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演算法實現排列組合

發布時間: 2024-08-24 09:11:36

1. 數學排列組合公式演算法

數學排列組合公式主要包括排列和組合兩種類型。排列是從n個不同元素中取出m個元素按一定的順序排成一列,它的數目通常用符號Pₙₘ或P來表示。計算公式為Pₙₘ = n × × ... × 。組合是從n個不同元素中取出m個元素排成一列或成一組,不考慮其順序,它的數目通常用符號Cₙₘ或C來表示。計算公式為Cₙₘ = n × × ... × /[m × × ... × 2 × 1]。也即Cₙₘ=n!/[!]。這是計算排列組合的基本公式和演算法。


解釋如下:


排列的計算公式


排列是從n個不同元素中取出m個元素進行排序。比如從1到5這五個數中取出三個數進行排序,其排列數為P₅₃,表示從5個數中取3個數的所有可能的排序方式。計算時,從第一個數開始,它可以是任意數,因此有5種選擇;第二個數在剩下的數中選擇,有4種選擇;以此類推,可以得到最終的排列公式為5×4×3。這個計算考慮了每一個元素的位置順序。


組合的計算公式


組合與排列類似,也是從n個不同元素中取出m個元素,但不考慮其順序。比如從上述的1到5這五個數中取出三個數組成一個組合,不考慮這三個數字的順序。計算組合時,我們不需要考慮元素之間的順序,因此要對排列的結果進行除序處理,即將結果除以一個數的全序。組合公式中的除法操作體現了這一點,因為我們不再關心所選元素的排列方式,只需知道選取了多少個元素即可。因此,組合的計算公式為Pₙₘ除以m的階乘。通過這種方式,我們可以准確地計算出不考慮順序的組合數量。

2. 排列組合公式及排列組合演算法

排列組合公式

排列組合公式/排列組合計算公式

公式P是指排列,從N個元素取M個進行排列。

公式C是指組合,從N個元素取M個進行組合,不進行排列。

N-元素的總個數

M參與選擇的元素個數

!-階乘,如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1

從N到數M個,表達式應該為n*(n-1)*(n-2)..(n-m+1);

因為從n到(n-m+1)個數為n-(n-m+1)=m

舉例:

Q1: 有從1到9共計9個號碼球,請問,可以組成多少個三位數?

A1: 123和213是兩個不同的排列數。即對排列順序有要求的,既屬於「排列P」計算范疇。

上問題中,任何一個號碼只能用一次,顯然不會出現988,997之類的組合,我們可以這么看,百位數有9種可能,十位數則應該有9-1種可能,個位數則應該只有9-1-1種可能,最終共有9*8*7個三位數。計算公式=P(3,9)=9*8*7,(從9倒數3個的乘積)

Q2:有從1到9共計9個號碼球,請問,如果三個一組,代表「三國聯盟」,可以組合成多少個「三國聯盟」?

A2:213組合和312組合,代表同一個組合,只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的,屬於「組合C」計算范疇。

上問題中,將所有的包括排列數的個數去除掉屬於重復的個數即為最終組合數C(3,9)=9*8*7/3*2*1

3. 排列組合演算法

1、排列有兩種定義,但計算方法只有一種,凡是符合這兩種定義的都用這種方法計算。

2、定義的前提條件是m≦n,m與n均為自然數。

3、從n個不同元素中,任取m個元素按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

4、從n個不寬培核同元素中運中,取出m個元素的所有排列的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數。

5、用具體的例子來理解上面的定義:4種顏色按不同顏色,進行排列,有多少種排列方法,如果是6種顏色。從6種顏色中取出慎掘4種進行排列。

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