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數列的運演算法則

發布時間: 2023-09-12 00:49:18

⑴ 數列極限的四則運演算法

數列極限的四則運演算法則如下:

當數列{an},{bn}分別以a,b為極限時,數列{an±bn}的極限是a±b,數列{anbn}的極限是ab;當bbn不等於0時,{an/bn}的極限是a/b;當函數f,g分別以a,b為極限時,函數f±b的極限是a±b,函數fg的極限是ab;當bg不等於0時,{f/g}的極限是a/b。

數列極限的四則運演算法則證明方法如下:

定理:設{an}與{bn}為收斂數列,則

(1)lim(n->∞)(an±bn)=lim(n->∞)an±lim(n->∞)bn;

(2)lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

若bn≠0且lim(n->∞)bn≠0,則lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

證:設lim(n->∞)an=a,lim(n->∞)bn=b,則ε>0,正整數N,

使當n>N時,有|an-a|<ε; |bn-b|<ε.

(1)則|(an+bn)-(a+b)|≤|an-a|+|bn-b|<2ε.

所以lim(n->∞)(an+bn)=lim(n->∞)an+lim(n->∞)bn;

∵an-bn=an+(-bn),

所以lim(n->∞)(an-bn)=a-b=lim(n->∞)an-lim(n->∞)bn.

(2)由有界性定理,存在正數M,對一切n有|bn|<M.

∴|an·bn-ab|=|bn(an-a)+a(bn-b)|≤|bn||an-a|+|a||bn-b|<(|bn|+|a|)ε<(M+|a|)ε.

∴lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

∵an/bn=an·1/bn,所以lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

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