擴展歐幾里德演算法

『壹』 什麼是歐幾里得演算法，它有什麼意義

歐幾里得演算法即輾轉相除法，用以求兩個數的最大公約數（或者最小公倍數）
證明如下
假設x,y的最大公約數為d
且設x=k1*d，y=k2*d;
則有z=x-y=(k1-k2)*d;
也必定能被d整除，所以通過兩個數不斷輾轉，直到其中一個變為0為止，以此最終快速得出兩個數的最大公約數。
在演算法的應用上是用求余以加速運算的速度。
總的來說，歐幾里得演算法的意義就是快速求得兩個數的最大公約數。

『貳』 關於擴展歐幾里得演算法有點不明白，請大神指教

這是通過數學計算出來的（所以，學好數學很重要），其實你應該仔細理解該演算法的原理！如下內容摘自：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html
擴展歐幾里德演算法
基本演算法：對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
證明：設 a>b。
1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；
2，ab!=0 時
設 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根據樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根據恆等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2.
上面的思想是以遞歸定義的，因為 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0，所以遞歸可以結束。

『叄』 擴展歐幾里德演算法的歐幾里德演算法

歐幾里德演算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。其計算原理依賴於下面的定理：
gcd函數就是用來求(a,b)的最大公約數的。
gcd函數的基本性質：
gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|) gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數，則有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數，則
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證 functiongcd(a,b:longint;varx,y:longint):longint;vart:longint;beginifb=0thenbeginx:=1;y:=0;exit(a);end;gcd:=gcd(b,amodb,x,y);t:=x;x:=y;y:=t-(adivb)*y;end;