距離最短演算法

Ⅰ 演算法 | 常用距離演算法詳解

演算法詳解：常用距離演算法解析

在計算空間中兩點之間的距離時，除了常規的直線距離，還有幾種重要的距離演算法，包括歐氏距離、曼哈頓距離和切比雪夫距離。這些距離各有特點，適用於不同的場景。下面逐一介紹它們的定義、公式以及應用場景。

在二維和三維空間中，歐氏距離是最直觀的，由兩點坐標 [x1, y1] 和 [x2, y2] 計算，公式為 sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。例如，點 A(1,2) 和 B(3,4) 的歐氏距離為 sqrt((3-1)^2 + (4-2)^2)。三維空間中的公式同樣適用。歐氏距離常用於測量實際空間中的距離，但計算時可能受浮點數精度影響。

曼哈頓距離在棋盤格中表現明顯，為兩點橫縱坐標的絕對值之和。例如，A(1,1) 和 B(3,4) 的曼哈頓距離為 |3-1| + |4-1|。它有非負性、統一性、對稱性和三角不等性等特性。在網格圖中，曼哈頓距離代表最短路徑。

切比雪夫距離取兩點橫縱坐標的絕對值的最大值。例如，A(1,1) 和 B(3,4) 的切比雪夫距離為 max(|3-1|, |4-1|)。在國際象棋中，國王與王後的移動距離即為切比雪夫距離。在點只能到達特定鄰居的網格圖中，也是切比雪夫距離的體現。

曼哈頓距離與切比雪夫距離之間存在聯系，通過坐標系變換可以相互轉化。在某些問題中，巧妙地將距離類型轉換能簡化計算。例如，將切比雪夫距離問題轉化為曼哈頓距離，便於求解。

以上三種距離演算法在編程題中常見，如 [Luogu]P3958 和 P5098。通過理解和掌握它們，你可以在實際問題中靈活運用。

Ⅱ dijkstra演算法

Dijkstra演算法，一種由荷蘭科學家E.W.Dijkstra於1959年發明的尋路演算法，被譽為最短路徑求解的首選方法，優化後的復雜度可達O((m+n)log(m))。然而，其不兼容負權邊問題。

所謂負權邊，即邊的權重為負值，可以理解為在路徑中遇到這種邊後，實際成本會降低。例如，一條從A點到B點的邊，權重為-1，表示通過這條邊，從A點到B點的實際花費會減少1。

演算法的關鍵步驟是鬆弛操作，其核心原則是依據「三角形兩邊之和大於第三邊」定律，更新兩點間的最短路徑。具體操作為，對於每條邊e(v,w)，將源點s到w的距離更新為源點s到v的距離加上v到w的距離的較小值。這樣，演算法不斷調整路徑選擇，以確保找到從源點s到任一頂點w的最短路徑。

演算法執行流程可直觀理解為從起點出發，逐步擴展其可達范圍，不斷尋找距離最短的未訪問頂點。以A點作為起點，首先訪問A點，然後尋找與A相鄰未訪問的頂點B、D，計算它們到A點的距離。接著，將距離最短的頂點D加入已訪問集合S中，並從D出發繼續擴展可達范圍，尋找未訪問的鄰居頂點B、C、E，計算它們到A點的距離。在D的鄰居中，B和D到A點的距離相同，都加入結果集。然後，從B或C出發，但由於B已無未訪問鄰居，轉向C，尋找其未訪問鄰居E，並將E加入結果集中。

通過使用鏈式前向星與BFS實現該演算法，BFS在循環中將所有鄰居放在一起比較到源點的距離，需要額外的排序步驟，例如優先隊列來優化。

對於無權圖，最短路徑定義為經過邊數最少的路徑。若不熟悉鏈式前向星，使用邊集數組表示圖也十分簡便。

Ⅲ 最短路徑演算法

Dijkstra演算法，A*演算法和D*演算法

Dijkstra演算法是典型最短路演算法，用於計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。Dijkstra演算法能得出最短路徑的最優解，但由於它遍歷計算的節點很多，所以效率低。

Dijkstra演算法是很有代表性的最短路演算法，在很多專業課程中都作為基本內容有詳細的介紹，如數據結構，圖論，運籌學等等。

Dijkstra一般的表述通常有兩種方式，一種用永久和臨時標號方式，一種是用OPEN, CLOSE表方式，Drew為了和下面要介紹的 A* 演算法和 D* 演算法表述一致，這里均採用OPEN,CLOSE表的方式。

大概過程：
創建兩個表，OPEN, CLOSE。
OPEN表保存所有已生成而未考察的節點，CLOSED表中記錄已訪問過的節點。
1． 訪問路網中里起始點最近且沒有被檢查過的點，把這個點放入OPEN組中等待檢查。
2． 從OPEN表中找出距起始點最近的點，找出這個點的所有子節點，把這個點放到CLOSE表中。
3． 遍歷考察這個點的子節點。求出這些子節點距起始點的距離值，放子節點到OPEN表中。
4． 重復2，3，步。直到OPEN表為空，或找到目標點。

提高Dijkstra搜索速度的方法很多，常用的有數據結構採用Binary heap的方法，和用Dijkstra從起始點和終點同時搜索的方法。

A*（A-Star)演算法是一種啟發式演算法，是靜態路網中求解最短路最有效的方法。

公式表示為： f(n)=g(n)+h(n),
其中f(n) 是節點n從初始點到目標點的估價函數，
g(n) 是在狀態空間中從初始節點到n節點的實際代價，
h(n)是從n到目標節點最佳路徑的估計代價。

保證找到最短路徑（最優解的）條件，關鍵在於估價函數h(n)的選取：
估價值h(n)<= n到目標節點的距離實際值，這種情況下，搜索的點數多，搜索范圍大，效率低。但能得到最優解。
如果 估價值>實際值, 搜索的點數少，搜索范圍小，效率高，但不能保證得到最優解。
估價值與實際值越接近，估價函數取得就越好。
例如對於幾何路網來說，可以取兩節點間歐幾理德距離（直線距離）做為估價值，即f=g(n)+sqrt((dx-nx)*(dx-nx)+(dy-ny)*(dy-ny))；這樣估價函數f在g值一定的情況下，會或多或少的受估價值h的制約，節點距目標點近，h值小，f值相對就小，能保證最短路的搜索向終點的方向進行。明顯優於Dijstra演算法的毫無無方向的向四周搜索。
conditions of heuristic
Optimistic (must be less than or equal to the real cost)
As close to the real cost as possible
主要搜索過程：
創建兩個表，OPEN表保存所有已生成而未考察的節點，CLOSED表中記錄已訪問過的節點。
遍歷當前節點的各個節點，將n節點放入CLOSE中，取n節點的子節點X,->算X的估價值->
While(OPEN!=NULL)
{
從OPEN表中取估價值f最小的節點n;
if(n節點==目標節點) break;
else
{
if(X in OPEN) 比較兩個X的估價值f //注意是同一個節點的兩個不同路徑的估價值
if( X的估價值小於OPEN表的估價值 )
更新OPEN表中的估價值; //取最小路徑的估價值
if(X in CLOSE) 比較兩個X的估價值 //注意是同一個節點的兩個不同路徑的估價值
if( X的估價值小於CLOSE表的估價值 )
更新CLOSE表中的估價值; 把X節點放入OPEN //取最小路徑的估價值
if(X not in both)
求X的估價值;
並將X插入OPEN表中; //還沒有排序
}
將n節點插入CLOSE表中;
按照估價值將OPEN表中的節點排序; //實際上是比較OPEN表內節點f的大小，從最小路徑的節點向下進行。
}

A*演算法和Dijistra演算法的區別在於有無估價值，Dijistra演算法相當於A*演算法中估價值為0的情況。

動態路網，最短路演算法 D*A* 在靜態路網中非常有效（very efficient for static worlds），但不適於在動態路網，環境如權重等不斷變化的動態環境下。

D*是動態A*（D-Star,Dynamic A*） 卡內及梅隆機器人中心的Stentz在1994和1995年兩篇文章提出，主要用於機器人探路。是火星探測器採用的尋路演算法。

主要方法：
1.先用Dijstra演算法從目標節點G向起始節點搜索。儲存路網中目標點到各個節點的最短路和該位置到目標點的實際值h,k（k為所有變化h之中最小的值,當前為k=h。每個節點包含上一節點到目標點的最短路信息1(2),2(5),5(4)，4（7）。則1到4的最短路為1-2-5-4。
原OPEN和CLOSE中節點信息保存。
2.機器人沿最短路開始移動，在移動的下一節點沒有變化時，無需計算，利用上一步Dijstra計算出的最短路信息從出發點向後追述即可，當在Y點探測到下一節點X狀態發生改變，如堵塞。機器人首先調整自己在當前位置Y到目標點G的實際值h(Y)，h(Y)=X到Y的新權值c(X,Y)+X的原實際值h(X).X為下一節點(到目標點方向Y->X->G），Y是當前點。k值取h值變化前後的最小。
3.用A*或其它演算法計算，這里假設用A*演算法,遍歷Y的子節點，點放入CLOSE,調整Y的子節點a的h值，h(a)=h(Y)+Y到子節點a的權重C(Y,a),比較a點是否存在於OPEN和CLOSE中，方法如下：
while()
{
從OPEN表中取k值最小的節點Y;
遍歷Y的子節點a,計算a的h值 h(a)=h(Y)+Y到子節點a的權重C(Y,a)
{
if(a in OPEN) 比較兩個a的h值
if( a的h值小於OPEN表a的h值 )
{ 更新OPEN表中a的h值;k值取最小的h值
有未受影響的最短路經存在
break;
}
if(a in CLOSE) 比較兩個a的h值 //注意是同一個節點的兩個不同路徑的估價值
if( a的h值小於CLOSE表的h值 )
{
更新CLOSE表中a的h值; k值取最小的h值;將a節點放入OPEN表
有未受影響的最短路經存在
break;
}
if(a not in both)
將a插入OPEN表中; //還沒有排序
}
放Y到CLOSE表；
OPEN表比較k值大小進行排序；
}
機器人利用第一步Dijstra計算出的最短路信息從a點到目標點的最短路經進行。

D*演算法在動態環境中尋路非常有效，向目標點移動中，只檢查最短路徑上下一節點或臨近節點的變化情況，如機器人尋路等情況。對於距離遠的最短路徑上發生的變化，則感覺不太適用。