圖論演算法與應用

A. 圖論演算法及其MATLAB實現的圖書前言

圖論演算法廣泛應用於物理、化學、運籌學、計算機科學、電子學、資訊理論、控制論、網路理論、管理科學、社會科學等眾多學科領域。隨著這些學科的發展，特別是計算機科學的快速發展，又大大促進了圖論和其他學科的發展。
圖論演算法是計算機科學的核心。近幾年，隨著強有力的MATLAB等數學軟體的迅速發展，圖論演算法在數學和計算機等各學科方面的應用越來越廣泛，從而使各學科的研究者越來越多地重視圖論演算法及其MATLAB實現和典型案例，而市場上又缺少這方面的指導性書籍。
本書將圖論的基礎知識、圖論的著名問題以及相應的MATLAB程序代碼和簡單實例完美地結合在一起，力求語言簡潔易懂，問題廣泛有趣，演算法科學，實例淺顯，增強MATLAB實現的技巧性和操作性。讀者可以通過簡單案例，把圖論的重要演算法與MATLAB編程完美結合。
本書力求內容豐富，各章節相互聯系，具備指導性書籍的系統性、科學性、實用性和引導性；同時，各章又相對獨立，自成體系，為讀者提供極大方便。
本書的創新之處在於，每一章均以著名實際問題為引入點，以圖論演算法為指導線，運用簡單案例達到與MATLAB實現的完美結合，真正讓各層次的讀者學會運用圖論理論解決實際問題，從而培養讀者的圖論思維，使讀者驚嘆圖論方法的美妙與魅力。最後還為讀者提供了當今圖論標號方面等未解決的問題。
本書將在每一章節中給出著名圖論的演算法步驟及其一般MATLAB程序；同時，緊隨每個案例分析，均給出解決問題的MATLAB源程序，這樣對於初學者來說，具有很強的編程操作性。
本書是在中國地質大學（北京）王海英多年專業講義的基礎上重新修訂編寫而成，其中，山東體育學院體育運動學校的李傳濤完成了本書程序的編寫工作；中國科學院數學與系統科學院的黃強完成了本書全部程序的調試、修改和圖形繪制等工作，

B. 機器學習演算法和圖論演算法有什麼不同

機器學習演算法和圖論演算法最大的不同就是處理的數據量上的不同。
比如傳統的一個道路規劃問題，涉及到的對象在百數量級上是很正常的現象，而現在數據產生的速度太快了，數據太多了，對於一個網路優化問題可能涉及的對象是幾個億，比如facebook。即便是百萬，十萬對象的網路，比如約會網站吧，在這個數量級差不多，它會涉及到推薦演算法，推薦的方法的話是用概率模型去做的，可以用機器學習的方法學習出一些結果。
機器學習主要在於解決問題的思路不同，態度更開放，圖論演算法就是針對一個對於全局有了很穩定認識的解決方法，比如一個線上的機器學習演算法，它的預測結果直接影響新數據的產生。

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C. 圖論演算法的論證

有向無迴路圖又稱為dag。對這種有向無迴路圖的拓撲排序的結果為該圖所有頂點的一個線性序列，滿足如果G包含(u,v)，則在序列中u出現在v之前（如果圖是有迴路的就不可能存在這樣的線性序列）。一個圖的拓撲排序可以看成是圖的所有頂點沿水平線排成的一個序列，使得所有的有向邊均從左指向右。因此，拓撲排序不同於通常意義上對於線性表的排序。
有向無迴路圖經常用於說明事件發生的先後次序，圖1給出一個實例說明早晨穿衣的過程。必須先穿某一衣物才能再穿其他衣物（如先穿襪子後穿鞋），也有一些衣物可以按任意次序穿戴（如襪子和短褲）。
圖中說明經拓撲排序的結點以與其完成時刻相反的順序出現。因為深度優先搜索的運行時間為θ(V+E)，每一個v中結點插入鏈表需佔用的時間為θ(1)，因此進行拓撲排序的運行時間θ(V+E)。
為了證明演算法的正確性，我們運用了下面有關有向無迴路圖的重要引理。 有向圖G無迴路當且僅當對G進行深度優先搜索沒有得到反向邊。
證明：→：假設有一條反向邊(u,v)，那麼在深度優先森林中結點v必為結點u的祖先，因此G中從v到u必存在一通路，這一通路和邊(u,v)構成一個迴路。
←：假設G中包含一迴路C，我們證明對G的深度優先搜索將產生一條反向邊。設v是迴路C中第一個被發現的結點且邊(u,v)是C中的優先邊，在時刻d[v]從v到u存在一條由白色結點組成的通路，根據白色路徑定理可知在深度優先森林中結點u必是結點v的後裔，因而(u,v)是一條反向邊。（證畢） Topological_Sort(G)演算法可產生有向無迴路圖G的拓撲排序
證明
假設對一已知有問無迴路圖G=(V,E)運行過程DFS以確定其結點的完成時刻。那麼只要證明對任一對不同結點u,v∈V，若G中存在一條從u到v的有向邊，則f[v]<F[U]即可。考慮過程DFS(G)所探尋的任何邊(U,V)，當探尋到該邊時，結點V不可能為灰色，否則V將成為U的祖先，(U,V)將是一條反向邊，和引理1矛盾。
因此，v必定是白色或黑色結點。若v是白色，它就成為u的後裔，因此f[v]<F[U]。若V是黑色，同樣F[V]<F[U]。這樣一來對於圖中任意邊(U,V)，都有F[V]<F[U]，從而定理得證。（證畢）

D. 求解：圖論中常見的最短路徑演算法有幾種都是什麼

主要是有三種、、

第一種是最直接的貪心dijkstra演算法、、可以利用堆數據結構進行優化、、缺點就是不能求有負權的最短路與判斷負環、、

第二種是bellman-ford演算法、、根據鬆弛操作的性質是可以來判斷負環的、、時間復雜度是O(nm)的、、

第三種是SPFA演算法、、把他單獨拿出來作為一種演算法並不是非常好的、、他的實質應該是上面的bellman-ford演算法的隊列優化時間復雜度更低、O(KE)、K的值約等於2、、

E. 圖論演算法的實際應用

圖論演算法是我們經常用來求解實際問題的一種方法，在數學建模的求解過程中也經常應用

F. 求《圖論演算法及其matlab實現》的PDF的完整版， 感激不盡

圖論演算法廣泛地應用於物理、化學、運籌學、計算機科學、電子學、資訊理論、控制論、網路理論、管理科學、社會科學等幾乎所有學科領域。《圖論重要演算法的思想及其MATLAB實現》是一本很實用的入門書籍，本書系統介紹了圖論重要演算法的思想及其MATLAB實現。主要內容有：圖論的基礎知識；最短路 ；連通圖；樹；Euler圖 和Hamilton圖；匹配問題及其演算法；網路中的流演算法；最小費用流及其Busacker-Gowan迭代演算法；圖的染色。

G. 圖論演算法的教材

我想很多學習圖論的人都知道J.A. Bondy和U.S.R. Murty著的《Graph Theory with Application》(Elsevier,1976)是圖論教材中的經典，時至今日，仍不失為初學者較好的入門書。還記得蘭州交通大學的張忠輔教授說過，國內第一屆圖論學會就是把大家集中起來學習邦迪的《Graph Theory with Application》，由此可見這本書對國內圖論屆的影響是如此之大。吳望名等人將其譯成中文版本《圖論及其應用》（北京：科學出版社，1984），1988年張克民等人編寫了該書的參考答案《圖論及其應用習題解答》（清華大學出版社，1988）。
在2008年J.A. Bondy和U.S.R. Murty出了新書《Graph Theory》(GTM 244, Springer, 2008), 大家可不妨將其看成是《Graph Theory with Application》的第二版，這本書在內容上做了重新調整，畢竟在第一版出版後的近30年裡涌現出了很多新的結果，所以《Graph Theory》在內容上加進了一些新的結果，這本書我只是讀了其中的幾章，覺得寫的非常棒，建議大家能夠讀讀，這里也值得一提的是將第一版最後提出的50個問題進行了更新，並補充了一些新的問題。總之，我個人認為，《Graph Theory》的確是一部很優秀的圖論教材。
中國科學技術大學出版社出版的《圖論及其演算法》，融有向圖和無向圖為一整體，系統地闡述了圖論的基本概念、理論、方法及其演算法，內容包括圖的基本概念、Euler圖與Hamilton圖、圖論演算法、樹及其應用、平面圖、獨立集與匹配、網路流和Petri網。 書中附有大量例題和習題，而且大部分習題有詳細解答。 該書選材精煉全面，內容處理恰當且有新意，立論嚴謹，敘述條理清晰，語言流暢。 該書可用作高校計算機、電子、信息、管理、數學等專業本科生必修課教材，也可供相關專業的研究人員、教師及圖論工作者參考。

H. 程序設計題二： 圖論應用系統 1 問題描述 該系統要求實現有向圖相關演算法及其應用系統，包括鄰接矩陣、完全

國家計算機四級考試大綱

基本要求

1、具有計算機及其應用的基礎知識。

2、熟悉計算機操作系統、軟體工程和資料庫的原理及其應用。

3、具有計算機體系結構、系統組成和性能評價的基礎及應用知識。

4、具有計算機網路和通信的基礎知識。

5、具有計算機應用項目開發的分析設計和組織實施的基本能力。

6、具有計算機應用系統安全和保密知識。 考試內容

一、計算機系統組成及工作原理

1、計算機系統組成：

（1）計算機的發展。（2）計算機的分類及應用。（3）計算機硬體結構。（4）主要部件功能。（5）計算機軟體的功能與分類。（6）系統軟體與應用軟體。

2、計算機工作原理:

（1）計算機機中數的表示。 （2）運算器。 （3）控制器。 （4）存儲器。 （5）輸入與輸出系統。

3、計算機的主要性能：

（1）計算機系統性能指標。 （2）處理機指標。 （3）存儲容量指標。 （4）I/O匯流排能力。 （5）系統通信能力。 （6）聯機事務處理能力。 （7）軟體支持。

二、數據結構與演算法

1、基本概念：

（1）數據結構的基本概念。 （2）演算法的描述與分析。

2、線性表：

（1）線性表的邏輯結構。 （2）線性表的順序存儲結構。 （3）線性表的鏈式存儲結構。

3、數組：

（1）數組的定義與運算。（2）數組的順序存儲結構。 （3）矩陣的壓縮存儲。

4、棧與隊列：

（1）棧的定義和運算。 （2）棧的存儲結構。 （3）隊列的定義和運算。 （4）鏈隊列與循環隊列。

5、串：

（1）串及其操作。 （2）串的存儲結構。

6、樹和二叉樹：

（1）樹的定義。 （2）二叉樹的定義及性質。 （3）二叉樹與樹的轉換。（4）二叉樹的存儲。（5）遍歷二叉樹與線索二叉樹。

7、圖：

（1）圖及其存儲結構。 （2）圖的遍歷。 （3）圖的連通性。 （4）有向無環圖。 （5）最短路徑。 （6）拓撲排序。

8、查找：

（1）線性表查找。 （2）樹形結構與查找。 （3）散列查找。

9、排序：

（1）插入排序。 （2）交換排序。 （3）選擇排序。 （4）歸並排序。 （5）基數排序。

10、文件組織：

（1）順序文件。 （2）索引文件。 （3）散列文件。

三、離散數學

1、數理邏輯：

（1）命題及其符號化。 （2）命題公式及其分類。 （3）命題邏輯等值演算。 （4）範式。 （5）命題邏輯推理理論。 （6）謂詞與量詞。 （7）謂詞公式與解釋。 （8）謂詞公式的分類。 （9）謂詞邏輯等值演算與前束範式。 （10）謂詞邏輯推理理論。

2、集合論：

（1）集合及其表示。 （2）集合的運算。 （3）有序對與笛卡爾積。 （4）關系及其表示法。 （5）關系的運算。 （6）關系的性質。 （7）關系的閉包。 （8）復合關系與逆關系。 （9）等價關系與偏序關系。 （10）函數及其性質。 （11）反函數與復合函數。

3、代數系統：

（1）代數運算及其性質。 （2）同態與同構。 （3）半群與群。 （4）子集與陪集。 （5）正規子群與商群。 （6）循環群與置換群。 （7）環與域。 （8）格與布爾代數。

4、圖論：

（1）無向圖與有向圖。 （2）路、迴路與圖的連通性。 （3）圖的矩陣表示。 （4）最短路徑與關鍵路徑。 （5）二部圖。 （6）歐拉圖與哈密爾頓圖。 （7）平面圖。 （8）樹與生成樹。 （9）根樹及其應用。

四、操作系統

1、操作系統的基本概念：

（1）操作系統的功能。 （2）操作系統的基本類型。 （3）操作系統的組成。 （4）操作系統的介面。

2、進程管理：

（1）進程、線程與進程管理。 （2）進程式控制制。 （3）進程調度。 （4）進程通信。 （5）死鎖。

3、作業管理：

（1）作業與作業管理。 （2）作業狀態及其轉換。 （3）作業調度。 （4）作業控制。

4、存儲管理：

（1）存儲與存儲管理。 （2）虛擬存儲原理。 （3）頁式存儲。 （4）段式存儲。 （5）段頁式存儲。 （6）局部性原理與工作集概念。

5、文件管理：

（1）文件與文件管理。 （2）文件的分類。 （3）文件結構與存取方式。 （4）文件目錄結構。 （5）文件存儲管理。 （6）文件存取控制。 （7）文件的作用。

6、設備管理：

（1）設備與設備分類。 （2）輸入輸出控制方式。 （3）中斷技術。 （4）通道技術。 （5）緩沖技術。 （6）設備分配技術與SPOOLing系統。 （7）磁碟調度。 （8）設備管理。

7、一種典型操作系統（DOS/Unix/Windows）的使用：

（1）DOS的特點與使用。 （2）UNIX的特點與使用。 （3）Windows的特點與使用。

五、軟體工程

1、軟體工程基本概念：

（1）軟體與軟體危機。 （2）軟體生命周期與軟體工程。 （3）軟體開發技術與軟體工程管理。 （4）軟體開發方法與工具、環境。

2、結構化生命周期方法：

（1）瀑布模型。 （2）可行性研究與可行性研究報告。 （3）軟體計劃與進度安排。 （4）軟體需求分析。 （5）數據流程圖（DFD）、數據字典（DD）。 （6）軟體需求說明書。 （7）系統設計。 （8）概要設計與詳細設計。 （9）模塊結構設計與數據結構設計。 （10）介面設計與安全性設計。 （11）系統設計說明書。 （12）程序設計。 （13）程序設計語言。 （14）結構化程序設計。

3、原型化方法：

（1）原型化的基本原理。 （2）原型化的生命周期。 （3）原型化的人員與工具。 （4）原型化的實施。 （5）原型化的項目管理。 （6）原型化方法與結構化方法的關系。

4、軟體測試：

（1）軟體測試基本概念。 （2）軟體測試方法。 （3）軟體測試計劃。 （4）單元測試、集成測試與系統測試。 （5）測試用例設計。 （6）測試分析報告。

5、軟體維護：

（1）軟體可維護性。 （2）校正性維護。 （3）適應性維護。 （4）完善性維護。

6、軟體開發工具與環境：

（1）軟體開發工具。 （2）軟體開發環境。 （3）計算機輔助軟體工程（CASE）。

7、軟體質量評價：

（1）軟體質量的度量與評價模型。 （2）軟體復雜性的度量。 （3）軟體可靠性的評價。 （4）軟體性能的評價。 （5）軟體運行評價。

8、軟體管理：

（1）軟體管理職能。 （2）軟體開發組織。 （3）軟體計劃管理。 （4）標准化管理。 （5）軟體工程國家標准。 （6）軟體配置管理。 （7）軟體產權保護。

六、資料庫

1、資料庫基本概念：

（1）數據與數據模型。 （2）資料庫體系結構。 （3）資料庫管理系統與資料庫系統。 （4）資料庫工程與應用。

2、關系資料庫：

（1）關系資料庫的基本概念。 （2）關系數據模型。 （3）關系定義、關系模型、關系模式與關系子模式。 （4）數據操縱語言。 （5）關系代數。 （6）集合運算（並，差，交，笛卡爾積）與關系運算（投影，選擇，連接）。 （7）關系演算。 （8）元組關系演算與域關系演算。 （9）資料庫查詢語言。 （10）SQL語言。

3、關系資料庫設計理論：

（1）關系數據理論。 （2）函數依賴。 （3）關系模式分解。 （4）關系模式的範式。

4、資料庫設計：

（1）資料庫設計目標。 （2）資料庫設計方法。 （3）資料庫的設計步驟。 （4）資料庫規劃。 （5）需求分析。 （6）概念設計。 （7）邏輯設計。 （8）物理設計。 （9）資料庫的實現與維護。

5、資料庫的保護：

（1）資料庫恢復。 （2）資料庫的完整性。 （3）資料庫的並發控制。 （4）資料庫的安全性。

6、一種資料庫管理系統（FoxPro/Oracle）應用：

（1）FoxPro DBMS的結構、特點及應用。 （2）Oracale DBMS的結構、特點及應用。

七、計算機體系結構

1、體系結構的基本概念：

（1）體系結構的定義。 （2）系統的功能層次。 （3）系統的分類。 （4）體系結構的繼承與發展。 （5）系統的安全性。

2、指令系統：

（1）指令格式及其優化。 （2）指令系統的復雜化。 （3）RISC技術。 （4）MIPS與MFLOPS。

3、存儲體系：

（1）存儲層次。 （2）虛存工作原理。 （3）Cache工作原理。

4、通道及新型匯流排：

（1）I/O方式的發展。 （2）通道工作原理。 （3）EISA與MCA。 （4）局部匯流排：VFSA與PCI。

5、並行處理技術：

（1）流水線技術。 （2）超流水線與超標量技術。 （3）向量處理機。 （4）多機系統。

6、系統性能評價：

（1）性能評價的概念。 （2）測試程序的分類。 （3）Benchmark的舉例。

八、計算機網路與通信

1、計算機網路的基本概念：

（1）網路的定義。 （2）網路的分類。 （3）網路的功能。 （4）網路拓撲。 （5）典型計算機網路組成。

2、數據通信技術：

（1）數據通信的基本概念。 （2）數據通信系統的組成。 （3）傳輸介質的類型與特點。 （4）數據傳輸方式。 （5）數據編碼方式。 （6）同步方式。 （7）線路復用技術。 （8）數據交換方式。 （9）差錯控制方法。

3、網路體系結構：

（1）網路體系結構的基本概念。 （2）ISO/OSIRM。 （3）物理層協議。 （4）數據鏈路層協議。 （5）網路層協議與X.25網層次。 （6）傳輸層協議。 （7）高層協議。

4、區域網技術：

（1）區域網拓撲。 （2）區域網傳輸介質。 （3）IEEE802模型與標准。 （4）CSMA/CD工作原理。 （5）Token Bus工作原理。 （6）Token Ring工作原理。 （7）FDDI工作原理。 （8）局部網互連與TCP/IP協議。 （9）區域網操作系統。 （10）區域網組網技術。 （11）區域網應用系統的安全性設計。

5、網路技術的發展：

（1）高速區域網。 （2）ISDN與B-ISDN。 （3）城域網。 （4）幀中繼。 （5）ATM技術。 （6）智能大廈與網路綜合布線技術。 （7）Clinent/Server的應用技術。 （8）ISO網路管理概念與標准。

上機測試內容

1、計算機操作能力。

2、C語言程序設計能力。

3、項目開發能力。

4、開發工具的使用能力。

上機測試說明

1、考試形式包括課堂筆試（180分鍾）和上機測試（60分鍾）。

2、試題包括選擇題和論述題兩種類型。

3、筆試中的選擇題用中、英兩種文字命題，其中英文題約佔三分之一，論述題用中文命題

I. 理解圖論演算法有什麼意義

恩，這個……恩，你是說理解圖論演算法為什麼要那樣做么？

恩，有兩種觀點，一種是看盡量多的演算法，第二種是理解透每個演算法。個人支持第二種。。。

恩，比如說么，對於最小生成樹演算法，如果你知道最小生成樹上的每條邊都是某個割上的最小邊的話，就會有很多應用。又如，由最短路演算法構造出不等式，差分約束就是一個經典的應用。
如此，還有很多……網路流什麼的我就不枚舉了……
反正後期自己研究出一些新的演算法很多證明都是要在理解的基礎上。

J. 數學建模應用的數學建模十大演算法

1、蒙特卡羅演算法,該演算法又稱隨機性模擬演算法，是通過計算機模擬來解決問題的演算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性。
2、數據擬合、參數估計、插值等數據處理演算法，通常使用Matlab作為工具。
3、線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題，通常使用Lindo、Lingo軟體實現。
4、圖論演算法，這類演算法可以分為很多種，包括最短路、網路流、二分圖等演算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決。
5、動態規劃、回溯搜索、分治演算法、分支定界等計算機演算法。
6、最優化理論的三大非經典演算法：模擬退火法、神經網路、遺傳演算法（這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的演算法，對於有些問題非常有幫助，但是演算法的實現比較困難，需慎重使用）
7、網格演算法和窮舉法，網格演算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的演算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視演算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。
8、一些連續離散化方法，很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化後進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要。
9、數值分析演算法（如果在比賽中採用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的演算法比如方程組求解、矩陣運算、函數積分等演算法就需要額外編寫庫函數進行調用）。
10、圖象處理演算法（賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理）。