數列極限運演算法則

① 數列極限四則運演算法則是什麼意思

數列極限的四則運演算法則如下：

當數列{an}，{bn}分別以a，b為極限時，數列{an±bn}的極限是a±b，數列{anbn}的極限是ab；當bbn不等於0時，{an/bn}的極限是a/b；當函數f，g分別以a，b為極限時，函數f±b的極限是a±b，函數fg的極限是ab；當bg不等於0時，{f/g}的極限是a/b。

數列極限的四則運演算法則證明方法如下：

定理：設{an}與{bn}為收斂數列，則

（1）lim(n->∞)(an±bn)=lim(n->∞)an±lim(n->∞)bn;

（2）lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

若bn≠0且lim(n->∞)bn≠0，則lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

證：設lim(n->∞)an=a，lim(n->∞)bn=b，則ε>0，正整數N，

使當n>N時，有|an-a|<ε; |bn-b|<ε.

（1）則|(an+bn)-(a+b)|≤|an-a|+|bn-b|<2ε.

所以lim(n->∞)(an+bn)=lim(n->∞)an+lim(n->∞)bn;

∵an-bn=an+(-bn)，

所以lim(n->∞)(an-bn)=a-b=lim(n->∞)an-lim(n->∞)bn.

（2）由有界性定理，存在正數M，對一切n有|bn|<M.

∴|an·bn-ab|=|bn(an-a)+a(bn-b)|≤|bn||an-a|+|a||bn-b|<(|bn|+|a|)ε<(M+|a|)ε.

∴lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

∵an/bn=an·1/bn，所以lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

② 數列極限的運演算法則

數列極限的運演算法則如下：

前提條件：

各數列均有極限；

相加減時必須是有限個數列才能用法則。

極限的三大性質：

極限的唯一性、極限的有界性、極限的保序性。

極限的定義（描述性的）：

如果當項數n無限增大時，無窮數列的項an無限地趨近於某個常數a（即 無限地接近於0），a叫數列的極限，可記做當n→+∞時，an→a。

an無限接近於a的方式有三種：

遞增的數列，an無限接近於a，即an是在常數a的左邊無限地趨近於a；

遞減數列，an無限地趨近於a，即an是在常數a的右邊無限地趨近於a；

擺動數列，an無限地趨近於a，即an是在無限擺動的過程中無限地趨近於a。

嚴格定義：

即ε－N定義：對於任何正數ε（不論它多麼小），總存在某正數N，使得當n＞N時，一切an都滿足 ，a叫數列的極限。

「xn以a為極限」的幾何解釋：

將常數a及數列各項x1,x2,...,xn,...在數軸上找出相應的點，再在數軸上作開區間(aε,a+ε)。

當n>N時，滿足|xn−a|<ε，亦即滿足a−ε<xn<a+ε。也就是說從N+1開始，以後無窮多項都落在開區間(a−ε,a+ε)內。