三次樣條插值演算法

A. 三次樣條插值函數求得以後，怎麼算出具體的點

已知速度曲線v(t) 上的四個數據點下表所示

基本原理：
利用插值（即求過已知有限個數據點的近似函數）的基本原理,用多項式作為研究插值的工具,進行代數插值.其基本問題是：已知函數f (x)在區間[a,b]上n +1個不同點x0,…,xn處的函數值 (i = 0,1,…,n),求一個至多n 次多項式 ψn(x)
使其在給定點處與 f (x)同值,即滿足插值條件: ψn(x)= = .
許多工程技術中提出的計算問題對插值函數的光滑性有較高要求,如飛機的機翼外
形,內燃機的進、排氣門的凸輪曲線,都要求曲線具有較高的光滑程度,不僅要連續,
而且要有連續的曲率,這就導致了樣條插值的產生.
數學上將具有一定光滑性的分段多項式稱為樣條函數.具體地說,給定區間[a,b]
的一個分劃
Δ:
如果函數s(x) 滿足：
（i）在每個小區間[ ](i=0,1,…,n)上s(x)是k 次多項式；
（ii）s(x)在[a,b]上具有k −1階連續導數.
則稱s(x)為關於分劃Δ 的k 次樣條函數,其圖形稱為k 次樣條曲線.
基本思路：
根據插值的基本原理,先對v進行三次樣條插值,可以得到許多v(t)的值；然後根據積分的基本原理,分割、近似、求和、取極限,可以求得積分.根據求導原理,因變數的微小變化量與自變數變化量的商,可以求得所求點的導數值.
程序代碼：
t0=[0.15 0.16 0.17 0.18];v0=[3.5 1.5 2.5 2.8];
t=0.15:0.0001:0.18;
%三次樣條插值；
v=interp1(t0,v0,t,'spline');
v=spline(t0,v0,t);
pp=csape(t0,v0,'second');v=ppval(pp,t)% 使用csape函數；
S=sum(v)*0.0001;%求積分值
T=(v(301)-v(300))/0.0001;%求導數值
Plot(t0,v0,』*』,t,v);

B. 三次樣條插值計算步驟

三次樣條插值在實際中有著廣泛的應用，在計算機上也容易實現。下面介紹用計算機求取三樣條插值函數S（x）的演算法步驟：

（1）輸入初始節點離散數據x_i，y_i（i＝0，1，…，n）；

（2）依據式（6－46），計算h_i＝x_i－x_i－1，λ_i和R_i（i＝1，…，n－1）；

（3）根據實際問題，從式（6－49）、式（6－51）和式（6－53）中選擇一類對應的邊界條件，求取v₀，w₀，u₀，R₀，u_n，v_n，w_n，R_n；

（4）根據形成的方程組（6－54）的特點，選用追趕法、高斯法等解方程組，求出M_i（i＝0，1，2，…，n）；

（5）依據式（6－41）、式（6－42），計算插值點的三樣條插值函數值和該點的導數值。

C. 數值方法 三次樣條插值

也得不影響。。。 而且如果你固定用三次樣條插值的話，直接影響精確度的就是間距。

所有的多項式插值，（不止插值，連擬合都是這樣）只要方法固定下來，接下來直接影響精度的就是間距h了。

三次樣條插值本質上就是解一個矩陣對應的線性方程組。至於你最後一句話：
「是知道一系列等間距點和該出的值，求這些點中間處的插值點的值。」
。。。那一系列等間距點就是插值點，後面那個是你未知的部分的內容，3次樣條插值是求出一個可以穿過你原本給定的那一系列點的分段3次多項式函數，使得它在所有的點都保證至少2階連續可導的光滑度。三次樣條插值解出來的是各個分段的逼近多項式的表達式（3次的），得到全段的表達式後，你把你要估計的那個點的自變數值代進表達式得到該點的函數值。

插值有時候也會用來做別的事情。最常見的就是在估算原函數的積分的時候，威力巨大。

D. 三次樣條插值 三次樣條擬合

兩個擬合曲線分開寫. x=[1:16];y1=[2044 2399 2525 2376 2525 2392 2525 2525 2385 2385 2376 2392 2426 2457 2464 2426];xx=1:0.1:16;yy1=interp1(x,y1,xx, 'cubic spline');plot(x,y1,'ro','MarkerFaceColor','r');hold on;plot(xx,yy1,'LineWidth',2);grid on; 另外一個照著寫就可以了

E. 三次樣條插值求導法

由三樣條插值演算法求得M_i＝S″（x_i），並代入式（6－42）中，得求導公式如下：

（1）在節點上x＝x_i（i＝0，1，2，…，n）：

地球物理數據處理基礎

（2）在任意點x∈（x_i－1，x_i）：

地球物理數據處理基礎

辛卜生積分方程求導法和三次樣條插值求導法都需要求解三對角方程組，通常情況下，先用插值求導法求出區間邊界點的導數，然後求解方程組一次得到其餘節點的導數，而且精度比插值求導法要高。對於三次樣條求導法，還很容易求出區間任意點的導數值。最後指出，數值求導存在不宜克服的舍入誤差這一本質困難。

F. 三次均勻B樣條插值演算法

三次樣條插值（Cubic Spline Interpolation）簡稱Spline插值，是通過一系列形值點的一條光滑曲線，數學上通過求解三彎矩方程組得出曲線函數組的過程。
實際計算時還需要引入邊界條件才能完成計算。一般的計算方法書上都沒有說明非扭結邊界的定義，但數值計算軟體如Matlab都把非扭結邊界條件作為默認的邊界條件。

G. 你好，如何求三次樣條插值的基函數

三次樣條函數:
定義:函數S(x)∈C2[a,b] ，且在每個小區間[ xj,xj+1 ]上是三次多項式，其中
a =x0 <x1<...< xn= b 是給定節點，則稱S(x)是節點x0,x1,...xn上的三次樣條函數。
若在節點x j 上給定函數值Yj= f (Xj).( j =0, 1, , n) ，並成立
S(xj ) =yj .( j= 0, 1, , n) ，則稱S(x)為三次樣條插值函數。
實際計算時還需要引入邊界條件才能完成計算。邊界通常有自然邊界（邊界點的二階導為0），夾持邊界（邊界點導數給定），非扭結邊界（使兩端點的三階導與這兩端點的鄰近點的三階導相等）。一般的計算方法書上都沒有說明非扭結邊界的定義，但數值計算軟體如Matlab都把非扭結邊界條件作為默認的邊界條件。

H. 誰能用一句話解釋清楚三次樣條插值方法

問題講的很詳細，我就有信心解決了。呵呵！
其實，對於2D，3D使用meshgrid和ndgrid都可以，但要注意:
[X1,X2,X3] = NDGRID(x1,x2,x3)lt;=;[X2,X1,X3] = MESHGRID(x2,x1,x3)
即x和y軸要反向。為何呢？幫助說的很清楚:因為NDGRID適用於n維空間，而meshgrid適用於笛卡爾空間。

所以ppt上特意寫到必須用ndgrid是不對的。

meshgrid和ndgrid的用法不同之處在於:2D、3D都可以使用(區別是x軸,y軸的轉換)，但對於4D、5D只能使用ndgrid.
順便回答一下你沒問，但很多人問我的問題:為什麼要使用meshgrid?
matlab使用矩陣的方式進行運算，對於2D而言，如果采樣10個點(指x,y軸)，那麼對於x=第一個采樣點，反映到矩陣就是10個，即不管y是哪個值，x的第一采樣點保持不變；對y是同理。因此，2D產生的x和y都是兩維矩陣。

最後給你一個實例，說明兩者在這里是通用的：
x0=-3:.6:3;
y0=-2:.4:2;
[x,y]=ndgrid(x0,y0);
[Y,X]=meshgrid(y0,x0);
z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y);
Z=(X.^2-2*X).*exp(-X.^2-Y.^2-X.*Y);
sp=csapi({x0,y0},z);
SP=csapi({x0,y0},Z);
subplot(221),fnplt(sp);
subplot(222),fnplt(SP);