換零錢演算法

『壹』 鑰冮橈細鐜嬪笀鍌呮槸鍗栭瀷鐨勶紝涓鍙岄瀷榪涗環30鍏冪敥鍗20鍏冿紝欏懼㈡潵涔伴瀷緇欎簡寮50錛岀帇甯堝倕娌￠浂閽憋紝浜庢槸鎵鵑偦灞呮崲浜50鍏

棣栧厛浣犲亣璁句綘鍙ｈ嬫湁100鍏冮挶錛岃繘璐х殑鏃跺欏墿涓70鍏冿紙1寮20+1寮50錛夈傞【瀹㈡潵鐨勬椂鍊欙紝緇欎簡鐜嬪笀鍌呬竴寮50錛屾墍浠ョ幇鍦ㄦ槸錛20+50+50錛夈傜帇甯堝倕鎶婂畠鍏戞崲浜嗭紝鍙樻垚浜嗭紙20+50+10*5錛夈傚厬鎹浠ュ悗錛屾壘浜30鍏冮挶緇欓【瀹銆傜幇鍦ㄥ彉鎴愪簡錛20+50+10*2錛夊彂鐜版槸鍋囬挶浠ュ悗錛屽張灝戜簡50錛岀幇鍦ㄥ彉鎴愪簡錛20+10*2錛夈備篃灝辨槸璇村師鏈鐨100鍏冿紝鍙樻垚浜嗙幇鍦ㄧ殑40鍏冿紝鎵浠ュ叡浜忎簡60鍏冦
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『貳』 演算法:找零錢,有4種硬幣1，2，5，10，將X和Y換成零錢，求所用的最少錢數 如：8，9，輸出4（1，2，2，5）

這個演算法相對較為簡單，使用大面值硬幣優先使用即可。
void getCoinList(int bigMoney)
{
int coinValues[] = {10, 5, 2, 1};
int coins[4] = {0};
int totalCoins = 0;
int surplusMoney = bigMoney;
int i = 0, j = 0;
for (i = 0; i < 4; i++)
{
coins[i] = surplusMoney / coinValues[i];
totalCoins += coins[i];
surplusMoney = bigMoney % coinValues[i];
}
printf("%d(", totalCoins);
for(i = 3; i >= 0; i--)
for(j = 0; j < coins[i]; j++)
{
if (--totalCoins > 0)
printf("%d ,", coinValues[i]);
else
printf("%d", coinValues[i]);
}
printf(")", coinValues[i]);
}

『叄』 100元換成10元5元1元紙幣，每種至少一張，一共多少換法

81種換法
一 ，每種至少一張，實際應為至少10元、5元各一張，1元的5張。共20元，剩下的80元可任意分配。
二，80元的零錢可以如下：
8張10元。1種
7張10元，5元的2、1、0張（差額為1元，下同）。3種
6張10元，5元的4、3、2、1、0張。5種
5張10元，5元的6、5、4、3、2、1、0張。7種
......
1張10元，5元的14、13.....6、5、4、3、2、1、0張。15種
0張10元，5元的16、15、14、13.....6、5、4、3、2、1、0張。17種
三，總的換法為
1+3+5+.....+15+17=81種
看到這個題目的第一感覺就是一個三元一次方程的求解，編程的話，就是三個for循環外加個if判斷，瞬間KO。對這個題目來說效率也是可以接受的。可是這根本沒有體現出演算法的優勢。下面我們來仔細推敲下這裡面隱藏的規律。 根據上圖的規律，即可得到如下代碼：

/**
* 1、求解特定實例：要將100元兌換為1元、5元、10元的零錢，請問有多少種兌換方法？
*
* @return
* @author chenchanghan
*/
public static int getDivideWays() {
int count = 0;
for (int i = 0， size = 100 / 10; i <= size; i++) {
// 針對10的每個場景，計算5的組合情況（即，從0個5 到 n（ n=(100 - i * 10)/5
// ）個5共n+1種情況
count += (100 - i * 10) / 5 + 1;
}
return count;
}

到這里，這個就算解完了，但是這里確實因為分解的元素中包含1，將問題變的簡單化了，如果不是1、5、10而是隨意的三個數字，改怎麼解決呢？同樣還是要找出規律來。

下面我們就來分析下10、5、3如何組合成100吧。

首先，0個10的情況下，5和3怎麼組合成100呢？正好20*5=100，顯然這是不存在10的情況下出現最多5的情況，那還有沒有其他的組合情況呢？這時我們就要用到一個最小公倍數（3和5的最小公倍數是15），很顯然，我們就可以將」3個5替換成5個3「了。因為最多20個5，所以我們可以繼續用」3個5替換成5個3「，直到最後剩下2個5。綜上0個10的情況下，5可以出現的次數分別為20、17、14、11、8、5、2，所以該場景下共有7中組合方式。

其次，1個10的情況下，5和3怎麼組合成100呢？我們還是從5來出發，5*18=90，1個10的情況下，組合成100，最多可以出現18次，同理還是用」3個5替換成5個3「。最終1個10的情況下，5可以出現的次數分別為18、15、12、9、6、3、0。該場景下也有7種組合方式。

同理，依次分析下去。

根據上面的規律，得出代碼如下：


/**
* 2、組合元素一般化：將total元兌換為large元、middle元、small元的零錢，請問有多少種兌換方法？
*
* @param total
* @param large
* @param middle
* @param small
* @return
* @author chenchanghan
*/
public static int getDivideWays(int total， int large， int middle， int small) {
if (total > 0 && small > 0 && middle > small && large > middle) {
int count = 0;
int LCM = getLeastCommonMutiple(middle， small);
int substituteUnit = LCM / middle;
for (int i = 0， size = total / large; i <= size; i++) {
int restTotal = total - i * large;
if (restTotal > 0) {
// actualMaxMiddleNum>=0，表示restTotal正好可以有x個middle和y個small拼湊起來（x、y是大於等於0的整數）
int actualMaxMiddleNum = getActualMaxMiddleNum(restTotal， middle， small);
if (actualMaxMiddleNum >= substituteUnit) {
// actualMaxMiddleNum >=substituteUnit，表示可以將substituteUnit個middle替換成LCM/small個small
// 可以換多少次呢？顯然可以換0、1...actualMaxMiddleNum/substituteUnit，即：actualMaxMiddleNum/substituteUnit+1
count += actualMaxMiddleNum / substituteUnit + 1;
} else if (actualMaxMiddleNum >= 0) {
// 0<=actualMaxMiddleNum// 因為count++;
}
} else {
// 正好被large完美匹配了
count++;
}
}
return count;
} else {
throw new IllegalArgumentException();
}
}

/**
* 獲得方程：x*middle + y*small = restTotal 中x最大的取值。
*
* @param restTotal
* @param middle
* @param small
* @return
* @author chenchanghan
*/
private static int getActualMaxMiddleNum(int restTotal， int middle， int small) {
int modMiddle = restTotal % middle;
int maxMiddleNum = restTotal / middle;
int actualMaxMiddleNum = -1;
if (modMiddle == 0 || modMiddle == small) {
actualMaxMiddleNum = maxMiddleNum;
} else {
// 無法使用最大數量（即：maxMiddleNum）的middle和small組合成restTotal，
// 則需要逐步減少middle的個數，進而增加small的個數，來嘗試組合成restTotal。
int minusMiddleNum = getMinusMiddleNum(middle， small， modMiddle， maxMiddleNum);
if (minusMiddleNum > 0) {
// 表示可以形成一個擁有最大middle數的組合，即： (maxMiddleNum - minusMiddleNum)*middle + y*small = restTotal ;
actualMaxMiddleNum = maxMiddleNum - minusMiddleNum;
} else {
// middle和small無論怎麼組合都無法拼湊成restTotal，即：x*middle + y*small = restTotal 的整數解不存在
actualMaxMiddleNum = -1;
}
}
return actualMaxMiddleNum;
}

/**
*
* @param middle
* @param small
* @param modMiddle
* @param maxMiddleNum
* @return
* @author chenchanghan
*/
private static int getMinusMiddleNum(int middle， int small， int modMiddle， int maxMiddleNum) {
int minusMiddleNum = -1;
for (int i = 1; i <= maxMiddleNum; i++) {
if ((middle * i + modMiddle) % small == 0) {
minusMiddleNum = i;
break;
}
}
return minusMiddleNum;
}

/**
* 求兩個數的最小公倍數。
*
* @param middle
* @param small
* @return
* @author chenchanghan
*/
private static int getLeastCommonMutiple(int m， int n) {
return m * n / getGreatestDivisor(m， n);
}

/**
* 求兩個數的最大公約數。
*
* @param m
* @param n
* @return
* @author chenchanghan
*/
private static int getGreatestDivisor(int m， int n) {
int tmp = 0;
if (m < n) {
tmp = m;
m = n;
n = tmp;
}
while ((tmp = m % n) != 0) {
m = n;
n = tmp;
}
return n;
}我們再來推廣下，將分解的元素變成3個以上，具體見如下代碼：

/**
* 3、元素個數一般化：將total元兌換為a元、b元、c元、....的零錢，請問有多少種兌換方法？
*
* @param total
* @param elements
* @return
* @author chenchanghan
*/
public static int getDivideWays(int total，int[] elements){
if(elements!=null && elements.length>=3){
int count = 0 ;
if(elements.length == 3){
count += getDivideWays(total，elements[0]，elements[1]，elements[2]);
}else{
int large = elements[0];
int[] subElements = new int[elements.length-1];
System.array(elements， 1， subElements， 0， subElements.length);
for (int i = 0， size = total / large; i <= size; i++) {
int restTotal = total - i * large;
if (restTotal != 0) {
count += getDivideWays(restTotal， subElements);
} else {
count++;
}
}
}
return count ;
}else{
throw new IllegalArgumentException();
}
}

『肆』 2014楂樿冩暟瀛﹂:鍗栭瀷鐨勶紝涓鍙岄瀷榪涗環30鍏冪敥鍗20鍏冿紝欏懼㈡潵涔伴瀷緇欎簡寮50錛岀帇甯堝倕娌￠浂閽憋紝浜庢槸鎵

浠庡瓧闈涓婄湅鍍忔槸浜忎簡90鍏冿紝鍏跺疄鏄閿欑殑錛岃鏂囧瓧娣鋒穯浜嗭紝姝ｇ『絳旀堟槸60鍏冦傚叾瀹為兘涓嶇敤鍘諱簤杈60銆90鍏冿紝浠婂ぉ鎴戝氨鎸夋爣鍑嗙殑浜ゆ槗嫻佺▼錛堜粠榪涜揣鍒版渶鍚庡埄娑︾泩浜忥級緇欏ぇ瀹惰︾粏瑙ｉ噴姝ｇ『鐨勭瓟妗堬紝鍥捐В濡備笅錛