演算法實戰

⑴ 輕松搞懂dijkstra演算法+堆優化 || 原理+實戰

Dijkstra演算法及堆優化原理與實戰

一、Dijkstra演算法原理

Dijkstra演算法用於解決單源最短路徑問題，即從一個源點到圖中其他所有點的最短路徑。其基本原理如下：

• 初始化：創建一個一維數組arr，數組的每個元素表示從源點到該點的當前最短路徑長度，初始時源點到自身的距離為0，到其他點的距離為無窮大。
• 選擇最短路徑：在未訪問的節點中，選擇當前最短路徑最小的節點作為擴展節點。
• 更新路徑：以該擴展節點為中轉站，更新源點到其他節點的最短路徑長度。如果通過擴展節點到達某個節點的路徑比當前記錄的最短路徑更短，則更新該節點的最短路徑長度。
• 標記訪問：將擴展節點標記為已訪問，以避免重復計算。
• 重復：重復上述步驟，直到所有節點都被訪問。

二、堆優化的Dijkstra演算法

堆優化的Dijkstra演算法使用優先隊列來改進原始演算法的性能。通過優先隊列，可以高效地選擇下一個最短路徑的節點進行擴展，從而加速演算法執行。

• 優先隊列：將未訪問的節點按照當前最短路徑長度排序，每次選擇路徑最短的節點進行擴展。
• 更新與插入：在更新路徑長度時，如果新的路徑更短，則將節點重新插入優先隊列中，以確保下次選擇時能夠考慮到更短的路徑。

三、實戰運用

1. Gas Station問題：

   • 描述：給定城市地圖和多個候選的加油站位置，找出最佳的加油站位置，使得每個住宅區與該位置的最短距離之和最大，同時該平均距離最小。
   • 解決方案：使用Dijkstra演算法計算每個候選加油站位置到所有住宅區的最短距離，然後選擇滿足條件的最佳位置。

2. 求單源頭最小路徑問題：

   • 描述：在N個網路節點中，給定時間矩陣，表示從一個節點到另一個節點的旅行時間。現在從某個節點發送信號，求所有節點接收到信號所需的時間。
   • 解決方案：使用Dijkstra演算法計算從源點到其他所有節點的最短路徑長度，即為接收到信號所需的時間。

3. 單詞轉換問題：

   • 描述：給定兩個單詞以及一個單詞列表，求從第一個單詞到第二個單詞的最短轉換序列長度，每次只能改變一個字母，且每個轉換的單詞必須在列表中。
   • 解決方案：雖然這通常被視為搜索問題，但也可以嘗試使用Dijkstra演算法，將單詞視為節點，轉換關系視為邊，邊的權重為1，然後計算最短路徑長度。

綜上所述，Dijkstra演算法及其堆優化版本在解決單源最短路徑問題時非常有效，通過合理的實戰應用，可以高效地解決各種相關問題。