溫州雷達演算法

㈠ 雷達跟蹤演算法 為什麼要2維fft

不在同一距離門，一般情況下都不是同一個目標，你還進行FFT幹嘛？
fft主要是用於對處於同一距離、同一速度的目標進行積累；同時抑制掉處於同一距離、不同速度的雜波或其他目標的干擾。
當然有時候速度太快，出現跨距離門情況，需要運動補償

㈡ 雷達信號處理演算法有哪些

你都不說你的作用 演算法多了去了。後面識別的 提取特徵的 都可以叫做信號處理

㈢ 多個雷達監測多個目標，怎樣確定目標的個數用什麼演算法進行目標識別

你好！
監測多個目標不一定要用多個雷達。
可以用RFbeam的KOR-001類似的多目標識別雷達感測器，天線一發四收，可以識別幾十個目標的速度、距離、方位信息。
如有疑問，請追問。

㈣ 雷達是怎麼運行的怎麼計算物體的距離和方位

一個雷達只能測距離，不能測方位
一個雷達通過發射的電磁波碰到物體反射回來接收器，計算發射和接受之間的時間差，再乘以光速，再除以2得到雷達距離物體的距離。

如果有好幾個雷達的話，就可以確定物體的具體位置了，通過以各個雷達為圓形，各個雷達測得的距離為半徑作圓，各個雷達作出的圓一定會有一個公共的焦點，這個焦點就是物體的位置。

㈤ 如何計算雷達距離解析度計算公式

FMCW雷達的最大距離公式如下：

其中，c是自由空間中的光速，Kr是帶寬展寬因子，與進行IDFT處理前使用的權函數有關，BW是調頻帶寬。

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FMCW雷達原理：

調頻連續波雷達的系統架構和信號處理過程具有高度耦合的特點。雷達提供的信息必須經過處理才能確定目標的距離。

調頻連續波雷達的簡要原理框圖如圖所示，其中OCS1為壓控振盪器(VCO)，其輸出信號頻率隨輸入控制電壓線性變化。頻率調制通過調諧OSC1的調諧電壓Vtune實現。因此，通過線性遞增調節Vtune，實現了線性調頻信號。

產生的信號波形經過AMP1放大後送到功分器SPLTR1，功分器將信號分成兩路，一路送到天線ANT1輻射出去，一路送到混頻器MIX1的LO口。

ANT1天線輻射出去的波形在空間中傳播，經過目標的散射反向傳播回雷達，其中一部分能量被ANT2天線所接收。天線2接收的波形相對於發射波形有一定的延時。

天線2接收的信號經過低雜訊放大器LNA1放大傳輸到混頻器MIXR1的RF埠。在混頻器MIXR1中，延遲散射波與發射波相混頻。

㈥ 求在進行多雷達精確定位時的一種定位演算法.

在實際情況中，往往使用更多雷達進行精確定位。在採用多基雷達進行飛行目標空中定位測量，主要為一發（T或T/R）多收（R）的多基系統，為集中式結構，
系統配置為一個主站（發射/接收）和三個分站（接收），主站與分站之間通過信號同步網路實現在時域、頻域、空域上的嚴格同步。空間同步採用數字波束形成（DBF）技術，工作於脈沖追趕方式或同時多波束方式，各站將所測得的目標數據通過數據傳輸網路傳輸到中處理機，進行點跡相關、定位與跟蹤處理。觀測模式為主站（T/R）發射雷達信號，並能測量目標距離 !或方位角 ，分站 測量距離差 方位角 或者其中之一的觀測量。在此種觀測模式下，目標的空間定位面為回轉雙曲面。因此我們設計了多基雷達目標定位演算法。具體演算法為：
設 為在笛卡兒坐標下某一地面站 的站址坐標，j=0,1,2,3. 為空中飛行目標的位置矢量， . 為飛行目標至地面站 的距離，j=0,1,2,3. 為主目標斜距觀測量與分站至目標斜距觀測量之差值。 ,其中 為主站與某一分站接收雷達反射信號的到達時間差i=1,2,3.
顯然，測量的斜距差 是空中飛行目標位置矢量 的函數，有
fj(r)=s0-sj-pj=0 (3)
sj=[(x-xj)^2+(y-yj)^2+(z-zj)^2]^1/2
要獲得空中目標三維位置矢量 ，利用每一時刻測得的3個 值，
可得到如（3）式所示的三個獨立方程，用矩陣表達式為 ,其中，f(r)=[f1(r) f2(r) f3(r)]^T .
要從上述非線性測量方程中獲得精確的空間目標位置估計值，一個比較通用的方法是作泰勒級數展開，先給出一個飛行目標的初始估值 作為一個參考點，然後將測量函數 在 處作泰勒展開並進行線性化處理，有f (r)=f|r0+G|r0*(r-r0) (4)
式中，G是雅克比矩陣，定義為 .由（3）式和（4）式又可獲得空間目標位置矢量新的估計值 r=r0-G^-1*f|r0 （5）
然後，再將求出的估計值 作為新的初值，重復上述過程，又可獲得在 處的空中目標位置矢量估計 ，這樣重復對目標位置進行迭代計，直到使估計值均方誤差滿足要求的精度。在上述過程中，由於採用了泰勒級數展開，存在一個線性化模型誤差。在實際解算時，也可以根據測量位置精度要求設置泰勒級數展開的階數，從而使得模型化誤差小得可以忽略。

㈦ 激光雷達的工作原理

激光雷達最基本的工作原理與無線電雷達沒有區別，即由雷達發射系統發送一個信號,打到地面的樹木、道路、橋梁和建築物上，引起散射，經目標反射後被接收系統收集，通過測量反射光的運行時間而確定目標的距離。

至於目標的徑向速度，可以由反射光的多普勒頻移來確定，也可以測量兩個或多個距離，並計算其變化率而求得速度，這也是直接探測型雷達的基本工作原理。

激光雷達的作用就是精確測量目標的位置（距離與角度）、形狀（大小）及狀態（速度、姿態），從而達到探測、識別、跟蹤目標的目的。

激光雷達是一種雷達系統，是一種主動感測器，所形成的數據是點雲形式。其工作光譜段在紅外到紫外之間，主要發射機、接收機、測量控制和電源組成。

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激光雷達分類

一般來說，按照現代的激光雷達的概念，常分為以下幾種:

1、按激光波段分，有紫外激光雷達、可見激光雷達和紅外激光雷達。

2、按激光介質分，有氣體激光雷達、固體激光雷達、半導體激光雷達和二極體激光泵浦固體激光雷達等。

3、按激光發射波形分，有脈沖激光雷達、連續波激光雷達和混合型激光雷達等。

4、按顯示方式分，有模擬或數字顯示激光雷達和成像激光雷達。

5、按運載平台分，有地基固定式激光雷達、車載激光雷達、機載激光雷達、船載激光雷達、星載激光雷達、彈載激光雷達和手持式激光雷達等。

6、按功能分，有激光測距雷達、激光測速雷達、激光測角雷達和跟蹤雷達、激光成像雷達，激光目標指示器和生物激光雷達等。

7、按用途分，有激光測距儀、靶場激光雷達、火控激光雷達、跟蹤識別激光雷達、多功能戰術激光雷達、偵毒激光雷達、導航激光雷達、氣象激光雷達、偵毒和大氣監測激光雷達等。

㈧ 雷達脈沖信號怎樣分析怎麼確定是屬於那種雷達信號

雷達系統中採用的脈沖信號難以定性分析，這是因為脈沖寬度和脈沖重復頻率不是常數，並在很大程度上依賴於雷達的模式，其有力地阻止了採用射頻功率計作為工具，通過平均功率來計算脈沖信號的峰值功率。此外，必須測量許多參數才能有效地表徵脈沖信號，包括峰值和平均功率、脈沖波形及脈沖外形，其中包括了上升時間、下降時間、脈沖寬度和脈沖周期。其他測量包括載波頻率、佔用頻譜、載波占空比、脈沖重復頻率和相位雜訊。頻譜分析儀為工程師提供了測量脈沖寬度、峰值功率、相位雜訊，以及許多其他重要參數的最佳解決方案。考察脈沖信號 脈沖信號包含了很多跨越廣泛頻率范圍的頻譜線(圖1)。結果可有三種顯示方式，這有賴於脈沖和分辨帶寬(RBW)等參數。如果RBW小於頻譜線間距，改變它不會改變其測量水平。帶寬窄於包絡中第一個無效間距(1/脈沖寬度)就可以顯示包絡頻譜。最後，如果帶寬寬於無效間距，帶寬內的整個頻譜下降，這意味著該信號的頻譜無法顯示。隨著帶寬的進一步增加，響應接近脈沖的時域函數。依靠脈沖參數，還可以計算出脈沖降敏因子，這減少了頻譜分析儀脈沖帶寬內的測量水平。在這種情況下，標記讀數加上降敏因子等於峰值功率。 RBW值對脈沖信號的測量很重要，這是因為在測量水平上RBW的改變產生變化。脈沖降敏因子取決於脈沖參數和RBW，如果帶寬大於頻譜線的間距，所測得的幅度依賴於帶寬和總信號帶寬內的頻譜線數目。儀器中的濾波器形狀決定著RBW校正因子，這是因為帶寬的形狀反映了濾波器帶寬內的功率。如果RBW太寬，頻譜線或包絡頻譜變成時域譜，並且RBW濾波器的脈沖響應變得很明顯。 在時域使用頻譜分析儀，就有可能獲得脈沖寬度的直接測量。峰值標記允許峰值功率的測量，而增量標記允許參數的測量，例如上升時間、下降時間、脈沖重復間隔及過沖。通過寬RBW和視頻帶寬(VBW)，頻譜分析儀可以追蹤射頻脈沖的包絡，以便可以看到脈沖的沖擊響應。最高RBW/VBW限制了頻譜分析儀測量窄脈沖的能力，並且通用規則長期以來一直認為最短的脈沖是可測的，其脈沖寬度應大於或等於2/RBW 。 雷達系統通常在射頻脈沖內採用調制。了解這種調制的功率特性很重要，這是因為雷達范圍受到脈沖內可獲得功率的限制。反過來說，更長的脈沖長度將導致有限的解析度。調制制式可能的范圍從簡單的FM(調頻)到復雜的數字調制制式，其可以支持現代頻譜分析儀。頻譜分析儀也可以測量傳統的模擬調制脈沖(AM、FM、相位調制) 。此外，其還可以執行分析功能，這涉及許多數字調制制式的解調制，如射頻脈沖內的巴克碼BPSK調制、脈沖到脈沖的相位測量等。 脈沖功率測量和探測器 在雷達發射機中，測試輸出功率是一個重要的測量，並且可以採用幾種不同類型的測量。平均功率通常採用功率計作為均值功率測量。另一個重要的值是峰值功率，且如果脈沖重復頻率(PRF)和脈沖寬度已知，就可以計算出所測到的平均功率。 在頻譜分析儀上採用光柵掃描CRT顯示器(或LCD)來顯示時域信號波形。這些顯示器中的象素數目，在振幅軸以及在時間(或頻率)軸是有限的。這導致幅度和頻率或時間的有限解析度。為了顯示掃描到的全部測量數據，探測器被用來將數據采樣壓縮到顯示像素許可的數量。 對於峰值功率的測量，頻譜分析儀具有峰值檢測器，其可以顯示某個給定測量區間內的最高功率峰值。然而，對於調幅信號的平均功耗測量，如脈沖調制信號，頻譜分析儀中的峰值探測器是不適合的，這是因為峰值電壓與信號功率無關。然而，這些儀器也提供了抽樣探測器或rms探測器。 抽樣探測器每個測量點檢查包絡電壓一次，並顯示結果，但這可能引起信號信息的總損耗，這是因為可在屏幕x軸上獲得的像素數量是有限的。rms探測器在ADC的全采樣率下采樣包絡信號，並且單個像素范圍內的所有采樣被用於rms功率的計算。因此，rns探測器顯示了比抽樣檢測器更多的測量樣本。 通過將功率計算公式用於所有樣本，每個像素都代表了rms探測器測量的頻譜功率。對於高重復性，可以通過掃描時間來控制每個象素的樣本數量。越長的掃描時間，時間間隔上每個像素的功率積分也隨之增加。在脈沖信號下，可重復性依賴於像素內的脈沖數量。對平滑部分，穩定的rms追蹤結果，掃描時間必須設為足夠長的值，以便在一個像素內捕捉幾個脈沖。rms探測器計算所有樣本的rms值，這由屏幕上的一個單一像素來線性地代表。 為了精確測量脈沖調制信號的峰值和均值功率，該儀器的IF帶寬和ADC轉換器的采樣率必須足夠高，以便其不會影響脈沖的形狀。例如，羅德與施瓦茨(R&S)公司的FSP頻譜分析儀中可以獲得10MHz分辨帶寬和32MHz采樣率，在脈沖寬度窄至500ns的高精度下測量脈沖調制信號是可能的。 測試設備實例 對本文中的測量例子，R&S SMU信號發生器被用於創建模擬雷達信號，並且輸出信號是AM調制射頻載波。利用任意波形發生器來產生寬頻AM調制，以創建一個具有500 ns脈沖寬度和1kHz PRF的脈沖序列。脈沖水平隨時間變化，來模擬長期平均功率測量的天線旋轉效果。 對於測量峰值功率，頻譜分析儀必須設為足夠寬的RBW和VBW以便在脈沖寬度內穩定。在這種測量中，RBW和VBW設為10MHz。頻譜分析儀設到零跨度，並顯示功率隨時間的變化。掃描時間設為允許探測單一脈沖的值。頻譜分析儀採用視頻觸發來顯示穩定的脈沖形狀顯示。脈沖寬度被改變，並且採用100ns、200ns和500ns的脈沖寬度來繪制三個測量結果，從而研究分辨濾波器穩定時間帶來的影響。典型峰值功率測量的三個結果如圖2所示。 藍色虛線是採用500 ns脈沖寬度測量的，並在脈沖頂部顯示出一個平坦響應。綠色虛線是採用200 ns脈沖寬度測量的。此值等於計算得到的穩定時間。該測量中的峰值水平剛剛達到500 ns脈沖的實測值。標記1(T2)被設為峰值，顯示為9.97dBm。該脈沖寬度是10MHz分辨帶寬下可以准確測量的最小值。紅色實線是採用100ns脈沖寬度測得的，其短於分解濾波器的穩定時間。在該圖中，增量標記讀數「Delta 2 (T3)」設定為峰值，並顯示出對歸一化脈沖水平大約3dB的損耗。很專業的問題，希望能幫到你。

㈨ 請問雷達成像演算法中的時域反轉鏡技術具體計算過程是怎樣的謝謝~

雷達成像基於目標的散射點模型.雷達通常發射長時寬的線頻調(chirp)信號，然後用參考信號對回波作解線頻調(dechirp)處理，再將解線頻調的回波作橫向排列，則在一定條件下它可近似為二維正弦信號模型，通過二維傅里葉變換，可以重構目標的二維像；採用超分辨演算法［1～3］，還可得到更精細的二維目標像.
應當指出，上述二維模型是假設散射點在成像期間不發生超越分辨單元走動，近似認為散射點的移動隻影響回波的相移，而子回波包絡則固定不變.這種近似，只適用於小觀察角時參考點附近有限小尺寸目標成像.
如果目標較大，特別是在離參考點較遠處，越分辨單元移動(MTRC)便會發生，從而使得用簡單二維模型獲得的圖像模糊.傳統解決的方法是按目標轉動用極坐標-直角坐標插值.插值不可避免地會有誤差，而超分辨演算法通常基於參數化估計，對誤差較為敏感，這會影響成像質量.
本文介紹一種近似度較高的二維模型，並利用該模型通過超分辨演算法成像，可獲得較好的結果.
二、維回波模型
設目標有K個散射點，雷達以平面波自下向上照射目標(圖1).目標以參考點為原點相對雷達射線轉動，經過N次脈沖發射，散射點Pk點移至P′k點，移動中第n次脈沖時該散射點的垂直坐標為：
ykn=yk+Δykn=xksin(nδθ)+ykcos(nδθ),n=0,1,…,N-1(1)
式中δθ為相鄰脈沖的轉角，總觀測角Δθ=(N-1)δθ.考慮到雷達發射的是長時寬的線頻調信號，以原點為參考作解線頻調處理，並對信號以 的頻率采樣，得目標的回波信號(離散形式)為：
(2)
式中Ak為第k個散射點子回波信號的復振幅;fc、γ分別是雷達載頻和調頻率，c為光速；e(m,n)為加性雜訊.

圖1二維雷達目標幾何圖
由於觀測角Δθ很小，取近似sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1，則式(2)可近似寫成:
(3)
式中
式(3)指數項中的第三項是時頻耦合項，它是線頻調信號(其模糊函數為斜橢圓)所特有的，如果採用窄脈沖發射，則該項不存在.將該項忽略，則式(3)成為常用的回波二維正弦信號模型.
實際上，式(3)的第三項系「距離移動」項，它與散射點的橫坐標xk成正比，目標區域大時必須考慮，而且這還遠遠不夠，散射點的多普勒移動也必須考慮.為此，令sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1-(nδθ)2/2，則式(2)較精確的近似式可寫成：
(4)
式(4)與式(3)相比較，指數中增加了兩項，其中前一項是「多普勒移動」項，縱坐標yk越大，影響也越大，這可以補充式(3)之不足；而後項是時頻耦合的多普勒移動項，由於Mγ/Fs<<fc，它的影響可以忽略.因此，可將考慮MTRC情況下，回波二維模型的一階近似式寫成：
(5)
需要指出，每個散射點的參數之間存在下述關系：ωk/μk=2γ/Fsfcδθ2和 k/vk=fcFs/γδθ.由於雷達參數(fc,γ,Fs)和運動參數(δθ)均已知，所以待估計的五個參數中只有三個是獨立的.本文假設五個參數是獨立的，而在成像計算中已考慮參數之間的關系.
設{ξk}Kk=1≡{αk,ωk, k,μk,vk}Kk=1，現在我們要從y(m,n)中估計參量{ξk}Kk=1.
三、二維推廣的RELAX演算法
對於(5)式所示的信號模型，令：
Y=［y(m,n)］M×N
則 (6)
式中

設ξk估計值為 ，則ξk的估計問題可通過優化下述代價函數解決：
(7)
式中‖.‖F表示矩陣的Frobenius范數，⊙表示矩陣的Hadamard積.
上式中C1的最優化是一個多維空間的尋優問題，十分復雜.本文將RELAX［3］演算法推廣以求解.為此，首先做以下准備工作，令：
(8)
即假定{ i}i=1,2,…,K,i≠k已經求出，則式(7)C1的極小化等效於下式的極小化：
C2(ξk)=‖Yk-αk(aM(ωk)bTN( k)Pk)⊙Dk(vk)‖2F(9)
令：Zk=YkP-1k⊙Dk(-vk)(10)
由於Pk為酉矩陣，矩陣Dk的每個元素的模|Dk(m,n)|=1,顯然矩陣Yk與Zk的F范數相同，故C2的極小化等效於下式的極小化：
C3=‖Zk-αkaM(ωk)bTN( k)‖2F(11)
對上式關於αk求極小值就獲得αk的估計值 k：
k=aHM(ωk)Zkb*N( k)/(MN)(12)
從式(12)可以看出： 是Zk歸一化的二維離散傅里葉變換在{ωk, k}處的值，所以只要得到估計值{ k, k, k, k}，即可通過2D-FFT獲得 k.
將估計值 k代入式(11)後，估計值{ k, k, k, k}可由下式尋優得到：
(13)
由上式可見，對於固定的{μk,vk}取值,估計值{ k, k}為歸一化的周期圖|aHM(ωk)Zkb*N( k)|2/(MN)主峰處的二維頻率值.這樣，式(13)的優化問題歸結為：在(μk,vk)平面上可能的取值范圍內尋找一點{ k, k}，在該點處周期圖|aHM(ωk)Zkb*N( k)|2/(MN)的主峰值比其餘各點處的主峰值都大.所以，我們通過上述二維尋優獲得{μk,vk}的估計值{ k, k}，再由式(13)得到{ωk, k}的估計值{ k, k}.
實際中，為了加快運算速度，二維(μk,vk)平面的尋優可以用Matlab中的函數Fmin()實現.
在做了以上的准備工作以後，基於推廣的RELAX演算法的參量估計步驟如下：
第一步：假設信號數K=1,分別利用式(13)和式(12)計算 1.
第二步(2)：假設信號數K=2，首先將第一步計算所得到的 1代入式(8)求出Y2，再利用式(13)和式(12)計算 2；將計算的 2代入式(8)求出Y1，然後利用式(13)和式(12)重新計算 1，這個過程反復疊代，直至收斂.
第三步:假設信號數K=3,首先將第二步計算所得到的 1和 2代入式(8)求出Y3，再利用式(13)和式(12)計算 3；將計算的 3和 2代入式(8)求出Y1，然後利用式(13)和式(12)重新計算 1；將計算的 1和 3代入式(8)求出Y2，然後利用式(13)和式(12)重新計算 2，這個過程反復疊代，直至收斂.
剩餘步驟：令K=K+1,上述步驟持續進行，直到K等於待估計信號數.
上述過程中的收斂判據與RELAX演算法的收斂判據相同，即比較代價函數C1在兩次疊代過程中的變化值，如果這個變換值小於某個值，如ε=10-3，則認為過程收斂.
四、數值模擬
1.演算法參數估計性能模擬
模擬數據由式（5）產生，M=10,N=10，信號數K=2.信號參數和實驗條件如表1所示,為復高斯白雜訊.注意兩信號的頻率差小於FFT的解析度Δf=Δω/(2π)=0.1.表1給出了信號參數估計均方根誤差的統計結果及相應情形時的C-R界，可見，估計均方根誤差與CR界十分接近.另外表中還給出了估計均值，與真實值也非常接近.
表1二維信號的參數估計、CRB及與均方根差的比較

2.SAR成像模擬
雷達參數為：中心頻率f0=24.24GHz,調頻率γ=33.357×1011Hz/s,帶寬B=133.5MHz,脈沖寬度tp=40μs.四個點目標作正方形放置，間隔50米，左下角的點作為參考點.雷達與目標間隔1公里，觀察角Δθ=3.15，數據長度為128×128.採用FFT成像方法時，其縱向和橫向距離解析度為ρr=ρa=1.123米，防止MTRC現象發生所需的目標最大范圍為［4］：縱向尺寸Dr＜4ρ2r/λ=40米，橫向尺寸Da＜4ρ2a/λ=40米.採用常規超分辨方法時，目標尺寸Dr=Da＞10米則出現明顯的性能下降.圖2、圖3分別給出了RELAX方法及本文推廣的RELAX(Extended RELAX)演算法的成像結果.可以看出，由於目標遠離參考中心，已在橫向和縱向出現距離走動，採用常規超分辨的RELAX演算法產生圖像模糊，對於本文演算法，則得到基本正確的成像結果.圖4和圖5則比較了RELAX演算法和推廣的RELAX演算法的散射點強度估計結果，可以看到，RELAX演算法由於距離走動影響，散射點（除參考點以外）的強度降低.對於本文演算法，散射點強度接近真實值.

圖2距離走動誤差下的RELAX成像結果 圖3距離走動誤差下的

圖4RELAX方法估計的信號強度推廣RELAX成像結果 圖5推廣RELAX方法估計的信號強度
五、結束語
現有的雷達成像超分辨演算法是基於目標回波信號的二維正弦信號模型，所以僅適用於目標位於參考點附近很小區域時的情形.當目標遠離參考點時，模型誤差，特別是距離走動誤差，將使演算法性能嚴重下降或失效.為此，本文提出一種基於雷達成像近似二維模型的超分辨演算法,從而擴大了超分辨演算法的適用范圍.本文進一步的工作包括SAR實測數據成像及ISAR機動目標成像，結果將另文報道.
附 錄：參數估計的C-R界
下面我們給出式(5)所示的二維信號參量估計的C-R界表達式.同時假設式(5)中加性雜訊為零均值高斯色雜訊，其協方差矩陣未知.令：
y=vec(Y)(A.1)
e=vec(E)(A.2)
dk=vec(Dk)(A.3)
式中vec(X)=(xT1,xT2，…，xTN)T，向量xn(n=1,2,…,N)為矩陣X的列向量.我們將式(5)改寫為如下向量形式：
(A.4)
式中 表示Kronecker積,Ω=［{［P1bN( 1)］ aM(ω1)}⊙d1…{［PkbN( K)］ aM(ωK)}⊙dK］,α=(α1，α2，…，αK)T.
令Q=E(eeH)為e的協方差矩陣，則對於由式(A.4)所示的二維信號模型，其Fisher信息陣(FIM)的第ij個元素推廣的Slepian-Bangs公式為［5,6］:
(FIM)ij=tr(Q-1Q′iQ-1Q′j)+2Re［(αHΩH)′iQ-1(Ωα)′j］(A.5)
式中X′i表示矩陣X對第i個參數求導，tr(X)為矩陣的跡，Re(X)為矩陣的實部.由於Q與Ωα中的參量無關，而Ωα亦與Q的元素無關，顯然FIM為一塊對角陣.所以待估計參量的C-R界矩陣由(A.5)式的第二項得到.
令：η=(［Re(α)］T［Im(α)］TωT TμTvT)T(A.6)
式中ω=(ω1，ω2，…，ωK)T,μ=(μ1,μ2,…,μK)T, =( 1， 2，…， K)T,v=(v1,v2,…,vK)T.
令：F=［ΩjΩDωΘD ΘDμΘDvΘ］(A.7)
式中矩陣Dω、D 、Dμ、Dv的第k列分別為： ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ ωk、 ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ k、 ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ μk、 ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ vk，Θ=diag{α1α2…αK}.則關於參量向量η的CRB矩陣為
CRB(η)=［2Re(FHQ-1F)］-1(A.8)