ecc演算法實現
ECC(Elliptic Curve Cryptosystems )橢圓曲線密碼體制，美國SUN公司開發的，它的體制根據其所依據的難題一般分為三類：大整數分解問題類、離散對數問題類、橢圓曲線類。有時也把橢圓曲線類歸為離散對數類，是目前已知的公鑰體制中，對每比特所提供加密強度最高的一種體制，如果你能理解RSA演算法，也算是對ECC有大概的了解，建議你去買些相關書籍看看。
② ECC橢圓曲線加密演算法(一)
btc address:
eth address:
隨著區塊鏈的大熱，橢圓曲線演算法也成了密碼學的熱門話題。在Bitcoin 生成地址 中使用到了橢圓曲線加密演算法。
橢圓曲線的一般表現形式：
橢圓曲線其實不是橢圓形的，而是下面的圖形：
Bitcoin使用了 secp256k1 這條特殊的橢圓曲線，公式是：
這個東西怎麼加密的呢？
19世紀挪威青年 尼爾斯·阿貝爾 從普通的代數運算中，抽象出了加群（也叫阿貝爾群或交換群），使得在加群中，實數的演算法和橢圓曲線的演算法得到了統一。是什麼意思呢？
我們在實數中，使用的加減乘除，同樣可以用在橢圓曲線中！
對的，橢圓曲線也可以有加法、乘法運算。
數學中的群是一個集合，我們為它定義了一個二元運算，我們稱之為「加法」，並用符號 + 表示。假定我們要操作的群用𝔾表示，要定義的 加法 必須遵循以下四個特性：
如果在增加第5個條件：
交換律：a + b = b + a
那麼，稱這個群為阿貝爾群。根據這個定義整數集是個阿貝爾群。
岔開一下話題， 伽羅瓦 與 阿貝爾 分別獨立的提出了群論，他們並稱為現代群論的創始人，可惜兩位天才都是英年早逝。
如上文所說，我們可以基於橢圓曲線定義一個群。具體地說：
在橢圓曲線上有 不重合且不對稱的 A 、B兩點，兩點與曲線相交於X點, X與 x軸 的對稱點為R，R即為 A+B 的結果。這就是橢圓曲線的加法定義。
因為橢圓曲線方程存在 項，因此橢圓曲線必然關於x軸對稱
曲線： ，
坐標：A=(2,5)，B=(3,7)
A、B正好在曲線上，因為坐標滿足曲線公式
那如何找到相交的第三個點呢？
通過 A、B兩點確定直線方程，
設直線方程： ，m為直線的斜率
進一步得到c=1。
聯立方程：
X(-1,-1)的x坐標-1代入方式正好滿足方程，所以A、B兩點所在直線與曲線相交於 X(-1,-1)，則點X的關於x軸的對稱點為R(-1,1)，即A(2,5)+B(3,5)=R(-1,1)。
根據橢圓曲線的 群律(GROUP LAW) 公式，我們可以方便的計算R點。
曲線方程：
當A=(x1,y1)，B=(x2,y2) ，R=A+B=(x3,y3)，x1≠x2時,
， m是斜率
x3=
y3=m(x1-x3)-y1
A=(2,5), B=(3,7) , R=(-1,1) 符合上面的公式。
橢圓曲線加法符合交換律么？
先計算(A+B)，在計算 A+B+C
先計算B+C， 在計算 B+C+A
看圖像，計算結果相同，大家手動算下吧。
那 A + A 呢， 怎麼計算呢？
當兩點重合時候，無法畫出 「過兩點的直線」，在這種情況下，
過A點做橢圓曲線的切線，交於X點，X點關於 x軸 的對稱點即為 2A ，這樣的計算稱為 「橢圓曲線上的二倍運算」。
下圖即為橢圓曲線乘法運算：
我們將在 ECC橢圓曲線加密演算法(二) 介紹有限域，橢圓曲線的離散對數問題，橢圓曲線加密就是應用了離散對數問題。
參考：
https://eng.paxos.com/blockchain-101-foundational-math
https://eng.paxos.com/blockchain-101-elliptic-curve-cryptography
https://andrea.corbellini.name/2015/05/17/elliptic-curve-cryptography-a-gentle-introction/
③ 理解橢圓曲線加密演算法
橢圓曲線加密演算法，即：Elliptic Curve Cryptography，簡稱ECC，是基於橢圓曲線數學理論實現的一種非對稱加密演算法。相比RSA，ECC優勢是可以使用更短的密鑰，來實現與RSA相當或更高的安全。據研究，160位ECC加密安全性相當於1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相當於2048位RSA加密。
一般橢圓曲線方程式表示為:(其中a,b,c,d為系數)
> y2=ax3+ bx2+cx+d
典型的橢圓曲線如：y2=x3−4x2+16
先擺一個栗子：
小米很難算到的那個數，就是公鑰密碼演算法中的私鑰（一個公鑰密碼演算法安全的必要條件（非充分）是「由公鑰不能反推出私鑰」），公鑰密碼演算法最根本的原理是利用信息的不對稱性：即掌握私鑰的人在整個通信過程中掌握最多的信息。
橢圓曲線加密演算法是一個基於加法階數難求問題的密碼方案。 對於橢圓曲線來講，橢圓曲線的基點就是例子裡面的5，而私鑰就是基點的加法階數（例子裡面的11），公鑰是基點（5）進行對應階數的加法（11次）得到的結果（55）。
簡單描述就是:G * k = K （G,K公開，k保密）
上述例子相對簡單，橢圓曲線加密演算法里的加法建立在 「有限域上的二元三次曲線上的點」上 ，組成一個「有限加法循環群」。具體的說，這個加法的幾何定義如下圖，兩個點的加法結果是指這兩點的連線和曲線的交點關於x軸的鏡像。
如果我們從某一點出發（所謂的單位元，比如正整數域的1，代表一個空間里的最基本單元），不停做自增操作（所謂群操作，比如++），枚舉出整個空間的集合元素。如圖：
因此給定橢圓曲線的某一點G，從G出發，不停做切線，找對稱點，依次得到-2G，2G，-4G，4G，-8G，8G... 。即：當給定G點時，已知x，求xG點並不困難。反之，已知xG點，求x則非常困難。即Q = NG，N就是我們的私鑰，Q就是我們的公鑰。
現在我們知道了公鑰(Q)和私鑰(N)的生成的原理,我們在看看橢圓曲線數字簽名演算法(ECDSA)的過程,橢圓曲線數字簽名演算法（ECDSA）是使用橢圓曲線密碼（ECC）對數字簽名演算法（DSA）的模擬。ECDSA於1999年成為ANSI標准，並於2000年成為IEEE和NIST標准。
私鑰主要用於 簽名，解密 ；公鑰主要用於 驗簽，加密 ，可以通過私鑰可以計算出公鑰，反之則不行。
公鑰加密：公鑰加密的內容可以用私鑰來解密——只有私鑰持有者才能解密。
私鑰簽名：私鑰簽名的內容可以用公鑰驗證。公鑰能驗證的簽名均可視為私鑰持有人所簽署。
通常需要六個參數來描敘一個特定的橢圓曲線:T = (p, a, b, G, n, h).
p: 代表有限域Fp的那個質數 a,b：橢圓方程的參數 G: 橢圓曲線上的一個基點G = (xG, yG) n：G在Fp中規定的序號，一個質數。 h：余因數（cofactor），控制選取點的密度。h = #E(Fp) / n。
這里以secp256k1曲線(比特幣簽名所使用的曲線)為例介紹一下公私鑰對的產生的過成。
secp256k1的參數為：
本質上ECDSA的私鑰就是一個隨機數滿足在曲線G的n階里及k∈(0,n),根據Q=kG可以計算出公鑰，生成的私鑰一般為32位元組大小，公鑰通常為64個位元組大小。如：
ECDSA簽名演算法的輸入是數據的哈希值，而不是數據的本身，我們假設用戶的密鑰對:（d, Q）；(d為私鑰，Q為公鑰) 待簽名的信息：M； e = Hash(M);簽名：Signature(e) = ( r, s)。
簽名介面：
驗證介面:
一個例子：
④ 奼傝茶ВECC錛 128浣嶆暟鎹浣嶏紝9浣嶆牎楠屼綅鐨勭畻娉
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