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逆矩陣演算法

發布時間: 2024-08-03 07:55:42

1. 廣義逆矩陣的計算方法

廣義逆矩陣的計算方法大致可分為三類:以滿秩分解和奇異值分解為基礎的直接法,迭代法和其他一些常用於低階矩陣的非凡方法。
以A+的計算為例。若A是一個秩為r的m×n階非零矩陣,記作(圖6),,有滿秩分解A=F·G,其中(圖7),則(圖8),即將廣義逆矩陣的計算化為通常逆矩陣的計算。常用LU分解和QR分解等方法實現滿秩分解,然後求出A+。若A有奇異值分解A=UDV*,其中U、V為m階和n階酉矩陣,(圖9)是m×n階矩陣,∑是r階對角陣,對角元(圖10)是A的r個非零奇異值(AA*的非零特徵值的平方根),則A+=VD+U*,其中(圖11)是n×m階矩陣。也可用豪斯霍爾德變換先將 A化為上雙對角陣J0=P*AQ,然後再對J0使用QR演算法化為矩陣D=G*J0h,於是A=(PG)D(Qh)*,故A+1=(Qh)D+(PG)*。設λ1是AA*的最大非零特徵值,若0<α<2/λ1,則計算A+的一個迭代法是x0=αA*,xn+1=(2I-Axn),當n→∞時,xn收斂於A+。
格雷維爾逐次遞推法也是計算A+的常用方法。設A的第k列為αk(k=1,2,…,n),A1=α1,Ak=(Ak-1,αk)(k=2,3,…,n),則(圖12),式中(圖13)(圖14)。
1955年以後,出現了大量的關於廣義逆矩陣的理論、應用和計算方法的文獻。70年代還出版了一些專著和會議錄,指出廣義逆矩陣在控制論、系統辨識、規劃論、網路理論、測量、統計和計量經濟學等方面的應用。

2. 矩陣初等變換,有什麼。簡便演算法嗎

記住基本的分塊矩陣求逆公式

在這里的A就是二階單位矩陣E

其逆矩陣還是自身

B為常數-6,其逆為-1/6

C為3 0

於是-B^-1 CA^-1等於1/2 0

所以代入之後得到整個逆矩陣為

1 0 0

0 1 0

1/2 0 -1/6

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