最優樹演算法

A. 最優二叉樹演算法的構造演算法

從上述演算法中可以看出，F實際上是森林，該演算法的思想是不斷地進行森林F中的二叉樹的「合並」，最終得到哈夫曼樹。
在構造哈夫曼樹時，可以設置一個結構數組HuffNode保存哈夫曼樹中各結點的信息，根據二叉樹的性質可知，具有n個葉子結點的哈夫曼樹共有2n－1個結點，所以數組HuffNode的大小設置為2n－1，數組元素的結構形式如下： weight lchild rchild parent 其中，weight域保存結點的權值，lchild和rchild域分別保存該結點的左、右孩子結點在數組HuffNode中的序號，從而建立起結點之間的關系。為了判定一個結點是否已加入到要建立的哈夫曼樹中，可通過parent域的值來確定。初始時parent的值為－1，當結點加入到樹中時，該結點parent的值為其雙親結點在數組HuffNode中的序號，就不會是－1了。
構造哈夫曼樹時，首先將由n個字元形成的n個葉結點存放到數組HuffNode的前n個分量中，然後根據前面介紹的哈夫曼方法的基本思想，不斷將兩個小子樹合並為一個較大的子樹，每次構成的新子樹的根結點順序放到HuffNode數組中的前n個分量的後面。
下面給出哈夫曼樹的構造演算法。
const maxvalue= 10000; {定義最大權值}
maxleat=30; {定義哈夫曼樹中葉子結點個數}
maxnode=maxleaf*2-1;
type HnodeType=record
weight: integer;
parent: integer;
lchild: integer;
rchild: integer;
end;
HuffArr:array[0..maxnode] of HnodeType;
var ……
procere CreatHaffmanTree(var HuffNode: HuffArr); {哈夫曼樹的構造演算法}
var i,j,m1,m2,x1,x2,n: integer;
begin
readln(n); {輸入葉子結點個數}
for i:=0 to 2*n-1 do {數組HuffNode[ ]初始化}
begin
HuffNode[i].weight=0;
HuffNode[i].parent=-1;
HuffNode[i].lchild=-1;
HuffNode[i].rchild=-1;
end;
for i:=0 to n-1 do read(HuffNode[i].weight); {輸入n個葉子結點的權值}
for i:=0 to n-1 do {構造哈夫曼樹}
begin
m1:=MAXVALUE; m2:=MAXVALUE;
x1:=0; x2:=0;
for j:=0 to n i-1 do
if (HuffNode[j].weight
begin m2:=m1; x2:=x1;
m1:=HuffNode[j].weight; x1:=j;
end
else if (HuffNode[j].weight
begin m2:=HuffNode[j].weight; x2:=j; end;
{將找出的兩棵子樹合並為一棵子樹}
HuffNode[x1].parent:=n i; HuffNode[x2].parent:=n i;
HuffNode[n i].weight:= HuffNode[x1].weight HuffNode[x2].weight;
HuffNode[n i].lchild:=x1; HuffNode[n i].rchild:=x2;
end;
end;

B. 用huffman演算法求帶權為2，3，5，7，8的最優2元樹，要求畫出中間過程

7/8應該一起作為同一父的葉這樣才是最優，權為55

把最小的兩個數2、3放在最下面作為左右葉子節點，得出他們的父節點權值5，然後它和剩餘里最小的數5做成左右兄弟節點，得出父節點10，以此類推啊，10和7得出17，17和8，得到跟節點25完成。

例如：

先將所有的權值選出最小的兩個值，為1，4，這兩個的和為5，那麼再從5，9，25，36，49中選出兩個最小的，為5和9，然後再從14，25，36，49中選出兩個最小的，為14，25，依次進行下去。那麼就可以得到最優二叉樹為：（） / () 49 / () 36 / () 25 / () 9 / 1 4

(2)最優樹演算法擴展閱讀：

所謂樹的帶權路徑長度，就是樹中所有的葉結點的權值乘上其到根結點的路徑長度（若根結點為0層，葉結點到根結點的路徑長度為葉結點的層數）。

樹的路徑長度是從樹根到每一結點的路徑長度之和，記為WPL=（W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln），N個權值Wi（i=1,2,...n）構成一棵有N個葉結點的二叉樹，相應的葉結點的路徑長度為Li（i=1,2,...n）。可以證明哈夫曼樹的WPL是最小的。

C. 最優二叉樹演算法基本概念

最優二叉樹，也被稱為哈夫曼樹，是一種特殊的二叉樹結構，其目標是在一組帶權的葉節點中，構建出具有最小帶權路徑長度的樹。帶權路徑長度，是對二叉樹路徑長度概念的擴展，它指的是從根節點到所有葉節點的路徑長度之和，每個路徑長度與對應節點的權值相乘。記為：WPL = Wk·Lk，其中Wk表示第k個葉節點的權值，Lk是其路徑長度。

舉個例子，如圖所示的二叉樹，其帶權路徑長度WPL計算為2×2+4×2+5×2+3×2=28。對於一組特定的葉節點，例如權值為1，3，5，7，可以構建出多種不同形態的帶權二叉樹，每種樹的帶權路徑長度都會有所不同。如圖中的5種二叉樹，它們的帶權路徑長度分別是：

• (a) WPL = 1×2+3×2+5×2+7×2 = 32


• (b) WPL = 1×3+3×3+5×2+7×1 = 29


• (c) WPL = 1×2+3×3+5×3+7×1 = 33


• (d) WPL = 7×3+5×3+3×2+1×1 = 43


• (e) WPL = 7×1+5×2+3×3+1×3 = 29

最優二叉樹演算法的任務就是，在給定的帶權葉節點集合中，找出這樣一個二叉樹，它的帶權路徑長度是最小的，即它是最優的二叉樹。這樣的演算法在數據壓縮、編碼等領域中有著廣泛應用。

D. 最優二叉樹演算法的判定問題中的應用

在本章的引入部分，兩個例子都是判定問題，這兩個判定問題都可以通過構造哈夫曼樹來優化判定，以達到總的判定次數最少。
再如，要編制一個將百分制轉換為五級分制的程序。顯然，此程序很簡單，只要利用條件語句便可完成。
程序段
if a<60 then b:=』bad』
else if a<70 then b:=』pass』
else if a<80 then b:=』general』
else if a<90 then b:=』good』
else b:=』excellent』;
如果上述程序需反復使用，而且每次的輸入量很大，則應考慮上述程序的質量問題，即其操作所需要的時間。因為在實際中，學生的成績在五個等級上的分布是不均勻的，假設其分布規律如表4所示： 分數 0-59 60－69 70－79 80－89 90－100 比例數 0.05 0.15 0.40 0.30 0.10 表4 分數段的分布頻率
則80%以上的數據需進行三次或三次以上的比較才能得出結果。假定以5，15，40，30和10為權構造一棵有五個葉子結點的哈夫曼樹，它可使大部分的數據經過較少的比較次數得出結果。但由於每個判定框都有兩次比較，將這兩次比較分開，得到新的判定樹，按此判定樹可寫出相應的程序。請您自己畫出此判定樹。
假設有10000個輸入數據，若上程序段的判定過程進行操作，則總共需進行31500次比較；而若新判定樹的判定過程進行操作，則總共僅需進行22000次比較。

E. 聯邦學習（三）| 樹演算法（XGBoost）

聯邦學習（三）已經深入探討了線性回歸和邏輯回歸，現在我們將轉向更復雜的樹演算法——XGBoost的聯邦學習實現， SecureBoost。這一方法無需第三方參與，適用於雙方協作的場景。

首先，理解XGBoost的核心是其梯度提升樹的目標函數，基於二階泰勒展開，目標是尋找結構最優的樹。最優樹的評分可以通過公式計算，其中一階導和二階導涉及正則項和損失函數。在聯邦學習中，關鍵在於計算節點分裂的收益，這在SecureBoost中通過同態加密進行保密。

SecureBoost流程分為幾個步驟：首先，主動方計算一階和二階導數，並對結果進行同態加密，只發送給被動方。被動方根據自身特徵進行分桶，並對加密的[公式]和[公式]求和。接著，通過加密信息找到最大分裂增益和對應的節點劃分信息。推理階段則依賴於訓練過程中的加密記錄，查詢各個參與方的決策樹。

總結來說，SecureBoost在聯邦學習中巧妙地運用了加密技術，保護了數據隱私，使得XGBoost的樹演算法能在多方協作下進行訓練和預測，確保了模型的構建在尊重數據隱私的同時保持高效。想了解更多細節，可以參考相關文獻和【隱私計算】專欄。