規劃開銷演算法

① 家庭開銷如何規劃

相信很多人在平常的家中，都是由女人管賬，而男人基本上都不太會理財，那麼對於一個家庭裡面的開銷肯定是需要進行控制和規劃的，想要准確控制家庭開銷應該怎樣做呢？其實，對於開銷的控制肯定需要記賬，只有把每一筆開銷和收入都記下來，這樣子才能夠更好的保證我們有一個合理的調控，才不會出現亂用錢的情況，特別是對於一些家中相對來說，經濟情況不是特別好的人，更需要進行一定的規劃，這樣子才能夠避免出現大手大腳之後過得很狼狽的情況，相信很多學生在學校期間也會出現這樣子的現象，在剛開始得到生活費的時候可能會比較浪費，然後到後面可能就只能吃土。

所以，這也足以看出來，大家在平常的生活中進行理財和規劃的重要性，對待錢財一定要進行一定的控制，不能說有錢的時候就隨意亂用，有錢的時候就要想到沒錢的日子，該花的花，不該花的時候就盡量節省一點。

很多人在家中可能也會採用記賬的方式，這相對來說也是比較好的合理規劃每一筆開銷，這樣子才能夠更好地幫助我們對自己當前經濟狀況的一種了解，才能夠更好的控制住自己的花銷。

總的說來，一個家庭的開銷肯定是需要進行控制和規劃，這樣子才能更好地保證正常運行，不然很有可能就會導致一段時間有錢花一段時間沒錢花的情況，這樣子肯定是不行的。

② 日常生活中，你是如何規劃經濟支出的

作為一名上班族，放工資的第一件事就是及時處理好這筆錢，我是這樣規劃的。
計算從發工資這一刻開始到下一次發工資，自己明確知道的要花的哪些錢，計算得出預估，把這個預估加上生活費預算，這就是這個月留在手邊的生活開銷費用；剩下的前，我會把四分之三轉到固定的銀行卡上，這張卡不在我身邊也沒有開手機銀行，保證了定期定額存錢，把餘下的四分之一作為夢想金放如某金融平台，能賺取一些存錢收益，同時也為突發狀況急需用錢提供保障，但這筆錢不是特殊情況絕對不動。
因為上班，我只能保證儲蓄而不敢去理財，這個是未來要學習提升的地方。

③ 在日常的生活中，我們究竟應該如何規劃自己的生活花銷

在我們的日常生活中，在很多地方都是需要花費的，但我們掙得錢是有限的，所以我們要合理的規劃自己日常的生活花費，把錢用在刀刃上是我們追逐的一個目標。一個會規劃自己生活的人一定是一個精緻的人，而且他也會在生活中順利一些，有規劃後遇到一些緊急事件我們也有辦法對抗，也算是為自己生活的旅行保駕護航。那麼我們應該如何規劃生活中的花費呢？下面就由我來給大家分幾個方面分析一下。

首先我們應該知道自己一個月會有多少錢的收入，把收入的百分之五十是要用在家裡的開銷，比如需要還的車貸房貸，加上家裡人一個月的吃飯和日用品開銷，還有需要買一些衣服等等，這些都可以統稱為日常開銷，這些日常開銷最合理的佔比是總收入的百分之五十，因為保證一個家庭最基本生活就是由這部分錢來完成的，所以它佔到了我們花銷的最大一塊。

以上就是我對自己生活花銷的一個規劃，在保證家庭穩定的情況下，去做一些理財是我的推薦。

④ 怎麼合理規劃旅行預算

旅遊預算需要涵蓋旅行中的衣、食、住、行、玩、購以及不可預見的各類開支。參考以下步驟，能夠幫你更輕松合理地規劃旅行預算。

每年制定一份年度旅行總預算。在你每年制定開支預算的時候，根據自己或家庭的旅遊需要，譬如說人數、次數、出遊的日期、目的地等，預留一部分款項作為旅遊開支。如果只是初步有出門旅遊計劃的話，可以根據往年的旅遊開支預留一部分金額作為未來旅遊開支。

如果是自助游，則需要在細節上精打細算。根據要去的國家、城市、景點，綜合交通、住宿、門票、租車、購物等列出費用清單，算出大致的旅行費用。

此外還應該預備旅遊應急款項，出門在外總有些意料之外的開銷，大家可預留整體旅遊費用的5%-10%作為備用資金。將這些費用加總起來，就是你的旅遊預算總金額。

⑤ 如何規劃家庭開支

每個工薪家庭每月總有固定的收入，如何將每月的收入做好支出的計劃，就是理財至關重要的一環。首先，除了留下自己必要的零花錢外，將剩餘部分全部拿出作為全部家庭基礎基金；其次，列舉出當月的基礎開支，如水、電、燃氣、暖氣等費用；列出當月生活費用開支(這里主要指伙食費)；再留少部分其他開支，如換季需添的衣物等(這個當然不是每月都要支出，但是每月都要有的)。列出開支後，拿出33個信封，第一個信封封基礎開支，不到用時不要動這份錢；第二個信封封那份其他開支，動不動用這個當然視情況而定，這個月不用，下個月自然就可以大舉購物一番了；其餘的三十一個信封當然是封平均每天的生活費了，每天只用當天的，用不完可留到第二天用，用超了，就只好第二天少用嘍！

⑥ 動態規劃演算法（pascal）

在計算夠不夠開銷時
20%這個數據是廢的
你可以先減去預算再考慮存多少錢
比如手頭錢的數目為a
預算為b
存在媽媽處的錢為c
可以先從a中減去b
然後c就等於c+a
div
100
*100
var
略
begin
a:=0;
c:=0;
bo:=true;
for
i:=1
to
12
do
begin
read(b[i]);
inc(a,300);
if
a<b[i]
then
begin
writeln(i);
bo:=false;
break;
end
else
begin
c:=c+a
div
100*100;
dec(a,b[i]);
a:=a
mod
100;
end;
end;
if
bo
then
writeln(a+c+c
div
5);
end.

⑦ 三分鍾就能掌握家庭資產配置

家庭理財投資時，大家腦海中會出現一個聲音，雞蛋不能放到一個籃子，需要分散投資，降低風險。

那如何配置資金呢？

投資到哪些不同的資產類別上呢？

每個資產配置的比例又是多少呢？

今天一一媽媽就給大家介紹一個比較通用的工具：標准普爾家庭資產象限圖。

我做了一個思維導圖，最近迷上思維導圖了，簡單，條理清晰，看看我初學的思維導圖運用的如何，羞羞噠的展示來了

現在分別介紹一下：

第一個賬戶：日常開銷賬戶，我稱之為消費的錢

這個標准普爾家庭象限，給到的佔比是10%，一般用於家庭的日常開銷。

主要哦，就這一部分，咱們也都可以靈活運用金融的工具：信用卡50天的免息額度，直接綁定微信上or支付寶上，然後保持你銀行現金的部分投資入你的投資金融賬戶，比如余額寶，理財通類對接貨幣基金的部分。

這個賬戶的主要目的了，就是保障我們日常現金流的正常開銷，衣服，尿不濕，計劃中的短期旅行。

這部分的規劃重要，因為在我的理財咨詢過程中，發現這部分也是我們最容易出現佔比不合理的部分：

要麼過多，不去打理，而積攢在銀行活期，無法讓資金產生價值。

要麼過少，當有合適投資機會出現，但投資產品又有門檻的時候，發現往往沒有對應的資金。

要麼就是投資的時候，總是惦記投資不能投資長期，而常常在短期項目中倒騰來去。

那這部分具體實操如何計算呢，很簡單，算一下平均每個月的開支是多少，然後乘以3或者6，也就是保障為自己准備一個3-6個月的日常應急金。

第二個賬戶：杠桿賬戶，也就是家庭風險保障資金准備

佔比20%，所謂杠桿，就是小資金撬動大資金，為將來不確定的突發事件，保駕護航。

這個賬戶呢，保障家庭成員儲蓄意外事故，重大疾病，有足夠的錢來保命的同時，不影響家庭其他成員生活品質。這個賬戶主要是意外和重大疾病，商業保險，撬動杠桿，投入成本小，保障大。

家庭購買保險的順序，我之前文章中也多次提到：

意外-意外醫療-住院醫療-重大疾病-養老金及專項保險基金

那保費支出如何計算呢：

這部分給到佔比20%，我一般建議如果沒有任何保險的家庭，從年收入的10%佔比支出，初期接受起來更加容易，因為往往大家心理賬戶總是給不到20%這個投入比例。

那麼具體多少保額多少呢？

也有一種流行的簡單演算法：你當年的年收入*你的剩餘工作年限+你當前的負債資產總額。

好多朋友說，這到底有什麼用呢，錢都交給保險公司呢？

是的，一一媽媽要說，平常確實沒什麼卵用，但是關鍵時刻，緊急事件，只有它才能保障你不會為了急用錢，賣房賣車，砸鍋賣鐵，賣掉你拿熊抱的股票，而到處借錢。

第三個賬戶：投資收益賬戶，生錢賬戶

標准普爾給出的佔比是30%，整體家庭創造收益的賬戶。可以適當承擔部分風險。這個賬戶了，可以從兩個方面進行解讀。

一是繼續投資你擅長的投資生錢方式，比如做生意，大部分這個投資收益賬戶佔比較高，生錢之道，在過往傳統的經濟，很多生意人都會繼續用這種方式賺錢，不過現在隨著科技變革加速，傳統經濟往往面臨轉型，所以現在在以為投資自己的傳統領域有可能回報縮水。

第二種方式，就是通過投資進行資產的保值，這部分可能包括股權，股票基金，或者保值的房產，不過第二部分要和我們的認知相結合，需要花時間了解，因為這個領域並不一定是你擅長的，還有就是把專業的事兒交給專業的人去做。

第四個賬戶：長期收益賬戶，家庭目標計劃，為教育准備，長期養老准備

這里三點需要強調：

1.規劃要趁早

2.時間的饋贈

規劃要趁早的意思是，自己的養老規劃，還是的教育規劃，提前進行安排。

時間的饋贈，是開始准備了，那麼最好做長期的打算，不到萬不得已，不要隨意取出花掉。

養老金說是要存，但是經常被買車或者裝修用掉了。

每年或每月有固定的錢進入這個賬戶，才能積少成多，不然就隨手花掉了。

要受法律保護，要和企業資產相隔離，不用於抵債。

要真正做到老有所依，老有所養，這個賬戶的設置就尤為重要了，不可或缺，也是對社保養老不足的補足。

需要注意的是，家庭資產象限圖的關鍵點是平衡，當我們發現我們沒有錢准備保命的錢或者養老的錢，這就說明我們家庭資產配置是不平衡的、不科學的。這四個賬戶的配置也是符合木桶原理的，也就是說整個資產配置的有效性是由最短的那根木板決定的。因此，每一個賬戶配置都是非常重要的，不能忽視任何一個哦。

介紹完這個，比較流行，也相對科學的家庭資產的科學分配比例，不過一一媽媽最後在說說，其實理性的模型分配，是建立在我們大家內心都是理性思考的前提，不夠我們人嘛，是感情動物，內心是會受情緒的波動的，所以理財投資，理的看似是錢，但是實在理的是心，投資工具，交易的對手，最終是要克服我們內心的恐懼和貪婪，這樣學習的金融工具才會更好的發揮它的技能，

所以，說到底，先理思維，在步步入門，靈活運用實戰工具，說道工具，下期給大家講講家庭資產配置中用的也比較多的：美林時鍾。

今天，安啦

網路問咖入駐大咖：汪凡

金融狗，兩個熊孩子的媽媽，和寶寶一塊萌翻生活，理財理生活，等你和我分享你的心情理財故事

堅持原創的一一媽媽，金牛座，金融狗，若你喜歡我的文字，歡迎分享給你的朋友或分享到朋友圈和微博，轉載請聯系作者本人獲得授權。

⑧ 怎麼規劃花錢

你先計算每個月的工資多少，存一部分，一部分用於生活開銷，一部分用於投資，如果工資比較低，也就只能夠用於自己日常開銷了。

⑨ 如何計劃用錢

計劃用錢可以按照下面的方法來：

1、首先，你需要一個賬本，並且養成記 的習慣。

2、其次，你應該提前規劃好錢的用途。合理地規劃好資金，讓你每一次花出的錢都是有的放矢，而不是月末的一筆糊塗賬。通常可以把一個月的工資分成：固定開支、生活開支、社交開支、享受消費、理財支出之類

固定開支指的就是房租、保險(醫社保)、給父母這類固定金額的開支。這類金額是固定且很難節省掉的，所以應該每月最先歸入你的預算中。

生活開支就是飲食、話費、水電網費、交通費用等等這些每個月也必須花但金額會在一定范圍里浮動且可以節約的費用。(約佔22%)

社交開支顧名思義，誰沒有幾個朋友要聚餐要紅包，所以每個月還要規劃出一部分的錢在這上面。(約15%)

享受消費，女生買買書衣服鞋子包包化妝品，男生買買煙酒衣服鞋子打打檯球都是享受消費，或者有人不買而把錢存下來旅遊之類(8%)

理財開支，建議將一部分工資(大約10%)用來「錢生錢」，比如購買一些理財產品或者做一點投資，如果金額小又不懂投資也可以存起來，也是一種錢生錢的方式。

當然，不同生活方式在每一項的側重和消費都是不一樣的，你可以根據自己以往的消費經驗來確定每一部分的預算。這也只是一種方法而已。

3、也是最重要的一點就是 堅持 。凡事貴以專貴以持，不持之以恆再好的方法也是徒勞的。

⑩ 關於動態規劃演算法，哪位可以講一下自己心得體會

動態規劃的特點及其應用
安徽 張辰
動態規劃 階段

動態規劃是信息學競賽中的常見演算法，本文的主要內容就是分析它的特點。
文章的第一部分首先探究了動態規劃的本質，因為動態規劃的特點是由它的本質所決定的。第二部分從動態規劃的設計和實現這兩個角度分析了動態規劃的多樣性、模式性、技巧性這三個特點。第三部分將動態規劃和遞推、搜索、網路流這三個相關演算法作了比較，從中探尋動態規劃的一些更深層次的特點。
文章在分析動態規劃的特點的同時，還根據這些特點分析了我們在解題中應該怎樣利用這些特點，怎樣運用動態規劃。這對我們的解題實踐有一定的指導意義。

動態規劃是編程解題的一種重要的手段，在如今的信息學競賽中被應用得越來越普遍。最近幾年的信息學競賽，不分大小，幾乎每次都要考察到這方面的內容。因此，如何更深入地了解動態規劃，從而更為有效地運用這個解題的有力武器，是一個值得深入研究的問題。
要掌握動態規劃的應用技巧，就要了解它的各方面的特點。首要的，是要深入洞悉動態規劃的本質。
§1動態規劃的本質
動態規劃是在本世紀50年代初，為了解決一類多階段決策問題而誕生的。那麼，什麼樣的問題被稱作多階段決策問題呢？
§1.1多階段決策問題
說到多階段決策問題，人們很容易舉出下面這個例子。
[例1] 多段圖中的最短路徑問題：在下圖中找出從A1到D1的最短路徑。
仔細觀察這個圖不難發現，它有一個特點。我們將圖中的點分為四類（圖中的A、B、C、D），那麼圖中所有的邊都處於相鄰的兩類點之間，並且都從前一類點指向後一類點。這樣，圖中的邊就被分成了三類（AàB、BàC、CàD）。我們需要從每一類中選出一條邊來，組成從A1到D1的一條路徑，並且這條路徑是所有這樣的路徑中的最短者。
從上面的這個例子中，我們可以大概地了解到什麼是多階段決策問題。更精確的定義如下：
多階段決策過程，是指這樣的一類特殊的活動過程，問題可以按時間順序分解成若干相互聯系的階段，在每一個階段都要做出決策，全部過程的決策是一個決策序列[1]。要使整個活動的總體效果達到最優的問題，稱為多階段決策問題。
從上述的定義中，我們可以明顯地看出，這類問題有兩個要素。一個是階段，一個是決策。
§1.2階段與狀態
階段：將所給問題的過程，按時間或空間特徵分解成若干相互聯系的階段，以便按次序去求每階段的解。常用字母k表示階段變數。[1]
階段是問題的屬性。多階段決策問題中通常存在著若干個階段，如上面的例子，就有A、B、C、D這四個階段。在一般情況下，階段是和時間有關的；但是在很多問題（我的感覺，特別是信息學問題）中，階段和時間是無關的。從階段的定義中，可以看出階段的兩個特點，一是「相互聯系」，二是「次序」。
階段之間是怎樣相互聯系的？就是通過狀態和狀態轉移。
狀態：各階段開始時的客觀條件叫做狀態。描述各階段狀態的變數稱為狀態變數，常用sk表示第k階段的狀態變數，狀態變數sk的取值集合稱為狀態集合，用Sk表示。[1]
狀態是階段的屬性。每個階段通常包含若干個狀態，用以描述問題發展到這個階段時所處在的一種客觀情況。在上面的例子中，行人從出發點A1走過兩個階段之後，可能出現的情況有三種，即處於C1、C2或C3點。那麼第三個階段就有三個狀態S3=。
每個階段的狀態都是由以前階段的狀態以某種方式「變化」而來，這種「變化」稱為狀態轉移（暫不定義）。上例中C3點可以從B1點過來，也可以從B2點過來，從階段2的B1或B2狀態走到階段3的C3狀態就是狀態轉移。狀態轉移是導出狀態的途徑，也是聯系各階段的途徑。
說到這里，可以提出應用動態規劃的一個重要條件。那就是將各階段按照一定的次序排列好之後，對於某個給定的階段狀態，它以前各階段的狀態無法直接影響它未來的發展，而只能通過當前的這個狀態。換句話說，每個狀態都是「過去歷史的一個完整總結[1]」。這就是無後效性。對這個性質，下文還將會有解釋。
§1.3決策和策略
上面的階段與狀態只是多階段決策問題的一個方面的要素，下面是另一個方面的要素——決策。
決策：當各段的狀態取定以後，就可以做出不同的決定，從而確定下一階段的狀態，這種決定稱為決策。表示決策的變數，稱為決策變數，常用uk(sk)表示第k階段當狀態為sk時的決策變數。在實際問題中，決策變數的取值往往限制在一定范圍內，我們稱此范圍為允許決策集合。常用Dk(sk)表示第k階段從狀態sk出發的允許決策集合。顯然有uk(sk) ?Dk(sk)。[1]
決策是問題的解的屬性。決策的目的就是「確定下一階段的狀態」，還是回到上例，從階段2的B1狀態出發有三條路，也就是三個決策，分別導向階段3的C1、C2、C3三個狀態，即D2(B1)=。
有了決策，我們可以定義狀態轉移：動態規劃中本階段的狀態往往是上一階段和上一階段的決策結果，由第k段的狀態sk和本階段的決策uk確定第k+1段的狀態sk+1的過程叫狀態轉移。狀態轉移規律的形式化表示sk+1=Tk(sk,uk)稱為狀態轉移方程。
這樣看來，似乎決策和狀態轉移有著某種聯系。我的理解，狀態轉移是決策的目的，決策是狀態轉移的途徑。
各段決策確定後，整個問題的決策序列就構成一個策略，用p1,n=表示。對每個實際問題，可供選擇的策略有一定范圍，稱為允許策略集合，記作P1,n，使整個問題達到最有效果的策略就是最優策略。[1]
說到這里，又可以提出運用動態規劃的一個前提。即這個過程的最優策略應具有這樣的性質：無論初始狀態及初始決策如何，對於先前決策所形成的狀態而言，其以後的所有決策應構成最優策略[1]。這就是最優化原理。簡言之，就是「最優策略的子策略也是最優策略」。
§1.4最優化原理與無後效性
這里，我把最優化原理定位在「運用動態規劃的前提」。這是因為，是否符合最優化原理是一個問題的本質特徵。對於不滿足最優化原理的一個多階段決策問題，整體上的最優策略p1,n同任何一個階段k上的決策uk或任何一組階段k1…k2上的子策略pk1,k2都不存在任何關系。如果要對這樣的問題動態規劃的話，我們從一開始所作的劃分階段等努力都將是徒勞的。
而我把無後效性定位在「應用動態規劃的條件」，是因為動態規劃是按次序去求每階段的解，如果一個問題有後效性，那麼這樣的次序便是不合理的。但是，我們可以通過重新劃分階段，重新選定狀態，或者增加狀態變數的個數等手段，來是問題滿足無後效性這個條件。說到底，還是要確定一個「序」。
在信息學的多階段決策問題中，絕大部分都是能夠滿足最優化原理的，但它們往往會在後效性這一點上來設置障礙。所以在解題過程中，我們會特別關心「序」。對於有序的問題，就會考慮到動態規劃；對於無序的問題，也會想方設法來使其有序。
§1.5最優指標函數和規劃方程
最優指標函數：用於衡量所選定策略優劣的數量指標稱為指標函數，最優指標函數記為fk(sk)，它表示從第k段狀態sk採用最優策略p*k,n到過程終止時的最佳效益值[1]。
最優指標函數其實就是我們真正關心的問題的解。在上面的例子中，f2(B1)就表示從B1點到終點D1點的最短路徑長度。我們求解的最終目標就是f1(A1)。
最優指標函數的求法一般是一個從目標狀態出發的遞推公式，稱為規劃方程：

其中sk是第k段的某個狀態，uk是從sk出發的允許決策集合Dk(sk)中的一個決策，Tk(sk,uk)是由sk和uk所導出的第k+1段的某個狀態sk+1，g(x,uk)是定義在數值x和決策uk上的一個函數，而函數opt表示最優化，根據具體問題分別表為max或min。
，稱為邊界條件。
上例中的規劃方程就是：

邊界條件為
這里是一種從目標狀態往回推的逆序求法，適用於目標狀態確定的問題。在我們的信息學問題中，也有很多有著確定的初始狀態。當然，對於初始狀態確定的問題，我們也可以採用從初始狀態出發往前推的順序求法。事實上，這種方法對我們來說要更為直觀、更易設計一些，從而更多地出現在我們的解題過程中。
我們本節所討論的這些理論雖然不是本文的主旨，但是卻對下面要說的動態規劃的特點起著基礎性的作用。
§2動態規劃的設計與實現
上面我們討論了動態規劃的一些理論，本節我們將通過幾個例子中，動態規劃的設計與實現，來了解動態規劃的一些特點。
§2.1動態規劃的多樣性
[例2] 花店櫥窗布置問題（IOI99）試題見附錄
本題雖然是本屆IOI中較為簡單的一題，但其中大有文章可作。說它簡單，是因為它有序，因此我們一眼便可看出這題應該用動態規劃來解決。但是，如何動態規劃呢？如何劃分階段，又如何選擇狀態呢？
<方法1>以花束的數目來劃分階段。在這里，階段變數k表示的就是要布置的花束數目（前k束花），狀態變數sk表示第k束花所在的花瓶。而對於每一個狀態sk，決策就是第k-1束花應該放在哪個花瓶，用uk表示。最優指標函數fk(sk)表示前k束花，其中第k束插在第sk個花瓶中，所能取得的最大美學值。
狀態轉移方程為
規劃方程為
（其中A(i,j)是花束i插在花瓶j中的美學值）
邊界條件 （V是花瓶總數，事實上這是一個虛擬的邊界）
<方法2>以花瓶的數目來劃分階段。在這里階段變數k表示的是要佔用的花瓶數目（前k個花瓶），狀態變數sk表示前k個花瓶中放了多少花。而對於任意一個狀態sk，決策就是第sk束花是否放在第k個花瓶中，用變數uk=1或0來表示。最優指標函數fk(sk)表示前k個花瓶中插了sk束花，所能取得的最大美學值。
狀態轉移方程為
規劃方程為
邊界條件為
兩種劃分階段的方法，引出了兩種狀態表示法，兩種規劃方式，但是卻都成功地解決了問題。只不過因為決策的選擇有多有少，所以演算法的時間復雜度也就不同。[2]
這個例子具有很大的普遍性。有很多的多階段決策問題都有著不止一種的階段劃分方法，因而往往就有不止一種的規劃方法。有時各種方法所產生的效果是差不多的，但更多的時候，就像我們的例子一樣，兩種方法會在某個方面有些區別。
所以，在用動態規劃解題的時候，可以多想一想是否有其它的解法。對於不同的解法，要注意比較，好的演算法好在哪裡，差一點的演算法差在哪裡。從各種不同演算法的比較中，我們可以更深刻地領會動態規劃的構思技巧。
§2.2動態規劃的模式性
這個可能做過動態規劃的人都有體會，從我們上面對動態規劃的分析也可以看出來。動態規劃的設計都有著一定的模式，一般要經歷以下幾個步驟。
劃分階段：按照問題的時間或空間特徵，把問題分為若干個階段。注意這若干個階段一定要是有序的或者是可排序的，否則問題就無法求解。
選擇狀態：將問題發展到各個階段時所處於的各種客觀情況用不同的狀態表示出來。當然，狀態的選擇要滿足無後效性。
確定決策並寫出狀態轉移方程：之所以把這兩步放在一起，是因為決策和狀態轉移有著天然的聯系，狀態轉移就是根據上一階段的狀態和決策來導出本階段的狀態。所以，如果我們確定了決策，狀態轉移方程也就寫出來了。但事實上，我們常常是反過來做，根據相鄰兩段的各狀態之間的關系來確定決策。
寫出規劃方程（包括邊界條件）：在第一部分中，我們已經給出了規劃方程的通用形式化表達式。一般說來，只要階段、狀態、決策和狀態轉移確定了，這一步還是比較簡單的。
動態規劃的主要難點在於理論上的設計，一旦設計完成，實現部分就會非常簡單。大體上的框架如下：
對f1(s1)初始化（邊界條件）
for k?2 to n（這里以順序求解為例）
對每一個sk?Sk
fk(sk)?一個極值（∞或－∞）
對每一個uk(sk)?Dk(sk)
sk-1?Tk(sk,uk)
t?g(fk-1(sk-1),uk)
y t比fk(sk)更優 n
fk(sk)?t
輸出fn(sn)
這個N-S圖雖然不能代表全部，但足可以概括大多數。少數的一些特殊的動態規劃，其實現的原理也是類似，可以類比出來。我們到現在對動態規劃的分析，主要是在理論上、設計上，原因也就在此。
掌握了動態規劃的模式性，我們在用動態規劃解題時就可以把主要的精力放在理論上的設計。一旦設計成熟，問題也就基本上解決了。而且在設計演算法時也可以按部就班地來。
但是「物極必反」，太過拘泥於模式就會限制我們的思維，扼殺優良演算法思想的產生。我們在解題時，不妨發揮一下創造性，去突破動態規劃的實現模式，這樣往往會收到意想不到的效果。[3]
§2.3動態規劃的技巧性
上面我們所說的動態規劃的模式性，主要指的是實現方面。而在設計方面，雖然它較為嚴格的步驟性，但是它的設計思想卻是沒有一定的規律可循的。這就需要我們不斷地在實踐當中去掌握動態規劃的技巧，下面僅就一個例子談一點我自己的體會。
[例3] 街道問題：在下圖中找出從左下角到右上角的最短路徑，每步只能向右方或上方走。
這是一道簡單而又典型的動態規劃題，許多介紹動態規劃的書與文章中都拿它來做例子。通常，書上的解答是這樣的：

按照圖中的虛線來劃分階段，即階段變數k表示走過的步數，而狀態變數sk表示當前處於這一階段上的哪一點（各點所對應的階段和狀態已經用ks在地圖上標明）。這時的模型實際上已經轉化成了一個特殊的多段圖。用決策變數uk=0表示向右走，uk=1表示向上走，則狀態轉移方程如下：

（這里的row是地圖豎直方向的行數）
我們看到，這個狀態轉移方程需要根據k的取值分兩種情況討論，顯得非常麻煩。相應的，把它代入規劃方程而付諸實現時，演算法也很繁。因而我們在實現時，一般是不會這么做的，而代之以下面方法：
將地圖中的點規則地編號如上，得到的規劃方程如下：

（這里Distance表示相鄰兩點間的邊長）
這樣做確實要比上面的方法簡單多了，但是它已經破壞了動態規劃的本來面目，而不存在明確的階段特徵了。如果說這種方法是以地圖中的行（A、B、C、D）來劃分階段的話，那麼它的「狀態轉移」就不全是在兩個階段之間進行的了。
也許這沒什麼大不了的，因為實踐比理論更有說服力。但是，如果我們把題目擴展一下：在地圖中找出從左下角到右上角的兩條路徑，兩條路徑中的任何一條邊都不能重疊，並且要求兩條路徑的總長度最短。這時，再用這種「簡單」的方法就不太好辦了。
如果非得套用這種方法的話，則最優指標函數就需要有四維的下標，並且難以處理兩條路徑「不能重疊」的問題。
而我們回到原先「標准」的動態規劃法，就會發現這個問題很好解決，只需要加一維狀態變數就成了。即用sk=(ak,bk)分別表示兩條路徑走到階段k時所處的位置，相應的，決策變數也增加一維，用uk=(xk,yk)分別表示兩條路徑的行走方向。狀態轉移時將兩條路徑分別考慮：

在寫規劃方程時，只要對兩條路徑走到同一個點的情況稍微處理一下，減少可選的決策個數：

從這個例子中可以總結出設計動態規劃演算法的一個技巧：狀態轉移一般是在相鄰的兩個階段之間（有時也可以在不相鄰的兩個階段間），但是盡量不要在同一個階段內進行。
動態規劃是一種很靈活的解題方法，在動態規劃演算法的設計中，類似的技巧還有很多。要掌握動態規劃的技巧，有兩條途徑：一是要深刻理解動態規劃的本質，這也是我們為什麼一開始就探討它的本質的原因；二是要多實踐，不但要多解題，還要學會從解題中探尋規律，總結技巧。
§3動態規劃與一些演算法的比較
動態規劃作為諸多解題方法中的一種，必然和其他一些演算法有著諸多聯系。從這些聯系中，我們也可以看出動態規劃的一些特點。
§3.1動態規劃與遞推
——動態規劃是最優化演算法
由於動態規劃的「名氣」如此之大，以至於很多人甚至一些資料書上都往往把一種與動態規劃十分相似的演算法，當作是動態規劃。這種演算法就是遞推。實際上，這兩種演算法還是很容易區分的。
按解題的目標來分，信息學試題主要分四類：判定性問題、構造性問題、計數問題和最優化問題。我們在競賽中碰到的大多是最優化問題，而動態規劃正是解決最優化問題的有力武器，因此動態規劃在競賽中的地位日益提高。而遞推法在處理判定性問題和計數問題方面也是一把利器。下面分別就兩個例子，談一下遞推法和動態規劃在這兩個方面的聯系。
[例4] mod 4 最優路徑問題：在下圖中找出從第1點到第4點的一條路徑，要求路徑長度mod 4的余數最小。
這個圖是一個多段圖，而且是一個特殊的多段圖。雖然這個圖的形式比一般的多段圖要簡單，但是這個最優路徑問題卻不能用動態規劃來做。因為一條從第1點到第4點的最優路徑，在它走到第2點、第3點時，路徑長度mod 4的余數不一定是最小，也就是說最優策略的子策略不一定最優——這個問題不滿足最優化原理。
但是我們可以把它轉換成判定性問題，用遞推法來解決。判斷從第1點到第k點的長度mod 4為sk的路徑是否存在，用fk(sk)來表示，則遞推公式如下：
（邊界條件）

（這里lenk,i表示從第k-1點到第k點之間的第i條邊的長度，方括弧表示「或(or)」運算）
最後的結果就是可以使f4(s4)值為真的最小的s4值。
這個遞推法的遞推公式和動態規劃的規劃方程非常相似，我們在這里借用了動態規劃的符號也就是為了更清楚地顯示這一點。其實它們的思想也是非常相像的，可以說是遞推法借用了動態規劃的思想解決了動態規劃不能解決的問題。
有的多階段決策問題（像這一題的階段特徵就很明顯），由於不能滿足最優化原理等使用動態規劃的先決條件，而無法應用動態規劃。在這時可以將最優指標函數的值當作「狀態」放到下標中去，從而變最優化問題為判定性問題，再借用動態規劃的思想，用遞推法來解決問題。
§3.2動態規劃與搜索
——動態規劃是高效率、高消費演算法
同樣是解決最優化問題，有的題目我們採用動態規劃，而有的題目我們則需要用搜索。這其中有沒有什麼規則呢？
我們知道，撇開時空效率的因素不談，在解決最優化問題的演算法中，搜索可以說是「萬能」的。所以動態規劃可以解決的問題，搜索也一定可以解決。
把一個動態規劃演算法改寫成搜索是非常方便的，狀態轉移方程、規劃方程以及邊界條件都可以直接「移植」，所不同的只是求解順序。動態規劃是自底向上的遞推求解，而搜索則是自頂向下的遞歸求解（這里指深度搜索，寬度搜索類似）。
反過來，我們也可以把搜索演算法改寫成動態規劃。狀態空間搜索實際上是對隱式圖中的點進行枚舉，這種枚舉是自頂向下的。如果把枚舉的順序反過來，變成自底向上，那麼就成了動態規劃。（當然這里有個條件，即隱式圖中的點是可排序的，詳見下一節。）
正因為動態規劃和搜索有著求解順序上的不同，這也造成了它們時間效率上的差別。在搜索中，往往會出現下面的情況：
對於上圖(a)這樣幾個狀態構成的一個隱式圖，用搜索演算法就會出現重復，如上圖(b)所示，狀態C2被搜索了兩次。在深度搜索中，這樣的重復會引起以C2為根整個的整個子搜索樹的重復搜索；在寬度搜索中，雖然這樣的重復可以立即被排除，但是其時間代價也是不小的。而動態規劃就沒有這個問題，如上圖(c)所示。
一般說來，動態規劃演算法在時間效率上的優勢是搜索無法比擬的。（當然對於某些題目，根本不會出現狀態的重復，這樣搜索和動態規劃的速度就沒有差別了。）而從理論上講，任何拓撲有序（現實中這個條件常常可以滿足）的隱式圖中的搜索演算法都可以改寫成動態規劃。但事實上，在很多情況下我們仍然不得不採用搜索演算法。那麼，動態規劃演算法在實現上還有什麼障礙嗎？
考慮上圖(a)所示的隱式圖，其中存在兩個從初始狀態無法達到的狀態。在搜索演算法中，這樣的兩個狀態就不被考慮了，如上圖(b)所示。但是動態規劃由於是自底向上求解，所以就無法估計到這一點，因而遍歷了全部的狀態，如上圖(c)所示。
一般說來，動態規劃總要遍歷所有的狀態，而搜索可以排除一些無效狀態。更重要的事搜索還可以剪枝，可能剪去大量不必要的狀態，因此在空間開銷上往往比動態規劃要低很多。
如何協調好動態規劃的高效率與高消費之間的矛盾呢？有一種折衷的辦法就是記憶化演算法。記憶化演算法在求解的時候還是按著自頂向下的順序，但是每求解一個狀態，就將它的解保存下來，以後再次遇到這個狀態的時候，就不必重新求解了。這種方法綜合了搜索和動態規劃兩方面的優點，因而還是很有實用價值的。
§3.3動態規劃與網路流
——動態規劃是易設計易實現演算法
由於圖的關系復雜而無序，一般難以呈現階段特徵（除了特殊的圖如多段圖，或特殊的分段方法如Floyd），因此動態規劃在圖論中的應用不多。但有一類圖，它的點卻是有序的，這就是有向無環圖。
在有向無環圖中，我們可以對點進行拓撲排序，使其體現出有序的特徵，從而據此劃分階段。在有向無還圖中求最短路徑的演算法[4]，已經體現出了簡單的動態規劃思想。但動態規劃在圖論中還有更有價值的應用。下面先看一個例子。
[例6] N個人的街道問題：在街道問題（參見例3）中，若有N個人要從左下角走向右上角，要求他們走過的邊的總長度最大。當然，這里每個人也只能向右或向上走。下面是一個樣例，左圖是從出發地到目的地的三條路徑，右圖是他們所走過的邊，這些邊的總長度為5 + 4 + 3 + 6 + 3 + 3 + 5 + 8 + 8 + 7 + 4 + 5 + 9 + 5 + 3 = 78（不一定是最大）。
這個題目是對街道問題的又一次擴展。仿照街道問題的解題方法，我們仍然可以用動態規劃來解決本題。不過這一次是N個人同時走，狀態變數也就需要用N維來表示，。相應的，決策變數也要變成N維，uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)。狀態轉移方程不需要做什麼改動：

在寫規劃方程時，需要注意在第k階段，N條路徑所走過的邊的總長度的計算，在這里我就用gk(sk,uk)來表示了：

邊界條件為
可見將原來的動態規劃演算法移植到這個問題上來，在理論上還是完全可行的。但是，現在的這個動態規劃演算法的時空復雜度已經是關於N的指數函數，只要N稍微大一點，這個演算法就不可能實現了。
下面我們換一個思路，將N條路徑看成是網路中一個流量為N的流，這樣求解的目標就是使這個流的費用最大。但是本題又不同於一般的費用流問題，在每一條邊e上的流費用並不是流量和邊權的乘積 ，而是用下式計算：

為了使經典的費用流演算法適用於本題，我們需要將模型稍微轉化一下：
如圖，將每條邊拆成兩條。拆開後一條邊上有權，但是容量限制為1；另一條邊沒有容量限制，但是流過這條邊就不能計算費用了。這樣我們就把問題轉化成了一個標準的最大費用固定流問題。
這個演算法可以套用經典的最小費用最大流演算法，在此就不細說了。（參見附錄中的源程序）
這個例題是我仿照IOI97的「障礙物探測器」一題[6]編出來的。「障礙物探測器」比這一題要復雜一些，但是基本思想是相似的。類似的題目還有99年冬令營的「迷宮改造」[7]。從這些題目中都可以看到動態規劃和網路流的聯系。
推廣到一般情況，任何有向無環圖中的費用流問題在理論上說，都可以用動態規劃來解決。對於流量為N（如果流量不固定，這個N需要事先求出來）的費用流問題，用N維的變數sk=(sk,1,sk,2,…,sk,N)來描述狀態，其中sk,i?V(1￡i￡N)。相應的，決策也用N維的變數uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)來表示，其中uk,i?E(sk,i)(1￡i￡N)，E(v)表示指向v的弧集。則狀態轉移方程可以這樣表示：
sk-1,i = uk,i的弧尾結點
規劃方程為
邊界條件為
但是，由於動態規劃演算法是指數級演算法，因而在實現中的局限性很大，僅可用於一些N非常小的題目。然而在競賽解題中，比如上面說到的IOI97以及99冬令營測試時，我們使用動態規劃的傾向性很明顯（「障礙物探測器」中，我們用的是貪心策略，求N=1或N=2時的局部最優解[8]）。這主要有兩個原因：
一． 雖然網路流有著經典的演算法，但是在競賽中不可能出現經典的問題。如果要運用網路流演算法，則需要經過一番模型轉化，有時這個轉化還是相當困難的。因此在演算法的設計上，靈活巧妙的動態規劃演算法反而要更為簡單一些。
二． 網路流演算法實現起來很繁，這是被人們公認的。因而在競賽的緊張環境中，實現起來有一定模式的動態規劃演算法又多了一層優勢。
正由於動態規劃演算法在設計和實現上的簡便性，所以在N不太大時，也就是在動態規劃可行的情況下，我們還是應該盡量運用動態規劃。
§4結語
本文的內容比較雜，是我幾年來對動態規劃的參悟理解、心得體會。雖然主要的篇幅講的都是理論，但是根本的目的還是指導實踐。
動態規劃，據我認為，是當今信息學競賽中最靈活、也最能體現解題者水平的一類解題方法。本文內容雖多，不能涵蓋動態規劃之萬一。「紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。」要想真正領悟、理解動態規劃的思想，掌握動態規劃的解題技巧，還需要在實踐中不斷地挖掘、探索。實踐得多了，也就能體會到漸入佳境之妙了。
動態規劃，
演算法之常，
運用之妙，
存乎一心。