prim演算法的復雜度
A. 關於prim演算法的時間復雜度
Prim演算法的時間復雜度與網中的邊數無關，適合於稠密圖。
通過鄰接矩陣圖表示的簡易實現中，找到所有最小權邊共需O（V）的運行時間。使用簡單的二叉堆與鄰接表來表示的話，普里姆演算法的運行時間則可縮減為O(ElogV)，其中E為連通圖的邊數，V為頂點數。
如果使用較為復雜的斐波那契堆，則可將運行時間進一步縮短為O(E+VlogV)，這在連通圖足夠密集時（當E滿足Ω（VlogV）條件時），可較顯著地提高運行速度。
(1)prim演算法的復雜度擴展閱讀：
演算法描述：
1、輸入：一個加權連通圖，其中頂點集合為V，邊集合為E；
2、初始化：Vnew= {x}，其中x為集合V中的任一節點（起始點），Enew= {},為空；
3、重復下列操作，直到Vnew= V：
在集合E中選取權值最小的邊<u, v>，其中u為集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合當中，並且v∈V（如果存在有多條滿足前述條件即具有相同權值的邊，則可任意選取其中之一）；
將v加入集合Vnew中，將<u, v>邊加入集合Enew中；
4、輸出：使用集合Vnew和Enew來描述所得到的最小生成樹。
B. 利用Prim（普里姆）演算法 構造最小生成樹 程序
演算法同樣是解決最小生成樹的問題。
其演算法為：在這n個點中的相通的邊進行排序，然後不斷地將邊添加到集合中（體現了貪心的演算法特點），在並入集合之前，必須檢查一下這兩點是不是在一個集合當中，這就用到了並查集的知識。直到邊的集合達到了n-1個。
與prim演算法的不同：prim演算法為單源不斷尋找連接的最短邊，向外擴展，即單樹形成森林。而Kruskal演算法則是不斷尋找最短邊然後不斷將集合合並，即多樹形成森林。
復雜度的不同：prim演算法的復雜度是O(n^2),其中n為點的個數。Kruskal演算法的復雜度是O(e*loge)，其中e為邊的個數。兩者各有優劣，在不同的情況下選擇不同的演算法。
Prim演算法用於求無向圖的最小生成樹
設圖G =（V，E），其生成樹的頂點集合為U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的邊(u，v)∈E中找一條最小權值的邊，加入生成樹。
③、把②找到的邊的v加入U集合。如果U集合已有n個元素，則結束，否則繼續執行②。
其演算法的時間復雜度為O(n^2)
Prim演算法實現：
（1）集合：設置一個數組set(i=0,1,..,n-1),初始值為 0,代表對應頂點不在集合中（注意：頂點號與下標號差1）
（2）圖用鄰接陣表示，路徑不通用無窮大表示，在計算機中可用一個大整數代替。
{先選定一個點，然後從該點出發，與該點相連的點取權值最小者歸入集合，然後再比較在集合中的兩點與其它各點的邊的權值最小者，再次進入集合，一直到將所有的點都歸入集合為止。}
C. prim演算法
Prim演算法是一種用於尋找圖的最小生成樹的演算法。最小生成樹指的是連接所有節點的邊的集合，且所有邊的權重之和最小。Prim演算法的基本思想是從一個節點出發，逐漸構建生成樹，每次選擇當前生成樹到未訪問節點中邊權最小的邊，添加到生成樹中，直到所有節點都被訪問過。最終得到的生成樹是連接所有節點的最小權重樹。該演算法的時間復雜度通常為O，其中V是圖中的節點數量。
Prim演算法的具體步驟如下：
1. 初始化：從圖中的任意一個節點開始，將該節點加入到生成樹集合中。
2. 選擇邊：在所有連接已訪問節點和未訪問節點的邊中，選擇權重最小的邊，將該邊及其未訪問的節點加入到生成樹中。
3. 重復上述步驟，直到所有節點都被訪問過。在此過程中，始終保持生成樹中的邊權之和最小。
Prim演算法的核心在於每次選擇邊時，都需要找到當前生成樹到未訪問節點中邊權最小的邊。為了實現這一點，可以使用鄰接矩陣或優先隊列來存儲邊的權重信息，並在每次選擇時查找最小的邊。由於該演算法需要多次查找最小邊，因此時間復雜度較高，但在稀疏圖中表現較好。
總的來說，Prim演算法是一種貪心演算法，通過逐步構建最小生成樹來尋找圖的最小連通子圖。它在網路設計、電路設計等領域有廣泛應用，可以幫助人們找到連接所有節點的最低成本路徑。
此外，Prim演算法還可以用於解決一些其他問題，如尋找連通區域的邊界等。它的應用場景十分廣泛，是圖論和演算法領域的重要知識之一。
D. 什麼是Prim演算法
Prim演算法
Prim演算法用於求無向圖的最小生成樹
設圖G =（V，E），其生成樹的頂點集合為U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的邊(u，v)∈E中找一條最小權值的邊，加入生成樹。
③、把②找到的邊的v加入U集合。如果U集合已有n個元素，則結束，否則繼續執行②。
其演算法的時間復雜度為O(n^2)
Prim演算法實現：
（1）集合：設置一個數組set[i](i=0,1,..,n-1),初始值為 0,代表對應頂點不在集合中（注意：頂點號與下標號差1）
（2）圖用鄰接陣表示，路徑不通用無窮大表示，在計算機中可用一個大整數代替。
參考程序
/* Prim.c
Copyright (c) 2002, 2006 by ctu_85
All Rights Reserved.
*/
/* The impact of the situation of articulation point exists can be omitted in Prim algorithm but not in Kruskal algorithm */
#include "stdio.h"
#define maxver 10
#define maxright 100
int main()
{
int G[maxver][maxver],in[maxver]=,path[maxver][2];
int i,j,k,min=maxright;
int v1,v2,num,temp,status=0,start=0;
restart:
printf("Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n");
scanf("%d",&num);
if(num>maxver||num<0)
{
printf("Error!Please reinput!\n");
goto restart;
}
for(j=0;j<num;j++)
for(k=0;k<num;k++)
{
if(j==k)
G[j][k]=maxright;
else
if(j<k)
{
re:
printf("Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n",j+1,k+1);
scanf("%d",&temp);
if(temp>=maxright||temp<-1)
{
printf("Invalid input!\n");
goto re;
}
if(temp==-1)
temp=maxright;
G[j][k]=G[k][j]=temp;
}
}
for(j=0;j<num;j++)
{
status=0;
for(k=0;k<num;k++)
if(G[j][k]<maxright)
{
status=1;
break;
}
if(status==0)
break;
}
do
{
printf("Please enter the vertex where Prim algorithm starts:");
scanf("%d",&start);
}while(start<0||start>num);
in[start-1]=1;
for(i=0;i<num-1&&status;i++)
{
for(j=0;j<num;j++)
for(k=0;k<num;k++)
if(G[j][k]<min&&in[j]&&(!in[k]))
{
v1=j;
v2=k;
min=G[j][k];
}
if(!in[v2])
{
path[i][0]=v1;
path[i][1]=v2;
in[v1]=1;
in[v2]=1;
min=maxright;
}
}
if(!status)
printf("We cannot deal with it because the graph is not connected!\n");
else
{
for(i=0;i<num-1;i++)
printf("Path %d:vertex %d to vertex %d\n",i+1,path[i][0]+1,path[i][1]+1);
}
return 1;
}
Prim演算法。
設圖G =（V，E），其生成樹的頂點集合為U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的邊(u，v)∈E中找一條最小權值的邊，加入生成樹。
③、把②找到的邊的v加入U集合。如果U集合已有n個元素，則結束，否則繼續執行②。
其演算法的時間復雜度為O(n^2)
參考程序
//Prim 演算法 讀入頂點數(n)、邊數(m)，邊的起始點和權值 用鄰接矩陣儲存
//例如
//7 12 (7個頂點12條邊)
//1 2 2
//1 4 1
//1 3 4
//2 4 3
//2 5 10
//3 4 2
//4 5 7
//3 6 5
//4 6 8
//4 7 4
//5 7 6
//6 7 1
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
int m , n;
int a[201][201] , mark[201] , pre[201] , dist[201];
int s , t , w;
int i , j , k , min , tot;
freopen("Prim.txt" , "r" , stdin);
//讀入數據
memset(a , 0 , sizeof(a));
scanf("%d %d" , &n , &m);
for (i = 0; i < m; i ++)
{
scanf("%d %d %d" , &s , &t , &w);
a[s][t] = w; a[t][s] = w;
}
//賦初值
memset(mark , 0 , sizeof(mark));
memset(pre , 0 , sizeof(pre));
memset(dist , 9999 , sizeof(dist));
dist[1] = 0;
//Prim
for (i = 1; i <= n; i ++)
{
min = 9999; k = 0;
for (j = 1; j <= n; j ++)
if ((mark[j] == 0) && (dist[j] < min)) {min = dist[j]; k = j;}
if (k == 0) break;
mark[k] = 1;
for (j = 1; j <= n; j ++)
if ((mark[j] == 0) && (a[k][j] < dist[j]) && (a[k][j] > 0))
{
dist[j] = a[k][j];
pre[j] = k;
}
}
tot = 0;
for (i = 1; i <= n; i ++) tot += dist[i];
printf("%d\n" , tot);
return 0;
}