演算法實現排列組合

1. 數學排列組合公式演算法

數學排列組合公式主要包括排列和組合兩種類型。排列是從n個不同元素中取出m個元素按一定的順序排成一列，它的數目通常用符號Pₙₘ或P來表示。計算公式為Pₙₘ = n × × ... × 。組合是從n個不同元素中取出m個元素排成一列或成一組，不考慮其順序，它的數目通常用符號Cₙₘ或C來表示。計算公式為Cₙₘ = n × × ... × /[m × × ... × 2 × 1]。也即Cₙₘ=n!/[!]。這是計算排列組合的基本公式和演算法。

解釋如下：

排列的計算公式：

排列是從n個不同元素中取出m個元素進行排序。比如從1到5這五個數中取出三個數進行排序，其排列數為P₅₃，表示從5個數中取3個數的所有可能的排序方式。計算時，從第一個數開始，它可以是任意數，因此有5種選擇；第二個數在剩下的數中選擇，有4種選擇；以此類推，可以得到最終的排列公式為5×4×3。這個計算考慮了每一個元素的位置順序。

組合的計算公式：

組合與排列類似，也是從n個不同元素中取出m個元素，但不考慮其順序。比如從上述的1到5這五個數中取出三個數組成一個組合，不考慮這三個數字的順序。計算組合時，我們不需要考慮元素之間的順序，因此要對排列的結果進行除序處理，即將結果除以一個數的全序。組合公式中的除法操作體現了這一點，因為我們不再關心所選元素的排列方式，只需知道選取了多少個元素即可。因此，組合的計算公式為Pₙₘ除以m的階乘。通過這種方式，我們可以准確地計算出不考慮順序的組合數量。

2. 排列組合公式及排列組合演算法

排列組合公式

排列組合公式/排列組合計算公式

公式P是指排列，從N個元素取M個進行排列。

公式C是指組合，從N個元素取M個進行組合，不進行排列。

N-元素的總個數

M參與選擇的元素個數

！-階乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1

從N到數M個，表達式應該為n*（n-1)*(n-2)..(n-m+1);

因為從n到（n-m+1)個數為n－(n-m+1)＝m

舉例：

Q1: 有從1到9共計9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數？

A1: 123和213是兩個不同的排列數。即對排列順序有要求的，既屬於「排列P」計算范疇。

上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現988,997之類的組合，我們可以這么看，百位數有9種可能，十位數則應該有9-1種可能，個位數則應該只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個三位數。計算公式＝P(3,9)＝9*8*7,(從9倒數3個的乘積）

Q2:有從1到9共計9個號碼球，請問，如果三個一組，代表「三國聯盟」，可以組合成多少個「三國聯盟」？

A2:213組合和312組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬於「組合C」計算范疇。

上問題中，將所有的包括排列數的個數去除掉屬於重復的個數即為最終組合數C(3,9)=9*8*7/3*2*1

3. 排列組合演算法

1、排列有兩種定義，但計算方法只有一種，凡是符合這兩種定義的都用這種方法計算。

2、定義的前提條件是m≦n，m與n均為自然數。

3、從n個不同元素中，任取m個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

4、從n個不寬培核同元素中運中，取出m個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數。

5、用具體的例子來理解上面的定義：4種顏色按不同顏色，進行排列，有多少種排列方法，如果是6種顏色。從6種顏色中取出慎掘4種進行排列。