小波包演算法

A. 小波變換 多解析度分析 和小波包分析的區別

這分類真讓人五體投地，作吧，作到沒人玩了就老實了！

小波變換的概念是相對於FT這種大波變換提出的，最開始專指CWT，它是脫胎於有局部化分析能力的STFT，STFT完成的是WT中的平移概念，後來加入尺度伸縮就變為了CWT。

CWT在實際分析使用中功能不強，不夠完備，於是很多搞數學的研究者就搞了個mallat演算法，將信號可以分成低頻的逼近和高頻的細節來分析，其中高頻的細節的作用與CWT類似，多了個低頻的逼近信息，並且還完善了它們的重構理論，這就是傳說中的DWT。小波變換是個很寬泛的概念，從最開始的CWT到DWT，再到SWT等，目前凡是與小波概念沾點邊的都被扯進了小波變換的范疇，有些玩濾波器的，和小波濾波器沾點邊也叫小波變換，其實和CWT，DWT等經典演算法定義連一點關系都沒有。

在DWT中由於mallat演算法理論比較易於計算和推導，尤其與濾波器掛鉤後，DWT的計算再也不用像CWT那樣計算積分。因此，容易計算逆變換（DWT的重構），而CWT是很難計算逆變換的，需要其它數學條件，有時甚至從數學上就沒有逆變換，那麼得到的CWT小波系數就沒法轉換為有實際意義的信號，只能大致分析一下奇異點特徵等簡單的信息。再就是用了mallat演算法容易將一維推廣到二維甚至高維，在數學領域很常見的方法都是張量積，這也是DWT數學理論較完備和計算較便利的結果，所以DWT的應用遠遠多於CWT，多分辨分析多指的就是DWT。

當把多層分解的DWT中的每層細節小波系數再分解一次，就得到了所謂的WP。它可以分解得到更多的高頻信息，所以更多用於高頻信息的研究，如去噪。拿一個三層WP舉例，

DWT能夠得到A1，AA2，AAA3和D1，DA2，DAA3，而WP卻能得到以上所有的信息，均分S的整個頻帶。

B. 正交小波包分解演算法及其頻域表現

這里仍以V₀分解成3層的空間分解及其數據A⁰的分解為例來說明小波包分解演算法。下面將用U₀表示V₀，稱A⁰是表現U₀的數據。用正交小波分解中的運算元H和G，按圖6-34的方法形成小波包數據，圖6-35則表示了與圖6-34相對應的小波包子空間分解結構關系。圖中的子空間標記，例如U_1，2和U_2，2，其下標分別表示分解層次與子空間的順序，則U₀的第一層分解，有2個子空間，第2層分解有4個子空間，第3層分解共有8個子空間。

圖6-34 小波包數據分解關系

圖6-35 小波包數據分解結構

弄清圖6-35中各子空間的相互關系是重要的。由於正交小波分解中運算元H和G的作用，在第1層分解中，有

U₀=U_1，1⊕U_1，2，U_1，1⊥U_1，2

類比可知第2層分解中，有

U_1，1=U_2，1⊕U_2，2；U_2，1⊥U_2，2；U_1，2=U_2，3⊕U_2，4，U_2，3⊥U_2，4；

同樣類比，可知在第3層分解中有

U_3，j=U_2，2j-1⊕U_2，2j，U_2，2j-1⊥U_2，2j，

j=1，2，3，4。

另外，在同一尺度上的所有子空間都是正交的，例如，U_2，1、U_2，2、U_2，3、U_2，4是相互正交的，U_3，1…U_3，8是相互正交的。還有一些子空間是相互不正交的，例如，U₀、U_1，1、U_2，2和U_3，4它們互相不正交，U₀、U_1，2、U_2，3和U_3，5之間也互相不正交。總之，把H和G在正交小波分解中的作用類比到小波包情形，是不難弄清各子空間之間的正交性的。

弄清小波包子空間所對應的頻帶也是很重要的。從子空間對應頻帶相互不重疊的表現也可以了解子空間之間的正交性質。圖6-36僅表示了U_1，2所對應頻帶的分解情形。

圖6-36 關於圖6-35小波子空間所對應的頻帶分析

總之，小波包可以從多個方面去理解。從數據結構關系來看，它是一種二分樹結構；從數據分解關系來看，它是一種遞推演算法；從空間分解關系來看，它把正交小波分解的子空間做進一步細分；從頻域劃分來看，它將有限頻帶細分為若干更細頻帶的組合。

圖6-37 小波包重構演算法中的子空間組合及其所對應的時頻窗

C. 有哪些常見的模式識別演算法

模式識別演算法是數據科學和人工智慧領域中不可或缺的一部分，用於從數據中提取有意義的模式和特徵。在Python環境下，基於機器學習的演算法廣泛應用於模式識別任務中。以下是一些常見的模式識別演算法及其應用案例：

1. 多層感知機（MLP）：這是一種前饋神經網路，通過多層非線性變換對數據進行建模。在往復式壓縮機故障識別中，MLP可以用於預測和分類出口閥泄漏、止逆閥泄漏、軸承損傷等故障。

2. 決策樹：基於樹結構的預測模型，通過特徵選擇和遞歸分割對數據進行分類。在壓縮機故障識別中，決策樹可以對各種故障類型進行快速准確的診斷。

3. 隨機森林：多個決策樹的集合，通過投票機制提高預測准確性和抗過擬合能力。在壓縮機故障識別中，隨機森林能夠綜合多個決策樹的判斷，提高識別精度。

4. 高斯過程：一種概率性模型，用於預測和優化連續函數。在信號分類任務中，如基於1D-CNN、2D-CNN、LSTM和SVM的一維信號分類，高斯過程可以捕捉信號的復雜結構。

5. AdaBoost：一種提升演算法，通過加權平均多個弱學習器來提升模型性能。在信號分類任務中，AdaBoost能夠對不同特徵和模型進行優化，提高分類准確率。

6. 樸素貝葉斯：基於貝葉斯定理和特徵條件獨立假設的分類演算法。在軸承數據集分類任務中，樸素貝葉斯可以快速處理高維特徵空間，實現高效分類。

7. 小波包：一種時頻分析工具，用於信號和圖像的多尺度分析。在軸承故障識別、圖像識別和地震信號處理中，小波包可以提取關鍵特徵，輔助機器學習模型進行精準識別。

8. 卷積神經網路（CNN）：專門用於圖像識別的深度學習模型，通過卷積層和池化層學習圖像的局部特徵。在圖像識別研究中，CNN可以實現從低級特徵到高級概念的逐層抽象，提高識別准確性。

9. 機器學習：泛指各種用於自動識別模式和預測的演算法。在時間序列分析、地震信號處理等任務中，機器學習方法可以捕獲數據的動態變化和復雜關系，實現有效識別。

這些模式識別演算法各有特點和應用場景，通過結合不同方法的優勢，可以解決復雜的數據分析和模式識別問題。在實際應用中，選擇合適的演算法取決於數據特性和任務需求。