上界演算法

『壹』 【請教】演算法中漸進上界的疑問

你老師沒告訴你，根據定義：因為nlogn
<=
n^2.所以，如果一個演算法有O（nlogn）的運行時間，那麼他也有O(n^2)的運行時間，只能說明，滿足大O定義，但對時間分析沒有比較意義，為便於比較通常只找出一個同階的比較簡單的函數，來體現F(n)，所以你的說法是不正確的。

『貳』 演算法時間復雜度下界

請在wiki網路上搜索
大O符號
上面有非常詳細的解釋，還有實例。我這里黏貼不了，你自己去看吧

『叄』 數據結構：排序演算法總會提到的上界和下界是什麼意思呀

簡單來說，上界就是時間復雜度總不會超過這個數量級，下界就是時間復雜度總不會低於這個數量級。具體去wiki上看下O，Ω，Θ，o，ω的數學定義吧

『肆』 什麼是分支演算法

分支限界演算法：
分支定界 (branch and bound) 演算法是一種在問題的解空間樹上搜索問題的解的方法。但與回溯演算法不同，分支定界演算法採用廣度優先或最小耗費優先的方法搜索解空間樹，並且，在分支定界演算法中，每一個活結點只有一次機會成為擴展結點。

利用分支定界演算法對問題的解空間樹進行搜索，它的搜索策略是：

1 ．產生當前擴展結點的所有孩子結點；

2 ．在產生的孩子結點中，拋棄那些不可能產生可行解（或最優解）的結點；

3 ．將其餘的孩子結點加入活結點表；

4 ．從活結點表中選擇下一個活結點作為新的擴展結點。

如此循環，直到找到問題的可行解（最優解）或活結點表為空。

從活結點表中選擇下一個活結點作為新的擴展結點，根據選擇方式的不同，分支定界演算法通常可以分為兩種形式：

1 ． FIFO(First In First Out) 分支定界演算法：按照先進先出原則選擇下一個活結點作為擴展結點，即從活結點表中取出結點的順序與加入結點的順序相同。

2 ．最小耗費或最大收益分支定界演算法：在這種情況下，每個結點都有一個耗費或收益。如果要查找一個具有最小耗費的解，那麼要選擇的下一個擴展結點就是活結點表中具有最小耗費的活結點；如果要查找一個具有最大收益的解，那麼要選擇的下一個擴展結點就是活結點表中具有最大收益的活結點。

又稱分支定界搜索法。過程系統綜合的一類方法。該法是將原始問題分解，產生一組子問題。分支是將一組解分為幾組子解，定界是建立這些子組解的目標函數的邊界。如果某一子組的解在這些邊界之外，就將這一子組舍棄（剪枝）。分支定界法原為運籌學中求解整數規劃(或混合整數規劃)問題的一種方法。用該法尋求整數最優解的效率很高。將該法原理用於過程系統綜合可大大減少需要計算的方案數日。

分支定界法的思想是：首先確定目標值的上下界，邊搜索邊減掉搜索樹的某些支，提高搜索效率。

在競賽中，我們有時會碰到一些題目，它們既不能通過建立數學模型解決，又沒有現成演算法可以套用，或者非遍歷所有狀況才可以得出正確結果。這時，我們就必須採用搜索演算法來解決問題。
搜索演算法按搜索的方式分有兩類，一類是深度優先搜索，一類是廣度優先搜索。我們知道，深度搜索編程簡單，程序簡潔易懂，空間需求也比較低，但是這種方法的時間復雜度往往是指數級的，倘若不加優化，其時間效率簡直無法忍受；而廣度優先搜索雖然時間復雜度比前者低一些，但其龐大的空間需求量又往往讓人望而卻步。
所以，對程序進行優化，就成為搜索演算法編程中最關鍵的一環。
本文所要討論的便是搜索演算法中優化程序的一種基本方法棗「剪枝」。

什麼是剪枝
相信剛開始接觸搜索演算法的人，都做過類似迷宮這樣的題目吧。我們在「走迷宮」的時候，一般回溯法思路是這樣的：
1、這個方向有路可走，我沒走過
2、往這個方向前進
3、是死胡同，往回走，回到上一個路口
4、重復第一步，直到找著出口
這樣的思路很好理解，編程起來也比較容易。但是當迷宮的規模很大時，回溯法的缺點便暴露無遺：搜索耗時極巨，無法忍受。
我們可不可以在向某個方向前進時，先一步判斷出這樣走會不會走到死胡同里呢？這樣一來，搜索的時間不就可以減少了嗎？
答案是：可以的。
剪枝的概念，其實就跟走迷宮避開死胡同差不多。若我們把搜索的過程看成是對一棵樹的遍歷，那麼剪枝顧名思義，就是將樹中的一些「死胡同」，不能到達我們需要的解的枝條「剪」掉，以減少搜索的時間。
搜索演算法，絕大部分需要用到剪枝。然而，不是所有的枝條都可以剪掉，這就需要通過設計出合理的判斷方法，以決定某一分支的取捨。在設計判斷方法的時候，需要遵循一定的原則。
剪枝的原則
1、正確性
正如上文所述，枝條不是愛剪就能剪的。如果隨便剪枝，把帶有最優解的那一分支也剪掉了的話，剪枝也就失去了意義。所以，剪枝的前提是一定要保證不丟失正確的結果。
2、准確性
在保證了正確性的基礎上，我們應該根據具體問題具體分析，採用合適的判斷手段，使不包含最優解的枝條盡可能多的被剪去，以達到程序「最優化」的目的。可以說，剪枝的准確性，是衡量一個優化演算法好壞的標准。
3、高效性 設計優化程序的根本目的，是要減少搜索的次數，使程序運行的時間減少。但為了使搜索次數盡可能的減少，我們又必須花工夫設計出一個准確性較高的優化演算法，而當演算法的准確性升高，其判斷的次數必定增多，從而又導致耗時的增多，這便引出了矛盾。
因此，如何在優化與效率之間尋找一個平衡點，使得程序的時間復雜度盡可能降低，同樣是非常重要的。倘若一個剪枝的判斷效果非常好，但是它卻需要耗費大量的時間來判斷、比較，結果整個程序運行起來也跟沒有優化過的沒什麼區別，這樣就太得不償失了。
綜上所述，我們可以把剪枝優化的主要原則歸結為六個字：正確、准確、高效。
剪枝演算法按照其判斷思路可大致分成兩類：可行性剪枝及最優性剪枝。

對於分支定界演算法,上界是已求得的可行解的目標函數值中的最小者,分為初始上界和在探測過程中產生的動態上界.分支定界法在求最優解的迭代過程中, 若某結點估計的下界不小於已知的上界, 則不必從該節點往下繼續搜索. 因此若能產生一個較好的上界, 可以消除許多不必要的列舉計算.

分支定界演算法的實現
在描述分支定界演算法步驟之前, 先對演算法涉及到的有關術語進行定義如下:
p —— 分支層數;
C*—— 當前最優目標函數值;
P*—— 相應於C*的工件順序;
P1—— 當前節點(現在需要進行分支的節點)所對應的部分序列.
分支定界演算法的實施步驟如下:
步驟1 初始化: 設置p = 0, P 1 = Á (空集) , C* = ∞.設當前節點總是與P 1 相對應. 此時, 當前節點即根節點.
步驟2 計算從當前節點分支得到的各個子節點的下界, 並按下界值由小到大對各子節點排序. 令p ←p + 1.
步驟3 如果當前節點被探測盡, 令p ←p - 1, 轉步驟6. 否則, 設當前層(第p 層) 各活動子節點中具有最小下界值的節點為Q , 則在P 1末尾加入Q 對應第p 位置上的工件, 此時的當前節點轉為Q , 轉步驟4.
步驟4 因為當前節點是同層同父節點具有最小下界值的節點, 如果當前節點下界值大於或等於C* , 則不必再搜索當前節點及其同層同父的活動節點, 這樣, 當前節點的上一層節點(父節點)被探測盡, p ←p - 1, 去掉P 1 中的最後一個工件,轉步驟6. 否則, 轉步驟5.
步驟5 如果p = n, 則得到一個較優順序.令P* = P 1, C* 是當前節點的下界值, p ←p - 1,去掉P 1 中最後一個工件, 轉步驟6; 否則轉步驟2.
步驟6 若p ≠ 0, 去掉P 1 中最後一個工件,轉步驟3; 否則, 演算法停止. C* 是最優的目標函數值, P* 是最優順序.

分支結構演算法的實現(編程基礎)

我現在學到了分支結構了。又遇到問題了，不知道你還在不在,可以幫我嗎?(可以，沒問題.)
1、用Pascal語言表示下列的條件表達式：
（1）：x小於10；
（2）：0<=y<=5;(『小於等於』不會打)
（3）：x大於5或x為負數；
（4）：ch在「A」和「Z」之間（包括「A」和「Z」）；
（5）：年齡（age)不小於18，國籍(natioality)不是中國「CHINA」,也不是朝鮮「KOREA」的男性公民(sex=`maie`);
（6）：正數，在2～100之間且不能被2，或3，或5整除。
2、試寫出下列各項的Pascal語句：
（1）：如果wage大於10000，便減去10%的wage.
（2）：如果Choice的值為1，則讀取x的值，並列印x的平方；否則讀取y的值，並列印y的平方。

『伍』 為什麼sinx x在(0,∞)上有界 上界下界各是多少，麻煩給出演算法，本人今年大一，所以盡量不要使用太復雜方法

我也大一，你自己畫一下函數圖像，y=X圖像在Y=sinx上面，比一下明顯上界只能是1就是X趨近0時，這個證明書上有的。下界是負的，應該是X在派與(3/2)派之間時Y的值，或者你自己求導看看，令導數等於0求求看負的那個極值，肯定就下界了。

『陸』 Dijkstra在演算法導論中的證明中有一個用到上界性質 請問這個上界性質是什麼

單源最短路徑問題，或者稱為最短路徑問題，是要確定從s到V中每一個其他dijkstra演算法的思想是DP 貪心. 每次尋找「最近點」擴展並更新狀態 for(i=1 ..

『柒』 怎麼求演算法的時間復雜性的上界和下界

簡單一點，忽略諸如程序在循環變數上的開銷，只考慮循環體
復雜度是通過數運算次數直接數出來的，要知道循環多少次，以及每次循環的工作量
(1)循環n次，每次兩步加法兩步賦值，簡單一點講就是每次循環工作量都是常數，所以復雜度就是Θ(n)（既是上界也是下界）
對於(2)而言，n=n-1下降比較慢，n=n/2下降比較快，同樣每次循環的工作量都是常數，只要看循環次數，所以從前者去統計上界，從後者統計下界
最少的情況來自n=2^k的形式，要循環k步，復雜度下界是Ω(log n)
循環次數比較多的情況是反復出現n=n-1運算的情況，但注意一旦執行該運算之後n一定變成偶數，所以最壞情況是n=n-1和n=n/2交替出現，此時循環次數不超過2log_2 n，復雜度上界是O(log n)
合並起來總體的復雜度還是Θ(n)

『捌』 演算法分析怎麼求函數的上界函數、下界函數、平均界函數

果存在一個常數M,對於變數x在定義域內,函數f(x)都滿足 f(x)N , 則稱f(x)下有界,又稱下有界函數. 如果上有界又是下有界函數稱有界函數

『玖』 最近在研究演算法，書上一直說時間是O（logn），但是沒有明確說logn的底是什麼，這樣理解是否准確

從理論上，無論低是什麼都無關緊要，因為不同底的logn之間只存在常數倍的關系，這與n無關，不會影響復雜度的大小。

『拾』 求演算法上界的問題

如果有lim(n->∞) T(n)/f(n)=常數C>0，則稱演算法T(n)的時間復雜度為O(f(n))
對於T(n)=2^n+n^2，顯然有lim(n->∞) (2^n+n^2)/(2^n)=1，因此我們說這個演算法的時間復雜度是O(2^n)。