數列運演算法則

❶ 數列極限的四則運演算法則

數列極限的四則運演算法則如下：

當數列{an}，{bn}分別以a，b為極限時，數列{an±bn}的極限是a±b，數列{anbn}的極限是ab；當bbn不等於0時，{an/bn}的極限是a/b；當函數f，g分別以a，b為極限時，函數f±b的極限是a±b，函數fg的極限是ab；當bg不等於0時，{f/g}的極限是a/b。

數列極限的四則運演算法則證明方法如下：

定理：設{an}與{bn}為收斂數列，則

（1）lim(n->∞)(an±bn)=lim(n->∞)an±lim(n->∞)bn;

（2）lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

若bn≠0且lim(n->∞)bn≠0，則lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

證：設lim(n->∞)an=a，lim(n->∞)bn=b，則ε>0，正整數N，

使當n>N時，有|an-a|<ε; |bn-b|<ε.

（1）則|(an+bn)-(a+b)|≤|an-a|+|bn-b|<2ε.

所以lim(n->∞)(an+bn)=lim(n->∞)an+lim(n->∞)bn;

∵an-bn=an+(-bn)，

所以lim(n->∞)(an-bn)=a-b=lim(n->∞)an-lim(n->∞)bn.

（2）由有界性定理，存在正數M，對一切n有|bn|<M.

∴|an·bn-ab|=|bn(an-a)+a(bn-b)|≤|bn||an-a|+|a||bn-b|<(|bn|+|a|)ε<(M+|a|)ε.

∴lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

∵an/bn=an·1/bn，所以lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

❷ 極限的四則運演算法則

不成立。

只要舉反例就可以說明：

1、若 f(x) = 2 - x, g(x) = 3 + x, 當x→∞時，極限均不存在。
可是 lim [f(x) + g(x)] 的極限卻是存在的。
所以，在沒有條件時，lim [f(x) + g(x)] ≠ lim f(x) + lim g(x)

2、若 f(x) = 2/x², g(x) = 3x,
當x→∞，f(x)→0；g(x) →∞；
可是 lim [f(x) g(x)] 的極限卻是存在的：
lim f(x) g(x) = 0
x→∞
所以，在沒有條件時，lim [f(x)×g(x)] ≠ lim f(x) × lim g(x)