演算法統宗一百饅頭

㈠ 一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁

國明代珠算家程大位的名著《直指演算法統宗》里有一道著名算題：

一百饅頭一百僧，

大僧三個更無爭，

小僧三人分一個，

大小和尚各幾丁？"

用算術方法可以通過三種假設解題：

1、假設全是大和尚，2、假設全是小和尚，3、假設大小和尚分組。

其中以第三種方法最簡便，即：

假設以 1 個大和尚和 3 個小和尚為一組，分吃 4 個饅頭。

100 個饅頭剛好分 25 組。

得知，有 25 個大和尚，75 個小和尚。

㈡ 100個和尚吃100個饅頭，大和尚一人吃3個，小和尚3人吃一個

國明代珠算家程大位的名著《直指演算法統宗》里有一道著名算題：

一百饅頭一百僧，
大僧三個更無爭，
小僧三人分一個，
大小和尚各幾丁？"

如果譯成白話文，其意思是：有100個和尚分100隻饅頭，正好分完。如果大和尚一人分3隻，小和尚3人分一隻，試問大、小和尚各有幾人？

方法一，用方程解：

解：設大和尚有x人，則小和尚有(100－x)人，根據題意列得方程：
3x+1/3(100－x)=100
解方程得：x=25
小和尚：100－25＝75人

方法二，雞兔同籠法：

(1)假設100人全是大和尚，應吃饅頭多少個？
3×100=300(個)．
(2)這樣多吃了幾個呢？
300－100=200(個)．
(3)為什麼多吃了200個呢？這是因為把小和尚當成大和尚。那麼把小和尚當成大和尚時，每個小和尚多算了幾個饅頭？
3－1/3=8/3
(4)每個小和尚多算了8/3個饅頭，一共多算了200個，所以小和尚有：
200÷8/3＝75（人）
大和尚：100－75＝25（人）

方法三，分組法：

由於大和尚一人分3隻饅頭，小和尚3人分一隻饅頭。我們可以把3個小和尚與1個大和尚編為一組，這樣每組4個和尚剛好分4個饅頭，那麼100個和尚總共分為100÷（3+1）=25組，因為每組有1個大和尚，所以有25個大和尚；又因為每組有3個小和尚，所以有25×3＝75個小和尚。

這是《直指演算法統宗》里的解法，原話是："置僧一百為實，以三一並得四為法除之，得大僧二十五個。"所謂"實"便是"被除數"，"法"便是"除數"。列式就是：
100÷（3+1）=25，100-25=75。

我國古代勞動人民的智慧由此可見一斑。