演算法規劃問題

❶ 演算法題套路總結（三）——動態規劃

前兩篇我總結了鏈表和二分查找題目的一些套路，這篇文章來講講動態規劃。動態規劃從我高中開始參加NOIP起就一直是令我比較害怕的題型，除了能一眼看出來轉移方程的題目，大部分動態規劃都不太會做。加上後來ACM更為令人頭禿的動態規劃，很多題解看了之後，我根本就不相信自己能夠想出來這種解法，看著大佬們談笑間還加一些常數優化，一度懷疑自己的智商。以前一直覺得動態規劃是給大佬准備的，所以刻意地沒有去攻克它，主要也是沒有信心。但是後來慢慢的，我再做LC的時候，發現很多DP的題目我自己慢慢能夠推出轉移方程了，而且似乎也沒那麼難。我一直在思考，到底是我變強了，還是因為LC的題目相比ACM或者NOI太簡單了。其實主要還是後者，但是同時我也發現，動態規劃其實是有套路的，我以前方法不對，總結太少。
主要就是，站在出題人的角度，他幾乎不太可能完全憑空想出一個新的DP模型，因為動態規劃畢竟要滿足：

因此，能夠利用DP來解決的問題實際上是有限的，大部分題目都是針對現有的模型的一些變種，改改題目描述，或者加點限制條件。所以要想攻克DP題目，最根本的就是要充分理解幾個常見的DP模型。而要充分理解常見經典DP模型，就需要通過大量的做題和總結，而且二者不可偏廢。通過做題進行思考和量的積累，通過總結加深理解和融會貫通進而完成質的提升。

動態規劃是求解一個最優化問題，而最核心的思想就是：

解一道DP題目，先問自己幾個問題：

當然以上內容看起來比較抽象，雖然它深刻地揭露了動態規劃的本質，但是如果臨場要去想明白這些問題，還是有些難度。如果只是針對比賽和面試，就像前面說的，DP題型是有限的。只要刷的題目足夠多，總結出幾個經典模型，剩下的都是些變種+優化而已。

一般來說，動態規劃可以分成4個大類:

線性DP就是階段非常線性直觀的模型，比如：最長（上升|下降）序列，最長公共子序列(LCS)等，也有一些簡單的遞推，甚至都算不上是 經典模型 。

最長上升序列是一個非常經典的線性模型。說它是個模型，是因為它是一類題的代表，很多題目都只是換個說法，或者要求在這基礎上進一步優化而已。最長上升序列最基礎的轉移方程就是 f[i] = max{f[j]}+1 (a[i] > a[j]) , f[i] 表示一定要以 a[i] 結尾的序列，最長長度是多少。很顯然就是在前面找到一個最大的 f[j] 同時滿足 a[j]<a[i] 。因此是 N^2 的時間復雜度和N的空間復雜度。這種方法是最樸素直觀的，一定要理解。它非常簡單，因此很少有題目直接能夠這么做。大部分相關題目需要進一步優化，也就是有名的單調隊列優化，能夠把復雜度優化到nlogn。

說單調隊列優化之前必須明白一個貪心策略。因為要求的是最長上升序列，那麼很顯然長度為k的上升序列的最大值（最後一個數）越小越好，這樣後面的數才有更大的概率比它大。如果我們記錄下來不同長度的上升序列的最後一個數能達到的最小值，那麼對於後續每個數t，它要麼能放到某個長度為y的序列之後，組成長度為y+1的上升序列，要麼放到某個長度為x的序列後面，把長度為x+1的序列的最大值替換成t。同時我們可以發現，如果x<y，那麼長度為x序列的最後一個數一定比長度為y的序列最後一個數小。因此這個上升序列我們可以用一個數組來維護（所謂的單調隊列），數組下標就代表序列長度。 opt[i]=t 表示長度為i的上升序列最後一個數最小是t。那麼當我們在面對後續某個數x時，可以對單調隊列opt進行二分，把它插到對應的位置。因此總體復雜度就是NlogN。
相關題目比如：

但是你可以發現，其實這個題型其實變種很有限，吃透了也就那麼回事。所以一定要總結。

最長公共子序列也是線性DP中的一種比較常見的模型。說它是一種「模型」其實有點拔高了，其實它就是一類比較常見的題目。很多題目都是在LCS的基礎上進行簡單的擴展，或者僅僅就是換一個說法而已。
求兩個數組的最長公共子序列，最直觀地做法就是：設f[i][j]表示S[..i]和T[..j]的最長公共子序列，則有:

這個轉移方程也非常好理解，時間復雜度是 N^2 ，空間復雜度也是 N^2 。不過仔細觀察你可以發現，當我們計算第i行時只與i-1和i行有關。因此我們可以利用01滾動來優化空間復雜度為2N。
相關題目：

線性DP除了上述的兩種常見題型，還有很多別的類型，包括背包。我們要努力去嘗試理解這些題目的異同，它們的轉移方程，以及思路，可能的變化，這樣才能更好的應對未知的題目。以下是一些我總結的題型：

最終結果就是max(0, f[n][2]+f[n][4])。
不過實際上你可以發現，由於各個狀態只和前一維有關，且只能由固定的一個狀態轉移過來，因此我們可以省掉一維，只用4個變數來存儲：

剩下的，同123題類似，由於最多進行k次交易，那麼一天就有2k個狀態：第1次買/賣……第k次買/賣，結合123題的優化，我們只需要2k個變數就能存儲這些狀態。因此設f[i×2]為第i次買入的最優值，f[i×2+1]為第i次賣出的最優值：

以上都是對一些常見的線性DP的一些小結，實際上線性DP還有一個重要的題型就是背包。關於背包，有很多相關的講解，我這里就不多說了，推薦大家看看 背包九講 。下一章依然是DP專題，我講總結一些區間DP的題型。大部分區間DP都是hard級的，對於希望提高自己水平的人來說，需要投入更多精力去理解。

❷ 在運籌學中，如何運用圖論模型來解決路徑規劃問題

在運籌學中，圖論模型是一種常用的工具來解決路徑規劃問題。路徑規劃是指在給定的起點和終點之間找到一條最優路徑的問題。

首先，我們需要將問題轉化為圖的形式。我們可以將地圖上的每個點看作一個節點，而兩個節點之間的道路可以看作是邊。邊的權重可以表示道路的長度或者行駛時間等。

接下來，我們可以使用圖論中的最短路徑演算法來解決這個問題。其中最常用的演算法是Dijkstra演算法和Floyd-Warshall演算法。

Dijkstra演算法是一種貪心演算法，它每次選擇當前距離起點最近的未訪問節點作為下一個要訪問的節點，並更新其鄰居節點的距離。重復這個過程直到到達終點。Dijkstra演算法可以找到從起點到終點的最短路徑。

Floyd-Warshall演算法是一種動態規劃演算法，它可以解決所有節點對之間的最短路徑問題。它通過迭代地更新每對節點之間的距離來找到最短路徑。Floyd-Warshall演算法的時間復雜度較高，但它可以處理更復雜的路徑規劃問題。

除了最短路徑演算法，圖論模型還可以用於其他類型的路徑規劃問題，如最小生成樹、最大流等。這些問題可以通過不同的圖論演算法來解決。

總之，圖論模型在運籌學中被廣泛應用於路徑規劃問題。通過將問題轉化為圖的形式，並運用合適的圖論演算法，我們可以找到最優的路徑解決方案。