圖的兩種演算法
1. 最小生成樹的兩種演算法 圖的最小生成樹的兩個主要演算法是什麼它們各自的特點
主要有兩個：
1.普里姆（Prim)演算法
特點：時間復雜度為O(n2).適合於求邊稠密的最小生成樹.
2.克魯斯卡爾（Kruskal)演算法
特點：時間復雜度為O(eloge)(e為網中邊數）,適合於求稀疏的網的最小生成樹.
2. 圖遍歷的演算法
圖的遍歷方法目前有深度優先搜索法和廣度（寬度）優先搜索法兩種演算法。 深度優先搜索法是樹的先根遍歷的推廣，它的基本思想是：從圖G的某個頂點v0出發，訪問v0，然後選擇一個與v0相鄰且沒被訪問過的頂點vi訪問，再從vi出發選擇一個與vi相鄰且未被訪問的頂點vj進行訪問，依次繼續。如果當前被訪問過的頂點的所有鄰接頂點都已被訪問，則退回到已被訪問的頂點序列中最後一個擁有未被訪問的相鄰頂點的頂點w，從w出發按同樣的方法向前遍歷，直到圖中所有頂點都被訪問。其遞歸演算法如下：
Boolean visited[MAX_VERTEX_NUM]; //訪問標志數組
Status (*VisitFunc)(int v); //VisitFunc是訪問函數，對圖的每個頂點調用該函數
void DFSTraverse (Graph G, Status(*Visit)(int v)){
VisitFunc = Visit;
for(v=0; v<G.vexnum; ++v)
visited[v] = FALSE; //訪問標志數組初始化
for(v=0; v<G.vexnum; ++v)
if(!visited[v])
DFS(G, v); //對尚未訪問的頂點調用DFS
}
void DFS(Graph G, int v){ //從第v個頂點出發遞歸地深度優先遍歷圖G
visited[v]=TRUE; VisitFunc(v); //訪問第v個頂點
for(w=FirstAdjVex(G,v); w>=0; w=NextAdjVex(G,v,w))
//FirstAdjVex返回v的第一個鄰接頂點，若頂點在G中沒有鄰接頂點，則返回空（0）。
//若w是v的鄰接頂點，NextAdjVex返回v的（相對於w的）下一個鄰接頂點。
//若w是v的最後一個鄰接點，則返回空（0）。
if(!visited[w])
DFS(G, w); //對v的尚未訪問的鄰接頂點w調用DFS
} 圖的廣度優先搜索是樹的按層次遍歷的推廣，它的基本思想是：首先訪問初始點vi，並將其標記為已訪問過，接著訪問vi的所有未被訪問過的鄰接點vi1,vi2,…, vi t，並均標記已訪問過，然後再按照vi1,vi2,…, vi t的次序，訪問每一個頂點的所有未被訪問過的鄰接點，並均標記為已訪問過，依次類推，直到圖中所有和初始點vi有路徑相通的頂點都被訪問過為止。其非遞歸演算法如下：
Boolean visited[MAX_VERTEX_NUM]; //訪問標志數組
Status (*VisitFunc)(int v); //VisitFunc是訪問函數，對圖的每個頂點調用該函數
void BFSTraverse (Graph G, Status(*Visit)(int v)){
VisitFunc = Visit;
for(v=0; v<G.vexnum, ++v)
visited[v] = FALSE;
initQueue(Q); //置空輔助隊列Q
for(v=0; v<G.vexnum; ++v)
if(!visited[v]){
visited[v]=TRUE; VisitFunc(v);
EnQueue(Q, v); //v入隊列
while(!QueueEmpty(Q)){
DeQueue(Q, u); //隊頭元素出隊並置為u
for(w=FirstAdjVex(G,u); w>=0; w=NextAdjVex(G,u,w))
if(!Visited[w]){ //w為u的尚未訪問的鄰接頂點
Visited[w]=TRUE; VisitFunc(w);
EnQueue(Q, w);
}
}
}
}
3. 對連通圖進行一次先深遍歷可訪問圖的全部頂點，對嗎
如果是無向的連通圖或者有向的強連通圖,是對的,對於無向的非連通圖就不可能一次遍歷訪問到所有頂點了,對於有向的非強連通圖則有可能對,有可能不對
4. 程序員必須掌握哪些演算法
一.基本演算法:
枚舉. (poj1753,poj2965)
貪心(poj1328,poj2109,poj2586)
遞歸和分治法.
遞推.
構造法.(poj3295)
模擬法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996)
二.圖演算法:
圖的深度優先遍歷和廣度優先遍歷.
最短路徑演算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra)
(poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240)
最小生成樹演算法(prim,kruskal)
(poj1789,poj2485,poj1258,poj3026)
拓撲排序 (poj1094)
二分圖的最大匹配 (匈牙利演算法) (poj3041,poj3020)
最大流的增廣路演算法(KM演算法). (poj1459,poj3436)
三.數據結構.
串 (poj1035,poj3080,poj1936)
排序(快排、歸並排(與逆序數有關)、堆排) (poj2388,poj2299)
簡單並查集的應用.
哈希表和二分查找等高效查找法(數的Hash,串的Hash)
(poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503)
哈夫曼樹(poj3253)
堆
trie樹(靜態建樹、動態建樹) (poj2513)
四.簡單搜索
深度優先搜索 (poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251)
廣度優先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414)
簡單搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129)
五.動態規劃
背包問題. (poj1837,poj1276)
型如下表的簡單DP(可參考lrj的書 page149):
E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533)
E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最長公共子序列) (poj3176,poj1080,poj1159)
C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最優二分檢索樹問題)
六.數學
組合數學:
1.加法原理和乘法原理.
2.排列組合.
3.遞推關系.
(POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942)
數論.
1.素數與整除問題
2.進制位.
3.同餘模運算.
(poj2635, poj3292,poj1845,poj2115)
計算方法.
1.二分法求解單調函數相關知識.(poj3273,poj3258,poj1905,poj3122)
七.計算幾何學.
幾何公式.
叉積和點積的運用(如線段相交的判定,點到線段的距離等). (poj2031,poj1039)
多邊型的簡單演算法(求面積)和相關判定(點在多邊型內,多邊型是否相交)
(poj1408,poj1584)
凸包. (poj2187,poj1113)
中級（校賽壓軸及省賽中等難度）:
一.基本演算法:
C++的標准模版庫的應用. (poj3096,poj3007)
較為復雜的模擬題的訓練(poj3393,poj1472,poj3371,poj1027,poj2706)
二.圖演算法:
差分約束系統的建立和求解. (poj1201,poj2983)
最小費用最大流(poj2516,poj2516,poj2195)
雙連通分量(poj2942)
強連通分支及其縮點.(poj2186)
圖的割邊和割點(poj3352)
最小割模型、網路流規約(poj3308)
三.數據結構.
線段樹. (poj2528,poj2828,poj2777,poj2886,poj2750)
靜態二叉檢索樹. (poj2482,poj2352)
樹狀樹組(poj1195,poj3321)
RMQ. (poj3264,poj3368)
並查集的高級應用. (poj1703,2492)
KMP演算法. (poj1961,poj2406)
四.搜索
最優化剪枝和可行性剪枝
搜索的技巧和優化 (poj3411,poj1724)
記憶化搜索(poj3373,poj1691)
五.動態規劃
較為復雜的動態規劃(如動態規劃解特別的旅行商TSP問題等)
(poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034)
記錄狀態的動態規劃. (POJ3254,poj2411,poj1185)
樹型動態規劃(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140)
六.數學
組合數學:
1.容斥原理.
2.抽屜原理.
3.置換群與Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026).
4.遞推關系和母函數.
數學.
1.高斯消元法(poj2947,poj1487, poj2065,poj1166,poj1222)
2.概率問題. (poj3071,poj3440)
3.GCD、擴展的歐幾里德(中國剩餘定理) (poj3101)
計算方法.
1.0/1分數規劃. (poj2976)
2.三分法求解單峰(單谷)的極值.
3.矩陣法(poj3150,poj3422,poj3070)
4.迭代逼近(poj3301)
隨機化演算法(poj3318,poj2454)
雜題(poj1870,poj3296,poj3286,poj1095)
七.計算幾何學.
坐標離散化.
掃描線演算法(例如求矩形的面積和周長並,常和線段樹或堆一起使用)
(poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,poj2280,poj3004)
多邊形的內核(半平面交)(poj3130,poj3335)
幾何工具的綜合應用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429)
高級（regional中等難度）:
一.基本演算法要求:
代碼快速寫成,精簡但不失風格
(poj2525,poj1684,poj1421,poj1048,poj2050,poj3306)
保證正確性和高效性. poj3434
二.圖演算法:
度限制最小生成樹和第K最短路. (poj1639)
最短路,最小生成樹,二分圖,最大流問題的相關理論(主要是模型建立和求解)
(poj3155, poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446
最優比率生成樹. (poj2728)
最小樹形圖(poj3164)
次小生成樹.
無向圖、有向圖的最小環
三.數據結構.
trie圖的建立和應用. (poj2778)
LCA和RMQ問題(LCA(最近公共祖先問題) 有離線演算法(並查集+dfs) 和 在線演算法(RMQ+dfs)).(poj1330)
雙端隊列和它的應用(維護一個單調的隊列,常常在動態規劃中起到優化狀態轉移的目的). (poj2823)
左偏樹(可合並堆).
後綴樹(非常有用的數據結構,也是賽區考題的熱點).(poj3415,poj3294)
四.搜索
較麻煩的搜索題目訓練(poj1069,poj3322,poj1475,poj1924,poj2049,poj3426)
廣搜的狀態優化:利用M進制數存儲狀態、轉化為串用hash表判重、按位壓縮存儲狀態、雙向廣搜、A*演算法. (poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482)
深搜的優化:盡量用位運算、一定要加剪枝、函數參數盡可能少、層數不易過大、可以考慮雙向搜索或者是輪換搜索、IDA*演算法. (poj3131,poj2870,poj2286)
五.動態規劃
需要用數據結構優化的動態規劃.(poj2754,poj3378,poj3017)
四邊形不等式理論.
較難的狀態DP(poj3133)
六.數學
組合數學.
1.MoBius反演(poj2888,poj2154)
2.偏序關系理論.
博奕論.
1.極大極小過程(poj3317,poj1085)
2.Nim問題.
七.計算幾何學.
半平面求交(poj3384,poj2540)
可視圖的建立(poj2966)
點集最小圓覆蓋.
對踵點(poj2079)
5. 圖遍歷演算法之DFS/BFS
在計算機科學， 圖遍歷（Tree Traversal，也稱圖搜索）是一系列圖搜索的演算法， 是單次訪問樹結構類型數據（tree data structure)中每個節點以便檢查或更新的一系列機制。圖遍歷演算法可以按照節點訪問順序進行分類，根據訪問目的或使用場景的不同，演算法大致可分為28種：
圖遍歷即以特定方式訪問圖中所有節點，給定節點下有多種可能的搜索路徑。假定以順序方式進行（非並行），還未訪問的節點就需通過堆棧（LIFO）或隊列（FIFO）規則來確定訪問先後。由於樹結構是一種遞歸的數據結構，在清晰的定義下，未訪問節點可存儲在調用堆棧中。本文介紹了圖遍歷領域最流行的廣度優先搜索演算法BFS和深度優先搜索演算法DFS，對其原理、應用及實現進行了闡述。通常意義上而言，深度優先搜索（DFS）通過遞歸調用堆棧比較容易實現，廣義優先搜索通過隊列實現。
深度優先搜索（DFS）是用於遍歷或搜索圖數據結構的演算法，該演算法從根節點開始（圖搜索時可選擇任意節點作為根節點）沿著每個分支進行搜索，分支搜索結束後在進行回溯。在進入下一節點之前，樹的搜索盡可能的加深。
DFS的搜索演算法如下（以二叉樹為例）：假定根節點（圖的任意節點可作為根節點）標記為 ,
(L) : 遞歸遍歷左子樹，並在節點 結束。
(R): 遞歸遍歷右子樹，並在節點 結束。
(N): 訪問節點 。
這些步驟可以以任意次序排列。如果（L）在（R）之前，則該過程稱為從左到右的遍歷；反之，則稱為從右到左的遍歷。根據訪問次序的不同，深度優先搜索可分為 pre-order、in-order、out-order以及post-order遍歷方式。
（a）檢查當前節點是否為空；
（b）展示根節點或當前節點數據；
（c）遞歸調用pre-order函數遍歷左子樹；
（d）遞歸調用pre-order函數遍歷右子樹。
pre-order遍歷屬於拓撲排序後的遍歷，父節點總是在任何子節點之前被訪問。該遍歷方式的圖示如下：
遍歷次序依次為：F -B -A-D- C-E-G- I-H.
（a）檢查當前節點是否為空；
（b）遞歸調用in-order函數遍歷左子樹；
（c）展示根節點或當前節點數據；
（d）遞歸調用in-order函數遍歷右子樹。
在二叉樹搜索中，in-order遍歷以排序順序訪問節點數據。該遍歷方式的圖示如下：
遍歷次序依次為：A -B - C - D - E - F - G -H-I
（a）檢查當前節點是否為空；
（b）遞歸調用out-order函數遍歷右子樹；
（c）展示根節點或當前節點數據；
（d）遞歸調用out-order函數遍歷左子樹。
該遍歷方式與LNR類似，但先遍歷右子樹後遍歷左子樹。仍然以圖2為例，遍歷次序依次為：H- I-G- F- B- E- D- C- A.
（a）檢查當前節點是否為空；
（b）遞歸調用post-order函數遍歷左子樹；
（c）遞歸調用post-order函數遍歷右子樹；
（d）展示根節點或當前節點數據。
post-order遍歷圖示如下：
遍歷次序依次為：A-C-E-D-B-H-I-G-F.
pre-order遍歷方式使用場景：用於創建樹或圖的副本；
in-order遍歷使用場景：二叉樹遍歷；
post-order遍歷使用場景：刪除樹
遍歷追蹤也稱樹的序列化，是所訪問根節點列表。無論是pre-order，in-order或是post-order都無法完整的描述樹特性。給定含有不同元素的樹結構，pre-order或post-order與in-order遍歷方式結合起來使用才可以描述樹的獨特性。
樹或圖形的訪問也可以按照節點所處的級別進行遍歷。在每次訪問下一層級節點之前，遍歷所在高層級的所有節點。BFS從根節點（圖的任意節點可作為根節點）出發，在移動到下一節點之前訪問所有相同深度水平的相鄰節點。
BFS的遍歷方法圖示如下：
遍歷次序依次為： F-B-G-A-D-I-C-E-H.
圖演算法相關的R包為igraph，主要包括圖的生成、圖計算等一系列演算法的實現。
使用方法：
參數說明：
示例：
結果展示：
DFS R輸出節點排序：
使用方法：
參數含義同dfs
示例：
結果展示：
BFS R輸出節點排序：
以尋找兩點之間的路徑為例，分別展示BFS及DFS的實現。圖示例如下：
示例：
輸出結果：
示例：
輸出結果：
[1] 維基網路： https://en.wikipedia.org/wiki/Tree_traversal
[2] GeeksforGeeks: https://www.geeksforgeeks.org/tree-traversals-inorder-preorder-and-postorder/
[3] http://webdocs.cs.ualberta.ca/~holte/T26/tree-traversal.html
[4]Martin Broadhurst, Graph Algorithm: http://www.martinbroadhurst.com/Graph-algorithms.html#section_1_1
[5]igraph: https://igraph.org/r/doc/dfs.html
[6]igraph: https://igraph.org/r/doc/bfs.html
[7] Depth-First Search and Breadth-First Search in python: https://eddmann.com/posts/depth-first-search-and-breadth-first-search-in-python/