糾錯演算法

Ⅰ FEC的前向糾錯

FEC：Forward Error Correction，前向糾錯。
是一種數據編碼技術，傳輸中檢錯由接收方進行驗證，在FEC方式中，接收端不但能發現差錯，而且能確定二進制碼元發生錯誤的位置，從而加以糾正。FEC方式必須使用糾錯碼。發現錯誤無須通知發送方重發。區別於ARQ方式。
在目前的數字通信系統中，前向糾錯技術FEC(Forward Error Correction)得到了廣泛的應用。這一技術的產生和發展源於通信系統本身的需求，在工程實踐中並不存在理想的數字信道，信號在各種媒體的傳輸過程中總會產生畸變和非等時時延，對數字信號來說就意味著產生誤碼和抖動，而抖動的最終效果也反映在系統的誤碼上。 FEC編解碼可以用硬體實現也可用軟體實現，採用FEC技術可較好地改善誤碼性能。
前向糾錯是指信號在被傳輸之前預先對其進行按一定的格式處理，在接收端則按規定的演算法進行解碼以達到找出錯碼並糾錯的目的。現代糾錯碼技術是由一些對通信系統感興趣的數學家們和對數學有著深厚功底的工程師們在近50多年中發展起來的。1948年，法國數學家香農（Shannon）發表了現代信息理論奠基性的文章《通信系統數學理論》。漢明（Hamming）於1949年提出了可糾正單個隨機差錯的漢明碼。普朗基（Prange）於1957年提出了循環碼的概念，隨後，Hoopueghem,Bose和Chaudhum於1960年發現了BCH碼，稍後，里得(Reed)和所羅門(Solomon)提出了ReedSolomon(RS)編碼，這實際上是一種改進了的BCH碼，現代通信採用的各種新技術，如MMDS多點對多點分配業務、LMDS本地多點分配業務、藍牙技術、高速DH等要求信道編碼糾錯能力更高效率、更高運算速度、更快，這就導致了各種動態編碼方案的出現並在工程中得到廣泛運用，時至今日，信息理論仍是當前最活躍的研究領域之一。

Ⅱ 糾錯編碼的分類

1．自動請求重發（ARQ）
採用這種方法時，當接收端檢測到所接收的信息有錯以後，通過反向信道向發送端要求重發原信息，直到接收端認可為止，從而達到糾正誤碼的目的。這種方法的優點是糾錯編解碼設備簡單，但需要具備反向信道，且實時性較差。
2．前向糾錯（FEC）
前向差錯控制編碼的基本做法是在發送端被傳輸的信息序列上附加一些監督碼元，這些多餘的監督碼元與信息碼元之間以某種確定的規則相互關聯(約束)。接收端按照既定的關聯規則檢驗信息碼元與監督碼元之間的關系，一旦傳輸過程中發生差錯，則信息碼元與監督碼元之間的關系將受到破壞，從而可以發現錯誤，乃至糾正錯誤。具體說就是接收端對接收到的碼字施加一定的演算法，從而發現誤碼並予以糾正。這種方式的優點是不需要反向信道，糾錯編解碼的實時性較好。缺點是糾錯編解碼較復雜，且糾錯能力有限。
3．混合糾錯（HEC）
該方式是前兩種方式的結合。接收端對所接收的碼流中少量的誤碼可通過前向糾錯方式進行自動糾正；而對超過前向糾正能力的誤碼，但能檢測出來，則接收端通過反向信道請求發端重發，以此對錯碼加以糾正。
以上三種差錯控制方式可以用圖1來概括。無論採用那種糾錯方法，都要在原信息中插入冗餘碼才能實現糾錯或檢錯。由於前向糾錯方法簡單，不需要反向信道，且能實時實現。因此在實時圖像通信系統中，多採用前向糾錯的方法來進行對圖像信號和系統控制信號的差錯控制。
4．BCH糾錯編碼
實測表明，對圖像信息進行了BCH(511，493)的糾錯處理，通過增加4%的冗餘度信息可以將信道誤碼率由10－6改善到10－9，從而確保了圖像信息的可靠傳輸。
糾錯碼的實現框圖如圖2所示，圖像數據首先被分成一個個的493比特的數據組，組與組之間空18比特，有待於插入校驗位。圖像數據組進入BCH糾錯編碼單元，按照上述的BCH(511，493)的演算法，算出18位校驗位。延時單元主要的目的就是補償BCH編碼所花費的時間，使得經編碼輸出的校驗位和相應的數據剛好對齊，然後將兩者復合起來形成一路經BCH糾錯編碼的圖像信號送至多路復用單元和音頻、數據信號進行多路復用。
圖1差錯控制方式
圖2糾錯編碼框圖
在接收端，解碼器對圖像進行BCH解碼。在解碼電路中，解碼器根據18位校驗信號對相應的493點陣圖像信號進行驗算，如果圖像數據中有一位隨機誤碼，則通過這樣的校驗可以將它們自動糾正。如果有2位，則可以將它檢測出來。
5．比特交織
在實際應用中，還可以將比特交織和前向糾錯相結合，以期進一步提高糾錯能力，如圖3所示。FEC和編碼交織在分組前完成，在接收端通過反交織可以使突發錯誤分散開來，這樣，具有糾隨機錯誤能力的糾錯碼能糾突發錯誤，這在無線或分組視頻通信中特別有效。
圖3FEC和比特交織

Ⅲ 糾錯碼的基本原理和性能參數

糾錯碼能夠檢錯或糾錯，主要是靠碼字之間有較大的差別。這可用碼字之間的漢明距離d(x，y)來衡量。它的定義為碼字x與y之間的對應位取不同值的碼元個數。一種糾錯碼的最小距離d定義為該種碼中任兩個碼字之間的距離的最小值。一種碼要能發現e個錯誤,它的最小距離d應不小於e+1。若要能糾正t個錯誤，則d應不小於2t+1。一個碼字中非零碼元的個數，稱為此碼字的漢明重量。一種碼中非零碼字的重量的最小值，稱為該碼的最小重量。對線性碼來說，一種碼的最小重量與其最小距離在數值上是相等的。
在構造線性碼時，數字上是從n維空間中選一k維子空間，且使此子空間內各非零碼字的重量盡可能大。當構造循環碼時,可進一步將每一碼字看成一多項式,將整個碼看成是多項式環中的理想,這一理想是主理想,故可由生成多項式決定；而多項式完全可由它的根規定。這樣,就容易對碼進行構造和分析。這是BCH碼等循環碼構造的出發點。一般地說，構造一種碼時，均設法將它與某種代數結構相聯系，以便對它進行描述，進而推導它的性質，估計它的性能和給出它的解碼方法。若一種碼的碼長為n，碼字數為M,或信息位為h,以及最小距離為d，則可把此碼記作【n,M,d】碼。若此碼為線性碼，常簡記作(n，k)或(n,k,d)碼。人們還常用R=log2M/n表示碼的信息率或簡稱碼率,單位為比特/碼元。R越大,則每個碼元所攜帶的信息量越大，編碼效率越高。 糾錯碼實現中最復雜的部分是解碼。它是糾錯碼能否應用的關鍵。根據式(1),採用的碼長n越大,則誤碼率越小。但n越大，編譯碼設備也越復雜,且延遲也越大。人們希望找到的解碼方法是:誤碼率隨碼長n的增加按指數規律下降;解碼的復雜程度隨碼長n的增加接近線性地增加；解碼的計算量則與碼長n基本無關。可惜，已經找到的碼能滿足這樣要求的很少。不過由於大規模集成電路的發展，即使應用比較復雜的但性能良好的碼，成本也並不太高。因此，糾錯碼的應用越來越廣泛。
糾錯碼傳輸的都是數字信號。這既可用硬體實現，也可用軟體實現。前者主要用各種數字電路，主要是採用大規模集成電路。軟體實現特別適合計算機通信網等場合。因為這時可以直接利用網中的計算機進行編碼和解碼，不需要另加專用設備。硬體實現的速度較高，比軟體可快幾個數量級。
在傳信率一定的情況下，如果採用糾錯碼提高可靠性，要求信道的傳輸率增加，帶寬加大。因此，糾錯碼主要用於功率受限制而帶寬較大的信道，如衛星、散射等系統中。糾錯碼還用在一些可靠性要求較高，但設備或器件的可靠性較差，而餘量較大的場合，如磁帶、磁碟和半導體存儲器等。
在分組碼的研究中，譜分析的方法受到人們的重視。糾同步錯誤碼、算術碼、不對稱碼、不等錯誤糾正碼等，也得到較多的研究。 分組碼是對信源待發的信息序列進行分組（每組K位）編碼，它的校驗位僅同本組的信息位有關。自20世紀50年代分組碼的理論獲得發展以來，分組碼在數字通信和數據存儲系統中已被廣泛應用。
分組碼的碼長n和碼字個數M是一個碼的主要構造參數。碼長為n的碼中所有碼字的位數均為n；若要用一個碼傳送k比特信息，則碼字的個數M必須滿足。典型的分組碼是由k位信息位和r位監督位組成的，這樣構成的碼一般稱為系統碼。
分組碼中應用最廣的線性分組碼。線性分組碼中的M個碼字之間具有一定線性約束關系，即這些碼字總體構成了n維線性空間的一個k維子空間。稱此k維子空間為（n，k）線性分組碼。線性系統碼的特點是每個碼字的前k位均由這個碼字所對應的信息位組成，並通過對這k位信息位的線性運算得到後面n—k是位監督位。
線性分組碼中應用最廣的是循環碼，循環碼的主要特徵是任何碼字在循環移位後個碼字。循環碼的優點在於其編碼和解碼手續比一般線性碼簡單，因而易於在設備上實現。在循環碼中，碼字可表示為多項式。循環碼的碼字多項式都可表示成為循環碼的生成多項式與這個碼字所代表的信息多項式的乘積，即，因此一個循環碼可以通過給出其生成多項式來規定。常用的循環碼有BCH碼和RS碼。
網格碼有多種描述方法，網格圖是常用方法之一，它能表示出編碼過程。一個碼率為1/2、包含四種狀態的網格碼的網格圖如圖所示。圖1中00，01，10，11表示編碼器所具有的四種狀態，以「·」示出，從每一狀態出發都存在兩條支路，位於上面的一條支路對應於編碼器輸入為「0」的情況，位於下面的一條支路對應於編碼器輸入為「1」的情況，而每一支路上所列出的兩個二進位碼則表示相應的編碼輸出。因而可知，編碼輸出不僅決定於編碼器的當前輸入，還決定於編碼器的狀態，例如在圖中從「00」狀態出發；，若輸入的二進制數據序列為1011，則編碼器的狀態轉移過程為00→01→10→01→11，而相應的編碼輸出序列為11010010。在網格圖中任意兩條從同一狀態出發；，經不同的狀態轉移過程後又歸於另一相同狀態（該狀態也可與初始狀態相同）的路徑間的距離的最小值稱為碼的自由距離。如該圖中的為5。對於卷積碼來說，的計算可簡化為始於且終於零狀態的非全零路徑與全零路徑間距離的最小值。是表徵網格碼糾錯能力的重要參數。維特比演算法是廣泛採用的網格碼的解碼方法。由於網格碼的狀態越多，解碼越復雜，所以狀態個數是度量網格碼解碼復雜性的重要參數。一般說來可以通過增大解碼復雜性來增加，從而提高碼的糾錯能力。
BCH碼、網格碼已被廣泛地應用於移動通信、衛星通信和頻帶數據傳輸中。RS碼也被廣泛應用於光碟的存儲中。
大多數糾錯碼是設計來糾隨機誤碼的，可以通過交織的方法使它適用於對突發誤碼的糾錯。交織是一種使得集中出現的突發誤碼在解碼時進行分散化的措施，從而使其不超出糾錯碼的糾錯能力范圍。 卷積碼不對信息序列進行分組編碼，它的校驗元不僅與當前的信息元有關，而且同以前有限時間段上的信息元有關。卷積碼在編碼方法上尚未找到像分組碼那樣有效的數學工具和系統的理論。但在解碼方面，不論在理論上還是實用上都超過了分組碼，因而在差錯控制和數據壓縮系統中得到廣泛應用。