分支界限演算法

『壹』 五大基本演算法——分支限界法

與回溯法一樣，分支限界法也是在問題的解空間樹上搜索問題的解的一種演算法。

兩者很類似，很容易混淆，但有如下顯著的區別可區分兩者：

1、求解目標不同

回溯法的求解目標一般是找出解空間樹中滿足條件的 所有解 。

分支限界法則是盡快找出滿足約束條件的 一個解 ，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的 最優解 。

2、搜索方式不同

回溯法——> 深度優先 遍歷結點搜索解空間樹。

分支限界法——> 廣度優先或最小耗費優先 搜索解空間樹。

3、存儲空間不同

分支限界法由於加入了 活結點表 ，所以存儲空間比回溯法大得多。因此當內存容量有限時，回溯法的成功率要大一些。

4、擴展結點的方式不同

分支限界法中，每個活結點只有一次機會變成擴展結點，一旦成為擴展結點便一次性生成其所有子結點。

區別小結：回溯法空間效率更高，分支限界法由於只需要求到一個解，所以往往更「快」。

就拿0/1背包問題做例子，回溯法求解0/1背包問題實際上是盲目地搜索解空間樹，回溯法只會不斷地往下走，雖然通過剪枝函數能減少一定的計算，但是當經過一個結點時，並不知曉其子結點會是怎樣的情況，從而盲目繼續搜索。而分支限界法則不一樣，在經過某一結點時，會根據限界條件判斷其結點之下的情況是否能夠導出最優解，如若不能，直接不走這條路。這樣雖然在空間上不佔優勢，但是搜索並不盲目，速度上快了很多。

1、定義解空間（對解編碼）

2、確定解空間樹結構（得解空間樹）

3、按BFS廣度優先方式搜索解空間樹：

（1）：每個活結點只有一次機會變成擴展結點。
（2）：由擴展結點生成一步可達的新結點。
（3）：在新結點中刪除不可能導出最優解的結點（限界策略，利用限界函數）。
（4）：將剩餘新結點加入到活結點表中。
（5）：在活結點表中再取每個結點（按順序）進行擴展（分支策略）。
（6）：直到活結點表為空。

註：活結點表通常採用堆結構，當求解極大值問題時用大頂堆，極小值問題時用小頂堆。

1、約束函數：問題定義時需給出的約束條件，如0/1背包問題不能超過其容量。

2、目標函數：是問題要求解的目標函數，分支限界法中需給出一個關於該函數的上下界，方便之後剪枝。

3、限界函數：用於記錄當前結點之下可得的最優值，若超出上下界，則可放棄該結點；還用於活結點表中結點排序，限界函數值最優的在第一位，優先擴展遍歷。

1、隊列式分支限界法：在活結點表中，按照FIFO先進先出原則選取下一個結點做擴展結點。

2、優先隊列式分支限界法：活結點表中的每個結點對應了一個耗費或收益（其實就是如果擴展該結點，會帶來多大的效益），以此決定結點的優先順序。

0/1背包問題、單源最短路徑問題、最優裝載問題。

『貳』 什麼是分支演算法

分支限界演算法：
分支定界 (branch and bound) 演算法是一種在問題的解空間樹上搜索問題的解的方法。但與回溯演算法不同，分支定界演算法採用廣度優先或最小耗費優先的方法搜索解空間樹，並且，在分支定界演算法中，每一個活結點只有一次機會成為擴展結點。

利用分支定界演算法對問題的解空間樹進行搜索，它的搜索策略是：

1 ．產生當前擴展結點的所有孩子結點；

2 ．在產生的孩子結點中，拋棄那些不可能產生可行解（或最優解）的結點；

3 ．將其餘的孩子結點加入活結點表；

4 ．從活結點表中選擇下一個活結點作為新的擴展結點。

如此循環，直到找到問題的可行解（最優解）或活結點表為空。

從活結點表中選擇下一個活結點作為新的擴展結點，根據選擇方式的不同，分支定界演算法通常可以分為兩種形式：

1 ． FIFO(First In First Out) 分支定界演算法：按照先進先出原則選擇下一個活結點作為擴展結點，即從活結點表中取出結點的順序與加入結點的順序相同。

2 ．最小耗費或最大收益分支定界演算法：在這種情況下，每個結點都有一個耗費或收益。如果要查找一個具有最小耗費的解，那麼要選擇的下一個擴展結點就是活結點表中具有最小耗費的活結點；如果要查找一個具有最大收益的解，那麼要選擇的下一個擴展結點就是活結點表中具有最大收益的活結點。

又稱分支定界搜索法。過程系統綜合的一類方法。該法是將原始問題分解，產生一組子問題。分支是將一組解分為幾組子解，定界是建立這些子組解的目標函數的邊界。如果某一子組的解在這些邊界之外，就將這一子組舍棄（剪枝）。分支定界法原為運籌學中求解整數規劃(或混合整數規劃)問題的一種方法。用該法尋求整數最優解的效率很高。將該法原理用於過程系統綜合可大大減少需要計算的方案數日。

分支定界法的思想是：首先確定目標值的上下界，邊搜索邊減掉搜索樹的某些支，提高搜索效率。

在競賽中，我們有時會碰到一些題目，它們既不能通過建立數學模型解決，又沒有現成演算法可以套用，或者非遍歷所有狀況才可以得出正確結果。這時，我們就必須採用搜索演算法來解決問題。
搜索演算法按搜索的方式分有兩類，一類是深度優先搜索，一類是廣度優先搜索。我們知道，深度搜索編程簡單，程序簡潔易懂，空間需求也比較低，但是這種方法的時間復雜度往往是指數級的，倘若不加優化，其時間效率簡直無法忍受；而廣度優先搜索雖然時間復雜度比前者低一些，但其龐大的空間需求量又往往讓人望而卻步。
所以，對程序進行優化，就成為搜索演算法編程中最關鍵的一環。
本文所要討論的便是搜索演算法中優化程序的一種基本方法棗「剪枝」。

什麼是剪枝
相信剛開始接觸搜索演算法的人，都做過類似迷宮這樣的題目吧。我們在「走迷宮」的時候，一般回溯法思路是這樣的：
1、這個方向有路可走，我沒走過
2、往這個方向前進
3、是死胡同，往回走，回到上一個路口
4、重復第一步，直到找著出口
這樣的思路很好理解，編程起來也比較容易。但是當迷宮的規模很大時，回溯法的缺點便暴露無遺：搜索耗時極巨，無法忍受。
我們可不可以在向某個方向前進時，先一步判斷出這樣走會不會走到死胡同里呢？這樣一來，搜索的時間不就可以減少了嗎？
答案是：可以的。
剪枝的概念，其實就跟走迷宮避開死胡同差不多。若我們把搜索的過程看成是對一棵樹的遍歷，那麼剪枝顧名思義，就是將樹中的一些「死胡同」，不能到達我們需要的解的枝條「剪」掉，以減少搜索的時間。
搜索演算法，絕大部分需要用到剪枝。然而，不是所有的枝條都可以剪掉，這就需要通過設計出合理的判斷方法，以決定某一分支的取捨。在設計判斷方法的時候，需要遵循一定的原則。
剪枝的原則
1、正確性
正如上文所述，枝條不是愛剪就能剪的。如果隨便剪枝，把帶有最優解的那一分支也剪掉了的話，剪枝也就失去了意義。所以，剪枝的前提是一定要保證不丟失正確的結果。
2、准確性
在保證了正確性的基礎上，我們應該根據具體問題具體分析，採用合適的判斷手段，使不包含最優解的枝條盡可能多的被剪去，以達到程序「最優化」的目的。可以說，剪枝的准確性，是衡量一個優化演算法好壞的標准。
3、高效性 設計優化程序的根本目的，是要減少搜索的次數，使程序運行的時間減少。但為了使搜索次數盡可能的減少，我們又必須花工夫設計出一個准確性較高的優化演算法，而當演算法的准確性升高，其判斷的次數必定增多，從而又導致耗時的增多，這便引出了矛盾。
因此，如何在優化與效率之間尋找一個平衡點，使得程序的時間復雜度盡可能降低，同樣是非常重要的。倘若一個剪枝的判斷效果非常好，但是它卻需要耗費大量的時間來判斷、比較，結果整個程序運行起來也跟沒有優化過的沒什麼區別，這樣就太得不償失了。
綜上所述，我們可以把剪枝優化的主要原則歸結為六個字：正確、准確、高效。
剪枝演算法按照其判斷思路可大致分成兩類：可行性剪枝及最優性剪枝。

對於分支定界演算法,上界是已求得的可行解的目標函數值中的最小者,分為初始上界和在探測過程中產生的動態上界.分支定界法在求最優解的迭代過程中, 若某結點估計的下界不小於已知的上界, 則不必從該節點往下繼續搜索. 因此若能產生一個較好的上界, 可以消除許多不必要的列舉計算.

分支定界演算法的實現
在描述分支定界演算法步驟之前, 先對演算法涉及到的有關術語進行定義如下:
p —— 分支層數;
C*—— 當前最優目標函數值;
P*—— 相應於C*的工件順序;
P1—— 當前節點(現在需要進行分支的節點)所對應的部分序列.
分支定界演算法的實施步驟如下:
步驟1 初始化: 設置p = 0, P 1 = Á (空集) , C* = ∞.設當前節點總是與P 1 相對應. 此時, 當前節點即根節點.
步驟2 計算從當前節點分支得到的各個子節點的下界, 並按下界值由小到大對各子節點排序. 令p ←p + 1.
步驟3 如果當前節點被探測盡, 令p ←p - 1, 轉步驟6. 否則, 設當前層(第p 層) 各活動子節點中具有最小下界值的節點為Q , 則在P 1末尾加入Q 對應第p 位置上的工件, 此時的當前節點轉為Q , 轉步驟4.
步驟4 因為當前節點是同層同父節點具有最小下界值的節點, 如果當前節點下界值大於或等於C* , 則不必再搜索當前節點及其同層同父的活動節點, 這樣, 當前節點的上一層節點(父節點)被探測盡, p ←p - 1, 去掉P 1 中的最後一個工件,轉步驟6. 否則, 轉步驟5.
步驟5 如果p = n, 則得到一個較優順序.令P* = P 1, C* 是當前節點的下界值, p ←p - 1,去掉P 1 中最後一個工件, 轉步驟6; 否則轉步驟2.
步驟6 若p ≠ 0, 去掉P 1 中最後一個工件,轉步驟3; 否則, 演算法停止. C* 是最優的目標函數值, P* 是最優順序.

分支結構演算法的實現(編程基礎)

我現在學到了分支結構了。又遇到問題了，不知道你還在不在,可以幫我嗎?(可以，沒問題.)
1、用Pascal語言表示下列的條件表達式：
（1）：x小於10；
（2）：0<=y<=5;(『小於等於』不會打)
（3）：x大於5或x為負數；
（4）：ch在「A」和「Z」之間（包括「A」和「Z」）；
（5）：年齡（age)不小於18，國籍(natioality)不是中國「CHINA」,也不是朝鮮「KOREA」的男性公民(sex=`maie`);
（6）：正數，在2～100之間且不能被2，或3，或5整除。
2、試寫出下列各項的Pascal語句：
（1）：如果wage大於10000，便減去10%的wage.
（2）：如果Choice的值為1，則讀取x的值，並列印x的平方；否則讀取y的值，並列印y的平方。