排序演算法復雜度分析

⑴ 快速排序的演算法復雜度分析

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快速排序的演算法復雜度分析
以下是快排的java演算法：

大家都知道快排的時間復雜度是O(n*ln[n])，那麼這個復雜度是如何計算出來的呢？

最好的情況下，每次劃分對一個記錄定位後，要記錄的左側子序列與右側子序列的長度相同。在具有n個記錄的序列中，一次劃分需要對整個待劃分序列掃描一遍，所需的時間為O(n)。

設 是對n個記錄的序列進行排序的時間，每次劃分後，正好把劃分區域分為長度相等的連個子序列，顯然T(0)=T(1) =1,則有：

最壞的情況下，待排序的記錄序列正序或逆序，每次劃分只能得到一個比上一次劃分少一個記錄的子序列，（另一個子序列為空）。此時，必須經過n-1次遞歸調用才能把所有記錄定位，而且第i趟劃分需要經過n-i次比較才能找個才能找到第i個記錄的位置，因此時間復雜度為

平均情況下，設軸值記錄的關鍵碼第k小（1≤k≤n）,則有：

由上式可推出如下兩式：

兩式相減,然後兩邊同除以n(n+1)得

又因為f(n)單調遞減，單調有界數列極限定理，所以f(n)有界

此數稱為歐拉常數，

約為 0.57721566490153286060651209

所以

所以

**如果有何處不當，請不吝賜教，一定多加完善。謝謝 **

參考資料：

【1】《演算法設計與分析》第二版 王紅梅

⑵ 快速排序演算法在平均情況下的時間復雜度為 求詳解

時間復雜度為O(nlogn) n為元素個數
1. 快速排序的三個步驟：
1.1. 找到序列中用於劃分序列的元素
1.2. 用元素劃分序列
1.3. 對劃分後的兩個序列重復1,2兩個步驟指導序列無法再劃分
所以對於n個元素其排序時間為
T(n) = 2*T(n/2) + n （表示將長度為n的序列劃分為兩個子序列，每個子序列需要T(n/2)
的時間，而劃分序列需要n的時間）
而 T(1) = 1 （表示長度為1的序列無法劃分子序列，只需要1的時間即可）
T(n) = 2^logn + logn * n （n被不斷二分最終只能二分logn次（最優的情況,每次選取
的元素都均分序列））
= n + nlogn
因此T(n) = O(nlogn)
以上是最優情況的推導，因此快速排序在最優情況下其排序時間為O(nlogn),通常平均情況
我們也認為是此值。
在最壞情況下其會退化為冒泡排序，T(n) = T(n - 1) + n (每次選取的元素只能將序列劃分為
一段，即自身是 最小元素或最大元素)
因此T(n) = n * (n-1) / 2 相當於O(n^2)

⑶ 排序演算法的時間復雜度

所謂排序，就是使一串記錄，按照其中的某個或某些關鍵字的大小，遞增或遞減的排列起來的操作。排序演算法，就是如何使得記錄按照要求排列的方法。排序演算法在很多領域得到相當地重視，尤其是在大量數據的處理方面。

一個優秀的演算法可以節省大量的資源。在各個領域中考慮到數據的各種限制和規范，要得到一個符合實際的優秀演算法，得經過大量的推理和分析。

空間復雜度(Space Complexity)是對一個演算法在運行過程中臨時佔用存儲空間大小的量度，記做S(n)=O(f(n))。比如直接插入排序的時間復雜度是O(n^2),空間復雜度是O(1) 。

而一般的遞歸演算法就要有O(n)的空間復雜度了，因為每次遞歸都要存儲返回信息。一個演算法的優劣主要從演算法的執行時間和所需要佔用的存儲空間兩個方面衡量。

(3)排序演算法復雜度分析擴展閱讀：

排序演算法經過了很長時間的演變，產生了很多種不同的方法。對於初學者來說，對它們進行整理便於理解記憶顯得很重要。每種演算法都有它特定的使用場合，很難通用。因此，我們很有必要對所有常見的排序演算法進行歸納。

排序大的分類可以分為兩種：內排序和外排序。在排序過程中，全部記錄存放在內存，則稱為內排序，如果排序過程中需要使用外存，則稱為外排序。下面講的排序都是屬於內排序。

內排序有可以分為以下幾類：

(1)、插入排序：直接插入排序、二分法插入排序、希爾排序。

(2)、選擇排序：直接選擇排序、堆排序。

(3)、交換排序：冒泡排序、快速排序。

(4)、歸並排序

(5)、基數排序

⑷ 「二分法插入排序」、「快速排序」、「歸並排序」和「堆排序」的時間復雜度分別是多少

排序演算法
所謂排序，就是使一串記錄，按照其中的某個或某些關鍵字的大小，遞增或遞減的排列起來的操作。 分類 在計算機科學所使用的排序演算法通常被分類為： 計算的復雜度（最差、平均、和最好表現），依據串列（list）的大小（n）。一般而言，好的表現是O。(n log n)，且壞的行為是Ω(n2)。對於一個排序理想的表現是O(n)。僅使用一個抽象關鍵比較運算的排序演算法總平均上總是至少需要Ω(n log n)。 記憶體使用量（以及其他電腦資源的使用）
穩定度：穩定排序演算法會依照相等的關鍵（換言之就是值）維持紀錄的相對次序。也就是一個排序演算法是穩定的，就是當有兩個有相等關鍵的紀錄R和S，且在原本的串列中R出現在S之前，在排序過的串列中R也將會是在S之前。 一般的方法：插入、交換、選擇、合並等等。交換排序包含冒泡排序（bubble sort）和快速排序（quicksort）。選擇排序包含shaker排序和堆排序（heapsort）。 當相等的元素是無法分辨的，比如像是整數，穩定度並不是一個問題。然而，假設以下的數對將要以他們的第一個數字來排序。 (4, 1) (3, 1) (3, 7) (5, 6) 在這個狀況下，有可能產生兩種不同的結果，一個是依照相等的鍵值維持相對的次序，而另外一個則沒有： (3, 1) (3, 7) (4, 1) (5, 6) (維持次序) (3, 7) (3, 1) (4, 1) (5, 6) (次序被改變)
不穩定排序演算法可能會在相等的鍵值中改變紀錄的相對次序，但是穩定排序演算法從來不會如此。不穩定排序演算法可以被特別地時作為穩定。作這件事情的一個方式是人工擴充鍵值的比較，如此在其他方面相同鍵值的兩個物件間之比較，就會被決定使用在原先資料次序中的條目，當作一個同分決賽。然而，要記住這種次序通常牽涉到額外的空間負擔。 排列演算法列表 在這個表格中，n是要被排序的紀錄數量以及k是不同鍵值的數量。
穩定的
冒泡排序（bubble sort） — O(n2)
雞尾酒排序 (Cocktail sort, 雙向的冒泡排序) — O(n2)
插入排序 （insertion sort）— O(n2)
桶排序 （bucket sort）— O(n);
需要 O(k) 額外 記憶體
計數排序 (counting sort) — O(n+k); 需要 O(n+k) 額外 記憶體
歸並排序 （merge sort）— O(n log n); 需要 O(n) 額外記憶體
原地歸並排序 — O(n2) 二叉樹排序 （Binary tree sort） — O(n log n); 需要 O(n) 額外記憶體
鴿巢排序 (Pigeonhole sort) — O(n+k); 需要 O(k) 額外記憶體
基數排序 （radix sort）— O(n·k); 需要 O(n) 額外記憶體
Gnome sort — O(n2) Library sort — O(n log n) with high probability, 需要 (1+ε)n 額外記憶體
不穩定
選擇排序 （selection sort）— O(n2)
希爾排序 （shell sort）— O(n log n)
如果使用最佳的現在版本 Comb sort — O(n log n)
堆排序 （heapsort）— O(n log n) Smoothsort — O(n log n)
快速排序 （quicksort）— O(n log n)
期望時間, O(n2) 最壞情況; 對於大的、亂數串列一般相信是最快的已知排序 Introsort — O(n log n) Patience sorting — O(n log n + k) 最外情況時間, 需要 額外的 O(n + k) 空間, 也需要找到最長的遞增子序列（longest increasing subsequence） 不實用的排序演算法 Bogo排序 — O(n × n!) 期望時間, 無窮的最壞情況。 Stupid sort — O(n3); 遞回版本需要 O(n2) 額外記憶體 Bead sort — O(n) or O(√n), 但需要特別的硬體 Pancake sorting — O(n), 但需要特別的硬體 排序的演算法 排序的演算法有很多，對空間的要求及其時間效率也不盡相同。下面列出了一些常見的排序演算法。這裡面插入排序和冒泡排序又被稱作簡單排序，他們對空間的要求不高，但是時間效率卻不穩定；而後面三種排序相對於簡單排序對空間的要求稍高一點，但時間效率卻能穩定在很高的水平。基數排序是針對關鍵字在一個較小范圍內的排序演算法。 插入排序 冒泡排序 選擇排序 快速排序 堆排序 歸並排序 基數排序 希爾排序 插入排序 插入排序是這樣實現的： 首先新建一個空列表，用於保存已排序的有序數列（我們稱之為"有序列表"）。 從原數列中取出一個數，將其插入"有序列表"中，使其仍舊保持有序狀態。 重復2號步驟，直至原數列為空。 插入排序的平均時間復雜度為平方級的，效率不高，但是容易實現。它藉助了"逐步擴大成果"的思想，使有序列表的長度逐漸增加，直至其長度等於原列表的長度。 冒泡排序 冒泡排序是這樣實現的： 首先將所有待排序的數字放入工作列表中。 從列表的第一個數字到倒數第二個數字，逐個檢查：若某一位上的數字大於他的下一位，則將它與它的下一位交換。 重復2號步驟，直至再也不能交換。 冒泡排序的平均時間復雜度與插入排序相同，也是平方級的，但也是非常容易實現的演算法。 選擇排序 選擇排序是這樣實現的： 設數組內存放了n個待排數字，數組下標從1開始，到n結束。 i=1 從數組的第i個元素開始到第n個元素，尋找最小的元素。 將上一步找到的最小元素和第i位元素交換。 如果i=n－1演算法結束，否則回到第3步 選擇排序的平均時間復雜度也是O(n²)的。 快速排序 現在開始，我們要接觸高效排序演算法了。實踐證明，快速排序是所有排序演算法中最高效的一種。它採用了分治的思想：先保證列表的前半部分都小於後半部分，然後分別對前半部分和後半部分排序，這樣整個列表就有序了。這是一種先進的思想，也是它高效的原因。因為在排序演算法中，演算法的高效與否與列表中數字間的比較次數有直接的關系，而"保證列表的前半部分都小於後半部分"就使得前半部分的任何一個數從此以後都不再跟後半部分的數進行比較了，大大減少了數字間不必要的比較。但查找數據得另當別論了。 堆排序 堆排序與前面的演算法都不同，它是這樣的： 首先新建一個空列表，作用與插入排序中的"有序列表"相同。 找到數列中最大的數字，將其加在"有序列表"的末尾，並將其從原數列中刪除。 重復2號步驟，直至原數列為空。 堆排序的平均時間復雜度為nlogn,效率高（因為有堆這種數據結構以及它奇妙的特徵，使得"找到數列中最大的數字"這樣的操作只需要O(1)的時間復雜度，維護需要logn的時間復雜度），但是實現相對復雜（可以說是這里7種演算法中比較難實現的）。 看起來似乎堆排序與插入排序有些相像，但他們其實是本質不同的演算法。至少，他們的時間復雜度差了一個數量級，一個是平方級的，一個是對數級的。 平均時間復雜度 插入排序 O(n2) 冒泡排序 O(n2) 選擇排序 O(n2) 快速排序 O(n log n) 堆排序 O(n log n) 歸並排序 O(n log n) 基數排序 O(n) 希爾排序 O(n1.25)