高斯投影演算法

① 高斯平面直角坐標的投影方法

高斯投影的方法是將地球按經線劃分為帶，稱為投影帶。投影是從首子午線開始的，分6°帶和3°兩種。每隔6°劃分一帶的叫6°帶，每隔3°劃分一帶的叫3°帶。我國領土位於東經72°∽136°之間，共包括了11個6°帶，即13∽23帶；22個3°投影帶即24∽45帶。
設想一個平面捲成橫圓柱套在地球外，如圖1－5（a)所示 。通過高斯投影，將中央子午線的投影作為
縱坐標軸，用x表示，將赤道的投影作橫坐標軸，用y表示，兩軸的交點作為坐標原點，由此構成的平面直角坐標系稱為高斯平面直角坐標系，如圖1－5（b) 所示。每一個投影帶都有一個獨立的高斯平面直角坐標系，區分各帶坐標系則利用相應投影帶的帶號。在每一個投影帶內，y坐標值都有正有負，這對於計算和使用都不方便，為了使y坐標都為正值，故將縱坐標軸向西平移500㎞，並在y坐標前加上投影帶的帶號。 6°帶投影是從英國格林尼治子午線開始，自西向東，每隔經差6°分為一帶，將地球分為60個帶，其編號分別為1，2，3，…60。任意帶的中央子午線經度為Lo，它與投影帶號N的關系如下所示：
Lo=(6N-3°)
式中：N———6°帶的帶號
離中央子午線越遠，長度變形越大，在要求較小的投影變形時，可採用3°投影帶。3°帶是在6°帶的基礎上劃分的，如圖所示。每3°為一帶，從東經1°30′開始，共120帶，其中央子午線在奇數帶時與6°帶的中央子午線重合，每帶的中央子午線可用下面的工式計算：
Lo=3N′
式中：N′——3°帶的帶號。
為了避免y坐標出現負值，3°帶的坐標原點同6°帶一樣，向西移動500㎞，並在y坐標前加3°帶的帶號。

② 高斯-克呂格投影理解

你想得不錯，確實有你說的這種投影的應用，那就是大名鼎鼎的「墨卡托投影」。其實高斯—克呂格投影以及UTM投影都可算作是墨卡托投影的變種。高斯投影是「等角橫切圓柱投影」，墨卡托投影時"等角正切圓柱投影」，UTM與墨卡托更類似，只不過用於軍事（美國）。高斯投影沒有角度變形——這是最關鍵的，在長度和面積上變形也很小，中央經線肯定無變形，自中央經線向東向西，變形逐漸增加。墨卡托投影的長度和面積變形明顯，但標准緯線無變形，從標准緯線向兩極變形逐漸增大，但因為它具有各個方向均等擴大的特性，保持了方向和相互位置關系的正確——這是最重要的。因此常用作航海圖和航空圖——也就是說絕對方位他不準，但是相對位置他最准。

③ 用通俗的方法講解高斯投影和中央子午線

中央子午線" 英文對照
central meridian;

"中央子午線" 在工具書中的解釋

1、又稱「中央經線」。位於投影帶中央的子午線。中央經線一般為直線,其他經線分布在它的兩側呈弧線。高斯投影帶的中央子午線即為一條直線,其長度不變。在六度帶中,它的經度為L=6°×n—3°,n為六度帶的帶號。(參看高斯投影分帶)。在其他小比例尺地圖投影中,中央經線也為直線,多通過所表示的主要地區。

"中央子午線" 在學術文獻中的解釋

1、每一個投影帶的中間一條子午線稱為中央子午線,其經度為6°n-3°(n為中央子午線的編號).而3°帶的中央子午線經度,則是按經3°為一帶,其經度是3°n(n為3°帶的編號)
文獻來源

2、高斯投影是設想將截面為橢圓的一個圓柱面橫套在旋轉橢球外面（圖A）並與旋轉橢球面上某一條子午線（NOS）相切同時使圓柱的軸位於赤道面內並通過橢球中心相切的子午線稱為中央子午線.然後將中央子午線附近的旋轉橢球面上的點、線投影到橫圓柱面上如將旋轉橢球面上的M點投影到橫圓柱面上得m點再順著中央子午線將圓柱面剪開展成平面如圖B所示這個平面稱為高斯投影平面

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1 前言
在地球物理勘察中，常常要提供測區、有利成礦區的面積，常用到面積量算。在小范圍內的測量中，通常我們都是先測出區域邊界點的平面坐標，再按封閉的區域計算面積，而在大面積的勘察中，這樣計算面積就不合適了，因為，測量上是以參考橢球面作為地球的參考面的，表現在該面上的地面圖形是曲面上的圖形，由於地球半徑很大，當測區面積較小時，可以把參考橢球面上的曲面當水平面看待，採用水平投影的方法即可，但測區面積較大時，曲面就不能當成平面看待了。
2 高斯投影的概念
高斯投影又稱橫軸橢圓柱等角投影，是德國測量學家高斯於1825～1830年首先提出的。實際上，直到1912年，由德國另一位測量學家克呂格推導出實用的坐標投影公式後，這種投影才得到推廣，所以該投影又稱高斯-克呂格投影。高斯投影就是設想一個橫橢園柱面作為投影面的分帶正形投影。如圖所示，使橢圓柱的軸通過旋轉橢圓體中心且與旋轉橢圓體的長軸重合(即與赤道面重合)，同時使橢圓柱面與旋轉橢圓體投影帶的中央子午線相切，在保持等角條件下，用數學的方法，將旋轉橢圓體投影帶上的點、線投影到橫橢圓柱面上。如旋轉橢圓體面上的A點投影到橢圓柱面上為a點，赤道面與橢圓柱面的交線EE為赤道的投影。 投影後，依過極點的母線（平行於橢圓柱軸的橢圓柱面上的直線）將橢圓柱面切開，並展成平面M，如圖所示，該平面叫高斯投影平面。
高斯投影有以下三條規律：
（1）旋轉橢球體面上兩極間經差相等的投影帶的子午線，除中央子午線投影後長度不變且為直線外，其餘子午線投影後為凹向中央子午線的曲線，並以中央子午線為對稱軸，其長度大於投影前長度，且離中央子午線愈遠變形愈大，因此投影帶上的線段除位於中央子午線上者外，其投影後長度均較實地長度增長。據推算，離中央子午線300公里時投影長度變形為1/900，而且由一點出發各方向的變形是成比例的。
（2）投影後的緯圈除赤道為直線外，其餘均為凸向赤道的曲線，並以赤道為對稱軸。
（3）經線與緯圈投影以後仍然保持正交。中央子午線與赤道投影後，變成互相垂直的直線。
3 高斯投影對面積測量的影響
高斯投影對面積測量的影響主要是通過對長度的影響引起的，我們進行地面測量實際上就是對大地橢球進行測量，根據高斯投影的概念我們知道，將橢球面投影到高斯平面上會產生一定的誤差，誤差的形成主要有兩個方面的原因：
（1）遠離中央子午線引起的誤差
高斯投影對測區面積測量的影響與測區到中央子午線的距離有關，離中央子午線越遠誤差就越大，我們以緯度為35°，離中央子午線不同的距離，經差緯差都是1′的區塊為例，其在橢球面上的面積是2813026.48m2，在高斯平面上因遠離中央子午線有不同的面積，如下表
緯差 10′ 30′ 1° 2° 3°
面積(m2) 2813044.16 2813175.69 2813613.67 2815356.60 2818257.47
面積比 1.000006285 1.000053 1.000209 1.000828 1.00186
表中面積比為高斯平面上面積與橢球面上面積的比，由表中可以看出，離中央子午線越遠面積增大得越多。
（2）投影面高程引起的誤差
將橢球面投影到不同高度的橢圓柱面上引起的誤差也是不同的，投影面高程越高誤差也越大，我們選擇橢球面上四個點，經緯度分別為 （111°00′30〃， 35°00′00〃），（110°59′30〃， 35°00′00〃），（110°59′30〃， 35°01′00〃），（111°00′30〃 ，35°01′00〃），通過計算我們得出其在橢球面上的面積為2813026.48m2
下表列舉了不同投影面高程對面積的影響
投影面高程 100m 200m 500m 1000m 2000m 5000m
面積(m2) 2813114.62 2813202.76 2813467.2 2813907.95 2814789.57 2817435.25
面積比 1.00003133 1.00006267 1.00015667 1.00031335 1.00062676 1.00156727
表中面積比為高斯面上面積與橢球面上面積的比。通過研究我們得出結論：遠離中央子午線、投影面高程使面積增大。
註：以上各表均採用武漢中地信息工程有限公司研製的mapgis地理信息系統進行計算。
4 正確計算測區面積的方法
（1）如果採用高斯投影的方法來計算面積，要根據本區的平均海拔高程選擇合適的投影面高程，選擇三度帶或更小的分帶來進行投影，若遇投影變形較大影響到測量精度時，還可以採用獨立坐標系統的任意帶投影，這樣就減小了投影面高程和中央子午線對面積的影響。
（2）採用其它投影方式如亞爾勃斯等積圓錐投影，這種投影是按等面積條件，將地球上的經緯線投影到剖於地球某兩條平行圈的圓錐面上，沿一條母線將圓錐面展開成平面。選用這種投影可以保證投影面面積與橢球面面積相等。當然通常只在計算面積時選用這種投影，其它測量工作還可以用高斯投影來進行。
（3）我們在探礦權測量中引入了區塊的概念，即將礦區分成若干很小的區塊，比如經差緯差都是15〃的小區塊，因為在相同緯度上，相同每一個小區塊的面積是相等的，這樣我們只要直接計算出一條經線上每隔15〃一個小區塊在地球橢球面上的面積，再計算出不同緯度區塊的數量就可以計算出礦區的面積了。

④ 哪裡能夠找到高斯投影反算公式

這是一個高斯反算的演算法，你可以參考以下，這個程序是針對克拉索夫斯基橢球的，轉成其他的橢球體的坐標，只需要換一下參數就可以了。
#define PI 3.1415926535
main()
{
float P;
float x,y,z;
float a,b,bf,Bf,B,l1,l2,L,L0;
float b2,b3,b4,b5;
float N,i,j,k;
int B1,B2,L1,L2;float B3,L3;
P=(180.0/PI)*3600.0;
printf("please enter x,y:\n");
scanf("%f,%f",&x,&y);
y-=500000;
a=x*P/6367558.4969;
b=(a*PI/180.0)/3600.0;
i=cos(b)*cos(b);
bf=a+(50221746+(293622+(2350+22*i)*i)*i)*sin(b)*cos(b)*P*(1E-10);
Bf=(bf*PI/180.0)/3600.0;
j=cos(Bf)*cos(Bf);
N=6399698.902-(21562.267-(108.973-0.612*j)*j)*j;
b2=(0.5+0.003369*j)*sin(Bf)*cos(Bf);
b3=0.333333-(0.166667-0.001123*j)*j;
b4=0.25+(0.16161+0.00562*j)*j;
b5=0.2-(0.1667-0.0088*j)*j;
z=(y/N)/cos(Bf);
k=z*z;
printf("Please enter L0:\n");
scanf("%f",&L0);
B=bf-(1-(b4-0.12*k)*k)*k*b2*P;
B=B/3600.0;
B1=(int)B;
B2=(int)((B-B1)*60);
B3=((B-B1)*60-(int)((B-B1)*60))*60.;
l1=(1-(b3-b5*k)*k)*z*P;
L=(l1/3600)+L0;
L1=(int)L;
L2=(int)((L-L1)*60);
L3=((L-L1)*60-(int)((L-L1)*60))*60.;
}
}

⑤ 計算校正法

(1)收集測區GPS控制點

一般情況使用的基礎地形圖是北京54坐標系或西安80坐標系，這樣就應收集該區域已知點的北京54坐標或西安80坐標，可以從當地測繪部門收集到，一般收集的坐標是北京54坐標系或西安80坐標系的平面坐標(X，Y，H)，這里的H通常是重力高程即海拔高度，所以需要進行換算獲取橢球高程(如果沒有換算參數也可以直接使用，一般不會影響平面坐標)。首先將獲取的平面坐標系坐標(X，Y)反算求出相應大地坐標(B，L)，這里的X、Y是高斯投影坐標，計算使用高斯投影的反變換公式，這里不再列舉，也可以使用軟體進行計算如MapGIS、ERDAS都具有這項功能，然後由大地坐標計算空間直角坐標系坐標。

通常情況下至少要收集三個控制點，且這三個控制點不應在一條直線上。然後收集這些控制點的WGS84的大地坐標(B，L，H)或直接測量出這些控制點的WGS84的大地坐標(B，L，H)，並換算成WGS84空間直角坐標系坐標(X，Y，Z)，這樣就可以計算dX、dY、dZ。

(2)計算坐標轉換的其他三個參數

dX、dY、dZ三個參數就是根據前面求出的控制點的WGS84與北京54或西安80大地坐標相對應的空間直角坐標系的X、Y、Z坐標的差值，當測區具有多個控制點時，取相應平均值作為參數值dX、dY、dZ。

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(3)計算坐標轉換參數的具體方法

由以上論述可以知道計算三個參數的理論方法，那麼如何進行實際的計算呢?由高斯投影平面坐標向大地坐標的轉換，GIS軟體或者遙感軟體都支持比如MapGIS、ERDAS，都可以完成相關的計算，所以這一步可以採用現有的軟體完成。

由大地坐標向地心直角坐標的轉換，現有的GIS或者遙感軟體鮮有支持者，所以需要進行轉換。為了方便起見，將轉換的公式再次列於下面。

設橢球長半軸為a，扁率為f，H為相對橢球面的高度，那麼大地坐標(B，L)處地心直角坐標系的計算公式為

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式中:N為緯度B處的卯酉圈曲率半徑，N=a/(1－e²sin²B)^1/2;e為橢球第一偏心率，e²=2f－f²。

大地坐標向地心直角坐標的轉換有兩種方法:

第一種方法是使用Excel表格進行計算，將上述公式輸入Excel中，輸入數據就可以實現計算的自動化。

第二種方法是自己編寫計算程序進行計算，可以使用任何計算機語言進行編寫，下面列出了使用C++語言編寫的計算轉換參數程序的源代碼，需要指出的是，這一程序可以有許多不同的編寫方法，這里只是列出了其中一種寫法以供參考，並且在這個程序中並沒有使用C++的標准庫，這主要是為了簡化程序，使用標准類庫會帶來更高的效率和穩定性，同時此程序沒有進行任何異常或者錯誤的處理，請讀者自己完成，以保證程序的正確性。

∥自定義結構體:ReferenceEllipseCoor，別名RECoor

∥欄位:B、L、H

∥目的:存儲大地坐標數據，作為指針參數傳遞

∥大地坐標系結構

{

doubleB;∥大地緯度

doubleL;∥大地經度

doubleH;∥橢球高

}RECoor;

∥函數名:

∥目的:計算坐標系轉換用da、df、dX、dY、dZ五參數

∥參數As:原橢球體長半軸

∥參數At:目標橢球體長半軸

∥參數Fs:原橢球體扁率

∥參數Ft:目標橢球體扁率

∥參數pSPoints:原橢球體上的大地坐標，RECoor指針類型

∥參數pTPoints:目標橢球體上的大地坐標，RECoor指針類型

∥參數n:轉換用坐標點對個數

∥參數da:引用類型返回轉換參數之一DA

∥參數df:引用類型返回轉換參數之一DF

∥參數dX:引用類型返回轉換參數之一DX

∥參數 dY: 引用類型返回轉換參數之一 DY

∥參數 dZ: 引用類型返回轉換參數之一 DZ

void (double As，double At，

double Fs，double Ft，RECoor * pSPoints，RECoor * pTPoints，

int n，double＆ dA，double＆ dF，double＆ dX，double＆ dY，double＆ dZ)

{

double dXSum = 0;

double dYSum = 0;

double dZSum = 0;

double Xs;

double Ys;

double Zs;

double Xt;

double Yt;double Zt;

double esq = 2* Fs － Fs* Fs;

double etq = 2* Ft － Ft* Ft;

for(int i = 0; i < n; i + + )

{

double B = pSPoints ［i］ . B;

double L = pSPoints ［i］ . L;

double H = pSPoints ［i］ . H;

double SinB = : : sin(B);

double CosB = : : cos(B);

double SinB2 = SinB* SinB;

double SinL = : : sin(L);

double CosL = : : cos(L);

double N = As/: : sqrt(1 － esq* SinB2);Xs =(N + H)* CosB* CosL;

Ys =(N + H)* CosB* SinL;

Zs =(N*(1 － esq)+ H)* SinB;

B = pTPoints ［i］ . B;

L = pTPoints ［i］ . L;

H = pTPoints ［i］ . H;

SinB = : : sin(B);

CosB = : : cos(B);

SinB2 = SinB* SinB;

SinL = : : sin(L);

CosL = : : cos(L);

N = At/: : sqrt(1 － etq* SinB2);

Xt =(N + H)* CosB* CosL;

Yt =(N + H)* CosB* SinL;

Zt =(N*(1 － etq)+ H)* SinB;

dXSum + =(Xs － Xt);

dYSum + =(Ys － Yt);

dZSum + =(Zs － Zt);

}

dA = As-At;

dF = Fs-Ft;

dX = dXSum/n;

dY = dYSum/n;

dZ = dZSum/n;

}

⑥ 求高斯投影中的中央經線

1∶2.5萬及1∶5萬的地形圖採用6度分帶投影。

中央子午線為102度，帶號為17，(6度帶投影) 102/6=17。

======
原理如下：
1∶2.5萬及1∶5萬的地形圖採用6度分帶投影，即經差為6度，從零度子午線開始，自西向東每個經差6度為一投影帶，全球共分60個帶，用1，2，3，4，5，……表示．即東經0～6度為第一帶，其中央經線的經度為東經3度，東經6～12度為第二帶，其中央經線的經度為9度……。

1∶1萬的地形圖採用3度分帶，從東經1.5度的經線開始，每隔3度為一帶，用1，2，3，……表示，全球共劃分120個投影帶，即東經1.5～ 4.5度為第1帶，其中央經線的經度為東經3度，東經4.5～7.5度為第2帶，其中央經線的經度為東經6度．

如何計算當地的中央子午線？
當地中央子午線決定於當地的直角坐標系統，首先確定您的直角坐標系統是3度帶還是6度帶投影
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公式推算:
6度帶中央子午線計算公式：當地經度/6=N；中央子午線L=6 * N （帶號）
當沒有除盡，N有餘數時， 中央子午線L=6*N - 3
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3度帶中央子午線計算公式： 當地經度/3=N；中央子午線L=3 X N
---------------------------------------------------------------------------------------------
我國的經度范圍西起 73°東至135°，可分成
六度帶十一個（13號帶—23號帶），各帶中央經線依次為（75°、81°、……123°、129°、135°）；

三度帶二十二個（24號帶—45號帶）。各帶中央經線依次為（72°、75°、……132°、135°）；

六度帶可用於中小比例尺（如 1：250000）測圖，三度帶可用於大比例尺（如 1：10000）測圖，城建坐標多採用三度帶的高斯投影
---------------------------------------------------------------------------------------------
如何判斷投影坐標是3度帶坐標還是6度帶坐標
如(4231898,21655933)其中21即為帶號，同樣所定義的東偽偏移值也需要加上帶號，如21帶的東偽偏移值為21500000米。假如你的工作區經度在120度至126度范圍，則該坐標系為6度帶坐標系，該帶的中央經度為123度。
如(2949320,36353822)其中36即為帶號，已知該地點位於貴陽市附近，而從地圖上我們看到貴陽大概的經度是東經108度左右，因此可以36*3=108，所以該坐標系為3度帶坐標系，該帶的中央經度為108度。而不可能為6度帶：36*6=216。高斯投影是正形投影的一種，同一坐標系中的高斯投影換帶計算公式是根據正形投影原理推導出的兩個高斯坐標系間的顯函數式。在同一大地坐標系中(例如1954北京坐標系或1980西安坐標系)，如果兩個高斯坐標系只是主子午線的經度不同，那麼顯函數式前的系數可以根據坐標系使用的橢球元素和主子午線經度唯一確定。但如果兩個高斯坐標系除了主子午線的經度不同以外，還存在其他線性系，則將線性變換公式代入換帶計算的顯函數式中，仍然可以得到嚴密的坐標變換公式。此時顯函數式前的系數等價於使用兩個坐標系主子午線的經度和線性變換參數聯合求解得到的，可以唯一確定。

⑦ 高斯投影帶3度分帶法為什麼從東經1°30′起開始

應該是為保證3°分帶和6°分帶的中央經線一致

⑧ 高斯投影是通過什麼方法將地球橢球面上的圖形展繪到平面上的

地球表面的距離，經過高程歸化改正，歸化到地拖橢球面上，然後通過高斯投影改正，計算到高斯平面上。

⑨ 2．設我國某地一點的高斯坐標為： ＝3234567.89m， ＝38432109.87m。問該點是屬於幾度帶高斯投影坐標

你這個坐標是3度帶的。
3度帶的中央子午線是114,演算法是Y的前2位乘以3,你這個坐標是3度帶的.我國的經度范圍是西起73,東至135，6度帶范圍為13-23,一共11個，3度帶范圍為24-45，共22個。

⑩ 年北京坐標系與西安坐標系的轉換方法

在礦業權實地核查准備工作階段，收集到的地質、測繪等相關資料、圖件和礦業權登記數據中，所涉及的地理數據可能是不同大地坐標系下的坐標數據。從實際情況來看，礦業權拐點坐標大多採用的是1954年北京坐標系，礦區已有的測量控制點和測量資料多數採用的也是1954年北京坐標系。本次礦業權實地核查測量工作採用的是1980西安坐標系，在實地測量和數據整理中涉及1954年北京坐標系與1980西安坐標系的轉換。下面簡要介紹二者之間轉換的理論與方法。

（一）高斯投影正算和反算

將大地坐標換算為平面直角坐標，叫做高斯投影正算，是在同一橢球中進行，不存在誤差。其常用量定義和公式如下：

a為橢球長半軸

b為橢球短半軸

f為橢球扁率

e為第一偏心率

e＇為第二偏心率

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B為緯度，單位為弧度

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M為子午圈曲率半徑

N為卯酉圈曲率半徑

子午線弧長X

設有子午線上兩點p1和p2,p1在赤道上，p2的緯度為B,p1、p2間的子午線弧長X計算公式：

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例如，1980西安坐標系a=6378140,e²=0.006694385,A'＝1.005052506,B'＝0.002531556209,C'＝2.656901555E-06,D'＝3.470075599E-09,E'＝4.916542167E-12,F '＝7.263137253E-15,G'＝1.074009912E-17以B=30°弧度值0.5235987756為例，在Y=0時算得X=3320114.946。

當Y≠0,l≠0時則需要採用下列積分和逐次趨近的方法。

（1）高斯正算公式（利用點的經緯度計算XY坐標）

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（2）高斯反算公式（利用點的XY坐標計算經緯度）

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（3）底點緯度B_f迭代公式

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直到B_i-1-B_i小於某一個指定數值，即可停止迭代。

式中

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國家測繪局經過改進，將7個系數改為5個算出各橢球的值，採用公式如下：

（1）高斯投影正算（B,L→x,y）

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式中：X₀=C₀B-cosB（C₁sinB+C₂sin²B+C₂sin⁵B+C₄sin⁷B）

m₀=lcosB

l=L－中央子午線經度值（弧度）

L,B為該點的經緯度值。

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式中：t=tanB，η²=e'²cos²B,

C,C₀,C₁,C₂,C₃,C₄,e²為橢球常數

（2）高斯投影反算（x,y→B,L）

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式中：t=tanB_f，η²=e'²cos²B_f，

，K₁K₂,K₃,K₄為橢球常數。

各坐標系橢球常數如表4-1。

表4-1 各大地坐標系橢球常數

國家測繪局採用的公式編程更加容易，高斯投影的正算、反算因為是在同一橢球下進行，公式是嚴密的，不存在誤差，電算操作非常方便。現在網上很多軟體有這種功能。度、分、秒輸入使用小數形式，小數點前面是度，小數點後前兩位為分，後兩位為秒，再後面為秒的十進制小數。如25.23451124其值為25°23′45.1124″，正反算已經成了非常簡單的事。高斯正算、反算必須考慮到橢球參數，橢球不同結果是不同的。必須考慮到中央子午線位置。因為各帶中都有重復點，本次實地核查要求使用3度帶，所有Y坐標必須帶有3°帶的帶號，不允許使用獨立坐標系或假定坐標系。

（二）參心坐標與空間直角坐標的關系

空間直角坐標X、Y、Z與大地坐標B、L、H間的關系表示如下：

全國礦業權實地核查技術方法指南研究

大地坐標B、L、H 與空間直角坐標X、Y、Z間的關系表示如下：

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式中

在轉換中對於不知道橢球高的控制點可將控制點的大地高置為0，放在橢球面上計算，三維就變成二維，其效果更好。

（三）坐標系統轉換

1954年北京坐標系與1980西安坐標系的轉換通常有兩種方法：四參數轉換法和七參數轉換法。

1.四參數轉換法

所謂四參數轉換是兩個平移參數，一個旋轉參數，一個尺度比。不考慮什麼橢球，在小范圍內按平面坐標直接平移、旋轉、縮放。最少條件是兩個公共點，多公共點時可以使用最小二乘法，刪除殘差大的點。這在區域面積小的情況下是可以的，一般不宜超過40平方千米。四參數轉換模型如下：

x₂＝Δx+x₁（1+m）cosa-y（1+m）sina

y₂＝Δx+x₁（1+m）sina-y（1+m）cosa

2.七參數轉換法

該方法適用於橢球間的坐標轉換。其實質是原橢球空間直角坐標（X₁,Y₁,Z₁）與新橢球空間直角坐標（X₂,Y₂,Z₂）間的轉換。橢球間的坐標轉換至少需要3個公共點，解算七參數。轉換公式採用的是布爾莎公式，法方程的解算採用高斯消元法。高斯消元法，是線性代數中的一個演算法，可用來為線性方程組求解，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。當用於一個矩陣時，高斯消元法會產生出一個「行梯陣式」。高斯消元法可以用在電腦中來解決數千條等式及未知數。迭代法較消元法的殘差大。

橢球間的坐標轉換適用基於橢球的參心（地心）坐標系間的轉換，而不適用於基於平面的獨立坐標系間以及獨立坐標系和參心（地心）坐標系間的轉換。基於橢球的坐標轉換中（七參數），橢球→橢球的轉換實際上是在空間直角坐標系中完成的。完整的變換過程如下（以「平面→平面」為例）：（x₁,y₁,H₁）→（B₁,L₁,H₁）→（X₁,Y₁,Z₁）→（X₂,Y₂,Z₂）→（B₂,L₂,H₂）→（x₂,y₂,H₂）。首先把直角坐標系下的直角坐標，原公共點中的1954年北京坐標轉換成2000國家大地經緯度坐標，再轉換為1954年北京坐標系的參心坐標，公共點的1980西安坐標做同樣轉換。利用兩個橢球的參心（地心）坐標求得轉換參數，利用該參數直接將1954年北京坐標系下的坐標轉換成1980西安坐標系下的坐標。在上述過程中，高程H₁、H₂是大地高（橢球高）。大地高＝正常高＋測區高程異常。如果不需要轉換高程的話，可以將高程和高程異常全部置為0。不可將1954年北京坐標系坐標所帶的正常高直接代入。

七參數的轉換模型如下：

（1）七參數轉換模型

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式中：ΔB，ΔL為同一點位在兩個坐標系下的緯度差、經度差（弧度）；

a，Δf為橢球長半軸差（米）、扁率差（無量綱）；

X，ΔY，ΔZ為平移參數（米）；

ε_x，ε_y，ε_z為旋轉參數（弧度）；

m為尺度參數（無量綱）。

最少3個公共點可以解求出七個參數。

（2）三維七參數轉換模型

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式中：ΔB，ΔL，ΔH為同一點位在兩個坐標系下的緯度差（弧度）、經度差（弧度）、大地高差（米）；

ρ為一個弧度的秒值，180×3600/π弧度/秒；

a為橢球長半軸差（米）；

f為扁率差（無量綱）；

X，ΔY，ΔZ為平移參數（米）；

εx，ε_y，ε_z為旋轉參數（弧度）；

m為尺度參數（無量綱）。

最少3個公共點可以解求出七個參數。

七參數適用於整個測區的轉換，面積小於2000平方千米的可以一次轉換完成，面積大的可以分區轉換，各分區之間應選公共點，以保證數據的接邊精度。關於殘差，國家規定以1∶2000圖為例，殘差為圖上0.1毫米即實地20厘米，超過3倍中誤差的點刪除。為了保證礦業權礦界拐點轉化的精度，本次礦業權實地核查規定殘差超過實地0.1米一般不宜使用，實際上比國家規定的精度嚴，相當於國家規定的1/6。

（四）利用坐標轉換軟體進行坐標轉換

以上介紹了1954年北京坐標系和1980西安坐標系轉換的理論，在實際轉換時可以採用相關的軟體來完成。目前，市場上有多種坐標轉換軟體可供選擇。在選擇軟體時，應注意部分軟體轉換的精度可能達不到本次礦業權實地核查的要求。下面以經天測繪技術公司開發的測量計算工具包軟體V4.05為例，介紹坐標轉換方法。

該軟體界面如圖4-3。該軟體可以進行高斯正算、高斯反算、坐標換帶、橢球間的轉換，可以批量導入，可以保存數據、保存公共點，包括了坐標轉換所需的相關計算功能。另外，該軟體還能實現2000國家大地坐標系與1954年北京坐標系、1980西安坐標系、WGS-84坐標系以及獨立坐標系的轉換。

圖4-3 經天測繪技術公司開發的測量計算工具包軟體界面

坐標系統變換，可以採用平面坐標轉換中的多公共點相似變換和橢球坐標轉換。小面積可以採用多公共點相似變換。限制在400平方千米左右，不超過1 幅1∶50000圖。它與中央子午線無關、高程需要置為0，計算參數的輸入文件為文本文件，格式為：

點號，原X 坐標，原Y坐標，新X 坐標，新Y坐標

需要轉換的輸入文件格式為：

點號，原X 坐標，原Y坐標

參數計算點數不超過30個，文件可以導入，公共點可以保存，參數也可以保存。轉換坐標可以導入，轉換後的坐標可以保存。需要注意的是，轉換坐標的位數與計算參數的坐標位數應一致。計算參數不使用帶號，轉換後坐標也沒有帶號。圖4-4中的算例X捨去前4位，Y捨去前3位。

圖4-4 多公共點平面相似變換窗口

面積較大的測區應使用7參數轉換。在橢球間坐標轉換開關下，有平面－平面、大地－平面、平面－大地、大地－大地4個子開關。對於采礦權，可使用平面－平面；對於探礦權，使用大地－大地，小數後位數較多，根據需要可將尾部刪去。輸入文件的格式與上述相同，需要輸入中央子午線，Y坐標不加帶號，在不知道1954年北京坐標、1980西安坐標的橢球高的情況下，可在高程欄輸入0，測區高程異常輸入0，探礦權是大地坐標格式，小數點前3位為°，後2位為′，3、4位為″，後面為十進制的秒的小數，如108°33′15″8563，輸入108.33158563，由於控制點坐標是X、Y格式，可用高斯投影反算將控制點變為大地坐標格式。或是使用高斯坐標正算把探礦權登記坐標轉換為直角坐標，計算完成後再使用高斯坐標反算將1980西安坐標轉換為2000國家坐標。圖4-5表示一個縣的采礦權轉換過程，Y坐標略去了前3位數。

圖4-5 橢球間平面坐標轉換窗口

需要注意的是，該軟體沒有採用軟體狗加密，但需要注冊才能用，採用機器碼注冊，一個軟體只能裝一台計算機專用。