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演算法實戰

發布時間: 2025-03-19 06:52:14

⑴ 輕松搞懂dijkstra演算法+堆優化 || 原理+實戰

Dijkstra演算法及堆優化原理與實戰

一、Dijkstra演算法原理

Dijkstra演算法用於解決單源最短路徑問題,即從一個源點到圖中其他所有點的最短路徑。其基本原理如下:

  • 初始化:創建一個一維數組arr,數組的每個元素表示從源點到該點的當前最短路徑長度,初始時源點到自身的距離為0,到其他點的距離為無窮大。
  • 選擇最短路徑:在未訪問的節點中,選擇當前最短路徑最小的節點作為擴展節點。
  • 更新路徑:以該擴展節點為中轉站,更新源點到其他節點的最短路徑長度。如果通過擴展節點到達某個節點的路徑比當前記錄的最短路徑更短,則更新該節點的最短路徑長度。
  • 標記訪問:將擴展節點標記為已訪問,以避免重復計算。
  • 重復:重復上述步驟,直到所有節點都被訪問。

二、堆優化的Dijkstra演算法

堆優化的Dijkstra演算法使用優先隊列來改進原始演算法的性能。通過優先隊列,可以高效地選擇下一個最短路徑的節點進行擴展,從而加速演算法執行。

  • 優先隊列:將未訪問的節點按照當前最短路徑長度排序,每次選擇路徑最短的節點進行擴展。
  • 更新與插入:在更新路徑長度時,如果新的路徑更短,則將節點重新插入優先隊列中,以確保下次選擇時能夠考慮到更短的路徑。

三、實戰運用

  1. Gas Station問題

    • 描述:給定城市地圖和多個候選的加油站位置,找出最佳的加油站位置,使得每個住宅區與該位置的最短距離之和最大,同時該平均距離最小。
    • 解決方案:使用Dijkstra演算法計算每個候選加油站位置到所有住宅區的最短距離,然後選擇滿足條件的最佳位置。
  2. 求單源頭最小路徑問題

    • 描述:在N個網路節點中,給定時間矩陣,表示從一個節點到另一個節點的旅行時間。現在從某個節點發送信號,求所有節點接收到信號所需的時間。
    • 解決方案:使用Dijkstra演算法計算從源點到其他所有節點的最短路徑長度,即為接收到信號所需的時間。
  3. 單詞轉換問題

    • 描述:給定兩個單詞以及一個單詞列表,求從第一個單詞到第二個單詞的最短轉換序列長度,每次只能改變一個字母,且每個轉換的單詞必須在列表中。
    • 解決方案:雖然這通常被視為搜索問題,但也可以嘗試使用Dijkstra演算法,將單詞視為節點,轉換關系視為邊,邊的權重為1,然後計算最短路徑長度。

綜上所述,Dijkstra演算法及其堆優化版本在解決單源最短路徑問題時非常有效,通過合理的實戰應用,可以高效地解決各種相關問題。

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