設有遞推演算法

① 遞推的遞推演算法

【例1】
植樹節那天，有五位同學參加了植樹活動，他們完成植樹的棵樹都不相同。問第一位同學植了多少棵時，他指著旁邊的第二位同學說比他多植了兩棵；追問第二位同學，他又說比第三位同學多植了兩棵；... 如此，都說比另一位同學多植兩棵。最後問到第五位同學時，他說自己植了10棵。到底第一位同學植了多少棵樹？
分析：設第一位同學植樹的棵樹為a1,欲求a1，需從第五位同學植樹的棵數a5入手，根據「多兩棵」這個規律，按照一定順序逐步進行推算：
(1) a5=10;
(2) a4=a5+2=12;
(3) a3=a4+2=14;
(4) a2=a3+2=16;
(5) a1=a2+2=18;
Pascal程序：
Program Examl;
Var i,a:byte;
begin
a:=10;
for i:= 1 to 4 do
a:=a+2;
writeln('The Num is' ,a);
readln;
end.
本程序的遞推運算可用下圖示表示：
初始值a:=10 ----- i=1,a=a+2(12) ----- i=2,a=a+2(14) ------ i=3,a=a+2(16) ----- i=4,a=a+2(18) ---- 輸出a值
例2：
十本不同的書放在書架上。現重新擺放，使每本書都不在原來放的位置。有幾種擺法？
當n個編號元素放在n個編號位置,元素編號與位置編號各不對應的方法數用M(n)表示,那麼M(n-1)就表示n-1個編號元素放在n-1個編號位置,各不對應的方法數,其它類推.
第一步,把第n個元素放在一個位置,比如位置k,一共有n-1種方法;
第二步,放編號為k的元素,這時有兩種情況.1,把它放到位置n,那麼,對於剩下的n-2個元素,就有M(n-2)種方法;2,不把它放到位置n,這時,對於這n-1個元素,有M(n-1)種方法;
綜上得到
M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]
遞推演算法以初始（起點）值為基礎，用相同的運算規律，逐次重復運算，直至運算結束。這種從「起點」重復相同的方法直至到達一定「邊界」，猶如單向運動，用循環可以實現。遞推的本質是按規律逐次推出（計算）先一步的結果。

② 什麼是遞推法

遞推法是一種數學問題求解的方法，通過已知條件推導出未知結果。

1、遞推法常用於解決遞推關系式或遞歸問題。這種方法的基本思想是從已知條件出發，通過一系列遞推公式或遞歸定義，不斷迭代求解，直至得到所需的結果。

總之，遞推法是一種通過已知條件推導出未知結果的數學問題求解方法。它的基本原理是通過遞推公式或遞歸定義描述問題中各個元素之間的遞推關系，並利用迭代求解方法逐步求解未知元素，直至得到所需的結果。遞推法在數學和計算機科學中有廣泛的應用。