矩陣的冪運演算法則
Ⅰ 矩陣的冪運演算法則是什麼
把矩陣對角化後，n次方的矩陣就是裡面每個元素的n次方
設一線性變換a，在基m下的矩陣為A，在基n下的矩陣為B，m到n的過渡矩陣為X，
那麼可以證明：B=X⁻¹AX
那麼定義：A，B是2個矩陣。如果存在可逆矩陣X，滿足B=X⁻¹AX ，那麼說A與B是相似的(是一種等價關系)。
如果存在可逆矩陣X使A與一個對角矩陣B相似，那麼說A可對角化。
相應的，如果線性變換a在基m下的矩陣為A，並且A相似於對角矩陣B，那麼令X為過渡矩陣即可求出基n，並且在n下線性變換a的矩陣為對角矩陣，從而達到了化簡。
由 m × n 個數aij排成的m行n列的數表稱為m行n列的矩陣，簡稱m × n矩陣。記作：
這m×n 個數稱為矩陣A的元素，簡稱為元，數aij位於矩陣A的第i行第j列，稱為矩陣A的(i,j)元，以數 aij為(i,j)元的矩陣可記為(aij)或(aij)m × n，m×n矩陣A也記作Amn。
元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是復數的矩陣稱為復矩陣。而行數與列數都等於n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣。
求相似對角化的矩陣Q的具體步驟為：
求|λE-A|=0 (其中E為單位陣)的解，得λ1和λ2（不管是否重根），這就是Λ矩陣的對角元素。
依次把λ1和λ2帶入方程（如果λ是重根只需代一次，就可求得兩個基礎解）[λE-A][x]=[0]，求得兩個解向量[x1]、[x2]，從而矩陣Q的形式就是[x1 x2]。
接下來的求逆運算是一種基礎運算，這里不再贅述。
Ⅱ 矩陣的冪怎麼算
有下面三種情況：
1、如果你所要求的是一般矩陣的高次冪的話，是沒有捷徑可走的，只能夠一個個去乘出來。
至於低次冪，如果能夠相似對角化，即：存在簡便演算法的話，在二階矩陣的情況下簡便演算法未必有直接乘來得快，所以推薦直接乘。
2、如果你要求的是能夠相似對角化的矩陣的高次冪的話，是存在簡便演算法的。
設要求矩陣A的n次冪，且A=Q^(-1)*Λ*Q，其中Q為可逆陣，Λ為對角陣。
即：A可以相似對角化。那麼此時，有求冪公式：A^n=Q^(-1)*(Λ)^n*Q，而對角陣求n次方，只需要每個對角元素變為n次方即可，這樣就可以快速求出二階矩陣A的的高次冪。
3、如果矩陣可以相似對角化，求相似對角化的矩陣Q的具體步驟為：
求|λE-A|=0 (其中E為單位陣)的解，得λ1和λ2（不管是否重根），這就是Λ矩陣的對角元素。
依次把λ1和λ2帶入方程（如果λ是重根只需代一次，就可求得兩個基礎解）[λE-A][x]=[0]，求得兩個解向量[x1]、[x2]，從而矩陣Q的形式就是[x1 x2]。
接下來的求逆運算是一種基礎運算，這里不再贅述。
下面可以舉一個例子：
二階方陣：
1 a
0 1
求它的n次方矩陣
方陣A的k次冪定義為 k 個A連乘: A^k = AA...A (k個)
一些常用的性質有：
1. (A^m)^n = A^mn
2. A^mA^n = A^(m+n)
一般計算的方法有：
1. 計算A^2,A^3 找規律, 然後用歸納法證明
2. 若r(A)=1, 則A=αβ^T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A
注: β^Tα =α^Tβ = tr(αβ^T)
3. 分拆法: A=B+C, BC=CB, 用二項式公式展開
適用於 B^n 易計算, C的低次冪為零矩陣: C^2 或 C^3 = 0.
4. 用對角化 A=P^-1diagP
A^n = P^-1diag^nP
(2)矩陣的冪運演算法則擴展閱讀：
冪等矩陣的主要性質：
1.冪等矩陣的特徵值只可能是0，1；
2.冪等矩陣可對角化；
3.冪等矩陣的跡等於冪等矩陣的秩，即tr(A)=rank(A)；
4.可逆的冪等矩陣為E；
5.方陣零矩陣和單位矩陣都是冪等矩陣；
6.冪等矩陣A滿足：A(E-A)=(E-A)A=0；
7.冪等矩陣A：Ax=x的充要條件是x∈R(A)；
8.A的核N(A)等於(E-A)的列空間R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考慮冪等矩陣運算後仍為冪等矩陣的要求，可以給出冪等矩陣的運算：
1）設 A1，A2都是冪等矩陣，則(A1+A2) 為冪等矩陣的充分必要條件為：A1·A2 =A2·A1=0，且有：R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2)；N(A1+A2) =N(A1)∩N(A2)；
2）設 A1， A2都是冪等矩陣，則(A1-A2) 為冪等矩陣的充分必要條件為：A1·A2=A2·A1=A2，且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2)；N (A1- A2) =N (A1)⊕R (A2)；
3）設 A1，A2都是冪等矩陣，若A1·A2=A2·A1，則A1·A2為冪等矩陣，且有：R (A1·A2) =R(A1) ∩R (A2)；N (A1·A2) =N (A1) +N (A2)。