三一演算法

1. 傳統的算盤是怎麼操作的

算盤
算盤（abacus）

中國傳統的計算工具。中國古代的一項重要發明，在阿拉伯數字出現前廣為使用的計算工具。

現存的算盤形狀不一、材質各異。一般的算盤多為木製（或塑料製品），算盤由矩形木框內排列一串串等數目的算珠，中有一道橫梁把珠統分為上下兩部分，算珠內貫直柱，俗稱「檔」，一般為9檔、11檔或15檔。檔中橫以梁，樑上2珠（財會用為1珠，每珠為5；梁下5珠（財會用為4珠），每珠為1。用算盤計算稱珠算，珠算有對應四則運算的相應法則，統稱珠演算法則。相對一般運算來看，熟練的珠算不遜於計算器，尤其在加減法方面。用時，可依口廖，上下撥動算珠，進行計算。珠算計算簡便迅捷，為我國商店普遍使用的計算工具。

算盤的起源與普及

算盤是由早在春秋時期便已普通使用的籌算逐漸演變而來的。珠算最早見於文獻的當推東漢《數術記遺》一書，可見漢代已出現用珠子計算的珠算方法及理論。算盤名稱之見於算書者以宋代《謝察微算經》為最早，可以確定至遲在宋代，有橫梁的穿檔的大珠算盤已經出現。至元代，算盤的使用已十分流行。宋元之間的劉因就寫有《算盤》詩。明代記載更多，如《瀛涯勝覽》、《九章詳注比類演算法大全》諸書都有關於算盤的記載。明初時，中國算盤流傳到日本，其後又流傳到俄國，又從俄國傳至西歐各國，對近代文明產生了很大的影響。15世紀中葉，《魯班木經》中有製造算盤的規格。現在我們可以看到的算盤材料有木、竹、銅、鐵、玉、景泰藍、象牙、骨等等。小的可以藏入口袋，大的要人抬。

隨著算盤的使用，人們總結出許多計算口訣，使計算的速度更快了。這種用算盤計算的方法，叫珠算。在明代，珠算已相當普及，並且出版了不少有關珠算的書籍，其中流傳至今，影響最大的是程大位(1533～1606)的《直指演算法統宗》 (1592)。

《演算法統宗》是一部以珠算應用為主的算書。全書共17卷，有595個應用題，多數問題摘自其他算書，但所有計算都改用珠算。書中載有算盤圖式和珠算口訣，並舉例說明如何按口訣在算盤上演算。其中開平方和開立方的珠演算法是程大位首先提出來的。書末附錄「算經源流」記載了宋元以來的51種數學書名，其中大部分已失傳，這個附錄便成了寶貴的數學史料。

算盤的種類

值得注意的是，算盤一詞並不專指中國算盤。從現有文獻資料來看，許多文明古國都有過各自的算盤。古今中外的各式算盤大致可以分為三類：沙盤類，算板類，穿珠算盤類。

①沙盤是在桌面、石板等平板上，鋪上細沙，人們用木棍等在細沙上寫字、畫圖和計算。②後來逐漸不鋪沙子，而是在板上刻上若干平行的線紋，上面放置小石子（稱為「運算元」）來記數和計算，這就是算板。19世紀中葉在希臘薩拉米斯發現的一塊1米多長的大理石算板，就是古希臘算板，現存在雅典博物館中。算板一直是歐洲中世紀的重要計算工具，不過形式上差異很大，線紋有直有橫，運算元有圓有扁，有時又造成圓錐形（類似現在的跳棋子），上面還標有數碼。③穿珠算盤指中國算盤、日本算盤和俄羅斯算盤。日本算盤叫「十露盤」，和中國算盤不同的地方是算珠的縱截面不是扁圓形而是菱形，尺寸較小而檔數較多。俄羅斯算盤有若干弧形木條，橫鑲在木框內，每條穿著10顆算珠。在世界各種古算盤中，中國的算盤是最先進的珠算工具。
黃帝時代有沒有算帳先生，或者說，有沒有能打會算的「會計」?當今人不得知曉。
傳說，算盤和算數是黃帝手下一名叫隸首的人發明創造的。至今在農村還流傳著隸首當初算賬時，發明的中國式的「阿拉伯」字母。80歲以上的年老人還會寫、會用。這十個字母的寫法：｜、‖、�、×、�、�、�、�、夕、十。比如三斤八兩的寫法「��」二斗四升寫法是「‖×」十八丈布寫法「十�」；三尺四寸木材寫法「�×」。
黃帝統一部落後，先民們整天打魚狩獵，制衣冠 ，造舟車，生產蒸蒸日上。物質越來越多，算帳、管帳成為每家每戶每個人經常碰到的事。開始，只好用結繩記事，刻木為號的辦法，處理日常算帳問題。有一次，狩獵能手於則，交回7隻山羊，保管獵物的石頭只承認交回1隻，於則一查實物，正好還是7隻。為啥只記1隻呢?原來石頭把七聽成1，在草繩上只打了一個結。又有一次，黃帝的孫女黑英替嫘祖領到9張虎皮，石頭在草繩上只打了6個結，短少了3張。所以出出進進的實物數目越來越亂，虛報冒領的事也經常發生。黃帝為此事大為惱火。
有一天，黃帝宮里的隸首上山采野果，發現一樹熟透的山桃。他爬上樹邊摘邊吃，不知吃了多少，只覺得口流酸水，肚內發脹，再沒敢多吃，跳下樹來，坐在地上休息。
突然發現扔在地上的山桃核非常好看。他一個一個從地上揀起來，一數個，正好20個。他想：這十個桃核好比10張虎皮，另十個好比10隻山羊皮。今後，誰交回多少獵物，就發給他們多少山桃核。誰領走多少獵物，就給誰記幾個山桃核。這樣誰也別想賴帳。隸首回到黃帝宮里，把他的想法告訴給黃帝。黃帝想了想覺得很有道理。就命隸首管理宮里的一切財物帳目。隸首擔任了黃帝宮里總「會計」後，他命人採集了各種野果，分開類別。比如，山渣果代表山羊；栗子果代表野豬；山桃果代表飛禽；木瓜果代表老虎、豹子……不論哪個狩獵隊捕回什麼獵物，隸首都按不同野果記下帳。誰料，好景不長。各種野果存放時間一長，全都變色腐爛了，一時分不清各種野果顏色，帳目全混亂了。為這事隸首氣的直跺腳。最後，他終於想出一種辦法。他到河灘揀回很多不同顏色的石頭片，分別放進陶瓷盤子里。這下記帳再也不怕變色腐爛了。由於隸首一時高興沒有嚴格保管。有一天，他出外有事，他的孩子引來一群玩童，一見隸首家放著很多盤盤，里邊放著不同顏色的美麗石片，孩子們覺得好奇，你爭我看一不小心，盤子掉地打碎，石頭片全散了。隸首的帳目又亂了。他一人蹲在地上只得一個個往回拾。隸首妻子花女走過來，用指頭把隸首頭一指說：「好笨蛋哩!你給石片上穿一個眼，用繩子串起來多保險!」聰明人就怕人點竅。隸首頓時茅塞大開，他給每塊不同顏色石片都打上眼，用細繩逐個穿起來。每穿夠 十個數或100個數，中間穿一個不同顏色的石片。這樣清算起來就省事多了。隸首自己也經常心中有 數。從此，宮里宮外，上上下下，再沒有發生虛報冒領的事了。隨著生產不斷向前發展，獲得的各種獵物、皮張、數字越來越大，品種越來越多，不能老用穿石片來記帳目。隸首好像再也想不出什麼好辦法了。有一次，他上山尋孩子，發現滿山遍野成熟紅歐粟子。每株上邊只結十顆，全部鮮紅色的，非常好看。他順手摺了幾枝，拿在手裡左看右看；又想利用紅歐粟子作算帳的工具，但又一想，不行，過去已經失敗過。隸首獨自一人坐在地上，越想越沒主意了。這時，岐伯、風後、力牧三個人上山采草葯，發現隸首手裡幾串紅歐粟子。人坐在地上發呆。風後問隸首在想什麼?隸首扭頭一看，原是三位老臣，趕忙站起來，把剛才記帳，算帳的想法告訴了三位老臣。風後是指南車創始人之一。他聽了隸首的想法，接過隸首的話說：「我看今後記帳，算帳不再用那麼多的石片。只用100個石片，就可頂十萬八千數。」隸首忙問：「怎麼個頂法?」風後叫隸首把紅歐粟全摘下來，又折回下十根細竹棒，每根棒上穿上十顆，一連穿了十串，一並插在地上。風後說：「比如，今天獵隊交回5隻鹿，你就從竹棒上往上推5顆紅歐粟子。明天再交回6隻鹿，你就再往上推6顆。」隸首說：「那不行!一根棒上只穿十顆，已經推上去5顆，再要往上推6個，那就沒有紅歐粟子可推了。」風後說：「我問你，5個加6個是多少?」隸首說：「當然是11個!」風後說：「對呀!你就該向前進一位。從顆數上看，只有兩個。實際上是11個數。再有，如果獵隊交回九隻鹿，那你怎麼記算?再進一位；9個加11個是多少?當然是20個。從竹棒上的顆數看；只有兩顆紅歐粟子，實際上頂20個數。就是說，每夠十個數，每夠100個數，都要向前進一位。比如，再有獵隊交回80隻鹿，那麼怎麼記演算法?20加80，整100數，再進位，竹棒子顆數就成為一個紅歐粟子。實際上它頂100個數。」隸首又問：「進位後，怎麼能記得下!」力牧接著說：「這好辦，進位後，應劃個記號。比如，十個數後邊劃個圈(10)；100個數後邊劃兩個圈(100)；1000個數後邊劃三個圈(1000)；10000個數後邊劃四個圈(10000)。這就叫個、十、百、千、萬。隸首明白了進位道理後，信心百倍增加。回家作了一個大泥盤子，把人們從龜肚子挖出來白色珍珠揀回來，給每顆上邊打成眼。每10顆一穿，穿成100個數的「算盤」。然後在上邊寫清位數；如十位、百位、千位、萬位。從此，記數、算帳再也用不著那麼多的石片了。算盤，中華民族當代「計算機」前身，5000年前就這樣誕生了。隨著時代不斷前進，算盤不斷得到改進，成為今天的「珠算」。特別是民間，當初認字人不多，但是，只要懂得了算盤的基本原理，和操作規程，人人都會應用。
所以，算盤在古老中國民間很快廣泛流傳和被應用。

2. 打算盤的口訣是什麼

加法口訣
不進位的加進位的加
直加滿五加進十加破五進十加
加一：一上一，一下五去四，一去九進一
加二：二上二，二下五去三，二去八進一
加三：三上三，三下五去二，三去七進一
加四：四上四，四下五去一，四去六進一
加五：五上五，五去五進一
加六：六上六，六去四進一，六上一去五進一
加七：七上七，七去三進一，七上二去五進一
加八：八上八，八去二進一，八上三去五進一
加九：九上九，九去一進一，九上四去五進一
減法口訣
不退位的減退位的減
直減破五減退位減退十補五的減
減一：一下一，一上四去五，一退一還九
減二：二下二，二上三去五，二退一還八
減三：三下三，三上二去五，三退一還七
減四：四下四，四上一去五，四退一還六
減五：五下五，五退一還五
減六：六下六，六退一還四，六退一還五去一
減七：七下七，七退一還三，七退一還五去二
減八：八下八，八退一還二，八退一還五去三
減九：九下九，九退一還一，九退一還五去四
乘法口訣
在春秋戰國時已在籌算中得到應用；
歸除口訣，首見楊輝《乘除通變算寶》[1274]，
朱世傑《算學啟蒙》[1299]所載九歸口訣已與現代基本相同。
有了四則口訣，珠算的演算法就形成一個體系，長期沿用下來。
三、大九九口訣表
一一01一二02一三03一四04一五05一六06一七07一八08一九09
二一02二二04二三06二四08二五10二六12二七14二八16二九18
三一03三二06三三09三四12三五15三六18三七21三八24三九27
四一04四二08四三12四四16四五20四六24四七28四八32四九36
五一05五二10五三15五四20五五25五六30五七35五八40五九45
六一06六二12六三18六四24六五30六六36六七42六八48六九54
七一07七二14七三21七四28七五35七六42七七49七八56七九63
八一08八二16八三24八四32八五40八六48八七56八八64八九72
九一09九二18九三27九四36九五45九六54九七63九八72九九81
除法口訣
珠算除法有歸除法和商除法兩種.
歸除法用口訣進行計算，有九歸口訣，退商口訣和商九口訣.
九歸口訣共61句：
一歸（用1除）：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九.
二歸（用2除）：逢二進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四，二一添作五.
三歸（用3除）：逢三進一，逢六進二，逢九進三，三一三餘一，三二六餘二.
四歸（用4除）：逢四進一，逢八進二，四二添作五，四一二餘二，四三七餘二.
五歸（用5除）：逢五進一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八.
六歸（用6除）：逢六進一，逢十二進二，六三添作五，六一下加四，六二三餘二，六四六餘四，六五八餘二.
七歸（用7除）：逢七進一，逢十四進二，七一下加三，七二下加六，七三四餘二，七四五餘五，七五七餘一，七六八餘四.
八歸（用8除）：逢八進一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六餘二，八六七餘四，八七八餘六.
九歸（用9除）：逢九進一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八.
朱世傑《算學啟蒙》(1299)卷上「歸除歌訣」...
一歸如一進見一進成十
二一添作五逢二進成十四進二十六進三十八進四十
三一三十一三二六十二逢三進成十六進二十九進三十
四一二十二四二添作五四三七十二逢四進成十八進二十
五歸添一倍逢五進成十
六一下加四六二三十二六三添作五六四六十四六五八十二逢六進成十
七一下加三七二下加六七三四十二七四五十五七五七十一七六八十四逢七進成十
八一下加二八二下加四八三下加六八四添作五八五六十二八六七十四八七八十六逢八進成十
九歸隨身下逢九進成十
南宋數學家楊輝在他的「日用演算法」（1262年）中編造了斤價求兩價的歌訣
元朝偉大數學家朱世傑的「算學啟蒙」（1299年）書中，更被推進成下列的十五句：
一求，隔位六二五；(1/16=0.0625)
二求，退位一二五；(2/16=0.125)
三求，一八七五記；(3/16=0.1875)
四求，改曰二十五；(4/16=0.25)
五求，三一二五是；(5/16=0.3125)
六求，兩價三七五；(6/16=0.375)
七求，四三七五置；(7/16=0.4375)
八求，轉身變作五；(8/16=0.5)
九求，五六二五；(9/16=0.5625)
十求，六二五；(10/16=0.625)
11求，六八七五；(11/16=0.6875)
12求，七五；(12/16=0.75)
13求，八一二五；(13/16=0.8125)
14求，八七五；(14/16=0.875)
15求，九三七五；(15/16=0.9375)
退商口訣共9句：
無除退一下還一，無除退一下還二，無除退一下還三，
無除退一下還四，無除退一下還五，無除退一下還六，
無除退一下還七，無除退一下還八，無除退一下還九，
商九（又叫撞歸，是除以以9開頭的數，商用大了，退商的時候用的）口訣共9句：
見一無除作九一，見二無除作九二，見三無除作九三，
見四無除作九四，見五無除作九五，見六無除作九六，
見七無除作九七，見八無除作九八，見九無除作九九.
除數是一位數的除法叫「單歸」；除數是兩位或兩位以上的除法叫「歸除」，除數的首位叫「歸」，以下各位叫「除」.如，除數是534的歸除，叫「五歸三四除」.即用五歸口訣求商後，再用34除.
開乘方
珠算乘方可以直接乘，也可以根據公式，高次方若冪是質素，就只有直接乘，若可以分解因式，則可分解因式再來算。
珠算開平方，一般有半九九開平方法，積差開平方法，公式開平方法，增乘開平方法。
開三次方，有三倍根開立方法，過大商開立方法。
開五次方，有多種，常見的有增乘開五次方。
開高次方一般很少在珠算上用。

3. 算盤的乘除法和開方立方口決

退商口訣共9句：無除退一下還一，無除退一下還二，無除退一下還三。

無除退一下還四，無除退一下還五，無除退一下還六。

無除退一下還七，無除退一下還八，無除退一下還九。

商九口訣共9句：見一無除作九一，見二無除作九二，見三無除作九三。

見四無除作九四，見五無除作九五，見六無除作九六。

見七無除作九七，見八無除作九八，見九無除作九九。

除數是一位數的除法叫「單歸」；除數是兩位或兩位以上的除法叫「歸除」，除數的首位叫「歸」，以。

下各位叫「除」。如，除數是534的歸除，叫「五歸三四除」，即用五歸口訣求商後，再用34除。

(3)三一演算法擴展閱讀

算盤作乘除法的方法：

算盤的乘法，仍然用《九九乘法表》作乘法口訣，只是在需要加的時候用加法口訣。除法要復雜得多，通常使用《歸除》或者《大剝皮》。

《大剝皮》就是把除數作減數反復做減法，而《歸除》的口訣中大家熟悉的的「三一三十一」是「10除以3，商3餘1」的意思，「一推六二五」是「1除以16＝0．0625」的意思。

學習珠算能夠幫助訓練人的思維，一些小孩子學習珠心算，就是證明。