k-1 成立，與假設矛盾。

所以得n&k != k。

由1）和2）得出當C(n,k）是偶數時，n&k != k。

3）.假設C(n-1,k）為奇數而C(n-1,k-1）為偶數：

則有：（n-1）&k == k;

（n-1）&(k-1） != k-1;

顯然，k的最後一位只能是0，否則由（n-1）&k == k即可推出（n-1）&(k-1） == k-1。

所以k的末尾必有一部分形如：10;

相應的，n-1的對應部分為：1{*}*;

相應的，k-1的對應部分為：01;

則若要使得（n-1）&(k-1） != k-1 則要求n-1對應的{*}*中至少有一個是0.

所以n的對應部分也就為 ：1{*}*; （不會因為進位變1為0)

所以 n&k = k。

4）.假設C(n-1,k）為偶數而C(n-1,k-1）為奇數：

則有：（n-1）&k != k;

（n-1）&(k-1） == k-1;

分兩種情況：

當k-1的最後一位為0時：

則k-1的末尾必有一部分形如：10;

相應的，k的對應部分為 : 11;

相應的，n-1的對應部分為 : 1{*}0; （若為1{*}1，則（n-1）&k == k)

相應的，n的對應部分為 : 1{*}1;

所以n&k = k。

當k-1的最後一位為1時：

則k-1的末尾必有一部分形如：01; （前面的0可以是附加上去的）

相應的，k的對應部分為 : 10;

相應的，n-1的對應部分為 : 01; （若為11，則（n-1）&k == k)

相應的，n的對應部分為 : 10;

所以n&k = k。

由3），4）得出當C(n,k）為奇數時，n&k = k。

綜上，結論得證。

『貳』 數學里的排列組合是怎麼回事 它的公式是怎麼計算的

排列：就沒有重復，但是有順序的排放。比如1，2，3的排列有：123,132,213,231,312,321。
n個數的排列計算思路是：第一個位置上n個數都可以放；第二個位置上能放除了第一位置上數以外的所數，即n-1個。。。。。。以次類推。可以算出所有排列共有：n*(n-1)*...*1個。
n選m個數的排列，用這個思路可以得出：n*(n-1)*...*(n-m+1)
【共m個數相乘】
組合就是沒有重復，但也沒有順序的排放。如上面1，2，3的排列中，這些數都是由123組成的，是同一個組合。（比如S.H.E的組合，這三個人怎麼站，都是一個組合）
n選m個數的組合計算思路是：先算出n選m個數的排列：n*(n-1)*...*(n-m+1)
在算出同一組數有排列：m*(m-1)*...*1
可以得出組合數為：n*(n-1)*...*(n-m+1)
/
[m(m-1)*...*1]

『叄』 高中數學排列組合公式有哪些

高中數學排列組合公式如下：

排列A(n,m)=n×（n-1）。（n-m+1）=n!/（n-m）!(n為下標,m為上標,以下同)。

組合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m)=n!/m!（n-m）!。

例如A(4,2)=4!/2!=4*3=12。

C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6。

加法原理與分布計數法：

1、加法原理:做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法...在第n類辦法中有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有N=m1+m2+m3+.. +m種不同方法。

2、第一類辦法的方法屬於集合A1,第二類辦法的方法屬於集合A2...第n類辦法的方法屬於集合An,那麼完成這件事的方法屬於集合AUA2....UAn。

3、分類的要求:每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重) ;完成此任務的任何一種方法，都屬於某一類(即分類不漏)。

『肆』 組合計算公式

組合數的計算公式為：

組合是數學的重要概念之一，它表示從 n 個不同元素中每次取出 m 個不同元素，不管其順序合成一組，稱為從 n 個元素中不重復地選取 m 個元素的一個組合。所有這樣的組合的種數稱為組合數。

n 元集合 A 中不重復地抽取 m 個元素作成的一個組合實質上是 A 的一個 m 元子集和。如果給集 A 編序成為一個序集，那麼 A 中抽取 m 個元素的一個組合對應於數段到序集 A 的一個確定的嚴格保序映射。

(4)數學組合演算法擴展閱讀

組合數的性質：

1、互補性質：即從n個不同元素中取出m個元素的組合數=從n個不同元素中取出 (n-m) 個元素的組合數；這個性質很容易理解，例如C(9,2)=C(9,7)，即從9個元素里選擇2個元素的方法與從9個元素里選擇7個元素的方法是相等的。

2、組合恆等式：若表示在 n 個物品中選取 m 個物品，則如存在下述公式：C(n,m)=C(n,n-m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)。

『伍』 數學排列組合 A上3下3怎麼算

A上3下3指3個數的全排列，即為3*2*1＝6。A上1下5等於5。

排列可分選排列與全排列兩種，在從n個不同元素取出m個不同元素的排列種，當m<n時，這個排列稱為選排列；當m=n時，這個排列稱為全排列。n個元素的全排列的個數記為Pn，

就是說，n個不同元素全部取出的排列數，等於正整數1到n的連乘積。正整數一到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示。我們規定0！=1。

(5)數學組合演算法擴展閱讀：

排列組合計算方法如下：

排列A(n,m)=n×（n-1）.（n-m+1）=n!/（n-m）!(n為下標,m為上標,以下同)

組合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!（n-m）!；

例如：

A(4,2)=4!/2!=4*3=12

C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6

『陸』 高中數學排列組合公式Cnm（n為下標，m為上標）=n！/m！（n-m）！是怎麼來的

n個排列，第一個有n種可能，之後第二個有n-1可能，然後第三個n-2可能，……最後一個只有1種可能，於是得到n個排列種數n!

對於每一種排列，都存在m個選中的排列m!，n-m個沒有選中的排列(n-m)!種重復的計算，所以組合數量就是 (總數/重復計算的次數)= n! / m!(n-m)!

Cnm=Anm/Amm.

式中，排列數Anm、全排列數Ann的表示法：

（1）連乘表示：Anm=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)

（2）階乘表示：Anm=n!/(n-m)!

Ann=n(n-1)(n-2)...3*2*1=n!

(6)數學組合演算法擴展閱讀

排列組合c計算方法

C：指從幾個中選取出來，不排列，只組合。

C(n，m)=n*(n-1)*...*(n-m+1)/m!

例如：c53=5*4*3÷(3*2*1)=10；再如C(4,2)=(4x3)/(2x1)=6。

計算概率組合C的方法

從8個中任選3個：C上面寫3下面寫8，表示從8個元素中任取3個元素組成一組的方法個數，具體計算是：8*7*6/3*2*1；如果是8個當中取4個的組合就是：8*7*6*5/4*3*2*1。

『柒』 關於數學排列組合，A什麼的C什麼的到底怎麼算舉個例子。。

A開頭的叫排列，C開頭的叫組合。

排列A(n,m)=n×（n-1）.（n-m+1）=n!/（n-m）!(n為下標,m為上標,以下同)

組合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!（n-m）。

註：當且僅當兩個排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同，則兩個排列相同。例如，abc與abd的元素不完全相同，它們是不同的排列；又如abc與acb，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列。