最小生成樹的prim演算法
Ⅰ 什麼是普利姆演算法
Prim演算法：是圖的最小生成樹的一種構造演算法。
假設 WN=(V,{E}) 是一個含有 n 個頂點的連通網，TV 是 WN 上最小生成樹中頂點的集合，TE 是最小生成樹中邊的集合。顯然，在演算法執行結束時，TV=V，而 TE 是 E 的一個子集。在演算法開始執行時，TE 為空集，TV 中只有一個頂點，因此，按普里姆演算法構造最小生成樹的過程為：在所有「其一個頂點已經落在生成樹上，而另一個頂點尚未落在生成樹上」的邊中取一條權值為最小的邊，逐條加在生成樹上，直至生成樹中含有 n-1條邊為止。
如果看不懂還可以找一本數據結構的書看，這個演算法挺簡單的。
btw：其實你有空問，應該有空網路啊~網路就有了。懶得寫，我還是直接從網路過來的~
Ⅱ prim演算法
Prim演算法，是普里姆演算法，是圖論中的一種演算法，可在加權連通圖里搜索最小生成樹。意即由此演算法搜索到的邊子集所構成的樹中，不但包括了連通圖里的所有頂點，且其所有邊的權值之和亦為最小。該演算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克發現，並在1957年由美國計算機科學家羅伯特·普里姆獨立發現，1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該演算法。在某些場合，普里姆演算法又被稱為DJP演算法、亞爾尼克演算法或普里姆·亞爾尼克演算法。
Ⅲ 什麼是Prim演算法
Prim演算法
Prim演算法用於求無向圖的最小生成樹
設圖G =（V，E），其生成樹的頂點集合為U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的邊(u，v)∈E中找一條最小權值的邊，加入生成樹。
③、把②找到的邊的v加入U集合。如果U集合已有n個元素，則結束，否則繼續執行②。
其演算法的時間復雜度為O(n^2)
Prim演算法實現：
（1）集合：設置一個數組set[i](i=0,1,..,n-1),初始值為 0,代表對應頂點不在集合中（注意：頂點號與下標號差1）
（2）圖用鄰接陣表示，路徑不通用無窮大表示，在計算機中可用一個大整數代替。
參考程序
/* Prim.c
Copyright (c) 2002, 2006 by ctu_85
All Rights Reserved.
*/
/* The impact of the situation of articulation point exists can be omitted in Prim algorithm but not in Kruskal algorithm */
#include "stdio.h"
#define maxver 10
#define maxright 100
int main()
{
int G[maxver][maxver],in[maxver]=,path[maxver][2];
int i,j,k,min=maxright;
int v1,v2,num,temp,status=0,start=0;
restart:
printf("Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n");
scanf("%d",&num);
if(num>maxver||num<0)
{
printf("Error!Please reinput!\n");
goto restart;
}
for(j=0;j<num;j++)
for(k=0;k<num;k++)
{
if(j==k)
G[j][k]=maxright;
else
if(j<k)
{
re:
printf("Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n",j+1,k+1);
scanf("%d",&temp);
if(temp>=maxright||temp<-1)
{
printf("Invalid input!\n");
goto re;
}
if(temp==-1)
temp=maxright;
G[j][k]=G[k][j]=temp;
}
}
for(j=0;j<num;j++)
{
status=0;
for(k=0;k<num;k++)
if(G[j][k]<maxright)
{
status=1;
break;
}
if(status==0)
break;
}
do
{
printf("Please enter the vertex where Prim algorithm starts:");
scanf("%d",&start);
}while(start<0||start>num);
in[start-1]=1;
for(i=0;i<num-1&&status;i++)
{
for(j=0;j<num;j++)
for(k=0;k<num;k++)
if(G[j][k]<min&&in[j]&&(!in[k]))
{
v1=j;
v2=k;
min=G[j][k];
}
if(!in[v2])
{
path[i][0]=v1;
path[i][1]=v2;
in[v1]=1;
in[v2]=1;
min=maxright;
}
}
if(!status)
printf("We cannot deal with it because the graph is not connected!\n");
else
{
for(i=0;i<num-1;i++)
printf("Path %d:vertex %d to vertex %d\n",i+1,path[i][0]+1,path[i][1]+1);
}
return 1;
}
Prim演算法。
設圖G =（V，E），其生成樹的頂點集合為U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的邊(u，v)∈E中找一條最小權值的邊，加入生成樹。
③、把②找到的邊的v加入U集合。如果U集合已有n個元素，則結束，否則繼續執行②。
其演算法的時間復雜度為O(n^2)
參考程序
//Prim 演算法 讀入頂點數(n)、邊數(m)，邊的起始點和權值 用鄰接矩陣儲存
//例如
//7 12 (7個頂點12條邊)
//1 2 2
//1 4 1
//1 3 4
//2 4 3
//2 5 10
//3 4 2
//4 5 7
//3 6 5
//4 6 8
//4 7 4
//5 7 6
//6 7 1
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
int m , n;
int a[201][201] , mark[201] , pre[201] , dist[201];
int s , t , w;
int i , j , k , min , tot;
freopen("Prim.txt" , "r" , stdin);
//讀入數據
memset(a , 0 , sizeof(a));
scanf("%d %d" , &n , &m);
for (i = 0; i < m; i ++)
{
scanf("%d %d %d" , &s , &t , &w);
a[s][t] = w; a[t][s] = w;
}
//賦初值
memset(mark , 0 , sizeof(mark));
memset(pre , 0 , sizeof(pre));
memset(dist , 9999 , sizeof(dist));
dist[1] = 0;
//Prim
for (i = 1; i <= n; i ++)
{
min = 9999; k = 0;
for (j = 1; j <= n; j ++)
if ((mark[j] == 0) && (dist[j] < min)) {min = dist[j]; k = j;}
if (k == 0) break;
mark[k] = 1;
for (j = 1; j <= n; j ++)
if ((mark[j] == 0) && (a[k][j] < dist[j]) && (a[k][j] > 0))
{
dist[j] = a[k][j];
pre[j] = k;
}
}
tot = 0;
for (i = 1; i <= n; i ++) tot += dist[i];
printf("%d\n" , tot);
return 0;
}
Ⅳ prim演算法
Prim演算法是一種用於尋找圖的最小生成樹的演算法。最小生成樹指的是連接所有節點的邊的集合，且所有邊的權重之和最小。Prim演算法的基本思想是從一個節點出發，逐漸構建生成樹，每次選擇當前生成樹到未訪問節點中邊權最小的邊，添加到生成樹中，直到所有節點都被訪問過。最終得到的生成樹是連接所有節點的最小權重樹。該演算法的時間復雜度通常為O，其中V是圖中的節點數量。
Prim演算法的具體步驟如下：
1. 初始化：從圖中的任意一個節點開始，將該節點加入到生成樹集合中。
2. 選擇邊：在所有連接已訪問節點和未訪問節點的邊中，選擇權重最小的邊，將該邊及其未訪問的節點加入到生成樹中。
3. 重復上述步驟，直到所有節點都被訪問過。在此過程中，始終保持生成樹中的邊權之和最小。
Prim演算法的核心在於每次選擇邊時，都需要找到當前生成樹到未訪問節點中邊權最小的邊。為了實現這一點，可以使用鄰接矩陣或優先隊列來存儲邊的權重信息，並在每次選擇時查找最小的邊。由於該演算法需要多次查找最小邊，因此時間復雜度較高，但在稀疏圖中表現較好。
總的來說，Prim演算法是一種貪心演算法，通過逐步構建最小生成樹來尋找圖的最小連通子圖。它在網路設計、電路設計等領域有廣泛應用，可以幫助人們找到連接所有節點的最低成本路徑。
此外，Prim演算法還可以用於解決一些其他問題，如尋找連通區域的邊界等。它的應用場景十分廣泛，是圖論和演算法領域的重要知識之一。