共軛梯度演算法

① 共軛梯度法是什麼

共軛梯度法（Conjugate Gradient）是介於最速下降法與牛頓法之間的一個方法，它僅需利用一階導數信息。

但克服了最速下降法收斂慢的缺點，又避免了牛頓法需要存儲和計算Hesse矩陣並求逆的缺點，共軛梯度法不僅是解決大型線性方程組最有用的方法之一，也是解大型非線性最優化最有效的演算法之一。

在各種優化演算法中：

共軛梯度法是非常重要的一種。其優點是所需存儲量小，具有步收斂性，穩定性高，而且不需要任何外來參數。

共軛梯度法是一個典型的共軛方向法，它的每一個搜索方向是互相共軛的，而這些搜索方向d僅僅是負梯度方向與上一次迭代的搜索方向的組合，因此，存儲量少，計算方便。

② 什麼是共軛梯度法

共軛梯度法，又稱共軛斜量法。。。
幾句話說不清楚，建議參考下數值代數。

③ 共軛梯度法的介紹

共軛梯度法（Conjugate Gradient）是介於最速下降法與牛頓法之間的一個方法，它僅需利用一階導數信息，但克服了最速下降法收斂慢的缺點，又避免了牛頓法需要存儲和計算Hesse矩陣並求逆的缺點，共軛梯度法不僅是解決大型線性方程組最有用的方法之一，也是解大型非線性最優化最有效的演算法之一。 在各種優化演算法中，共軛梯度法是非常重要的一種。其優點是所需存儲量小，具有步收斂性，穩定性高，而且不需要任何外來參數。

④ 什麼是共軛梯度法

共軛梯度法是介於最速下降法與牛頓法之間的一個方法，它僅需利用一階導數信息，但克服了最速下降法收斂慢的缺點，又避免了牛頓法需要存儲和計算Hesse矩陣並求逆的缺點，共軛梯度法不僅是解決大型線性方程組最有用的方法之一，也是解大型非線性最優化最有效的演算法之一。 共軛梯度法最早是又Hestenes和Stiefle（1952）提出來的，用於解正定系數矩陣的線性方程組，在這個基礎上，Fletcher和Reeves（1964）首先提出了解非線性最優化問題的共軛梯度法。由於共軛梯度法不需要矩陣存儲，且有較快的收斂速度和二次終止性等優點，現在共軛梯度法已經廣泛地應用與實際問題中。 共軛梯度法是一個典型的共軛方向法，它的每一個搜索方向是互相共軛的，而這些搜索方向d僅僅是負梯度方向與上一次迭代的搜索方向的組合，因此，存儲量少，計算方便

⑤ 如何更好的理解共軛梯度方法

共軛梯度法是介於最速下降法與牛頓法之間的一個方法，它僅需利用一階導數信息，但克服了最速下降法收斂慢的缺點，又避免了牛頓法需要存儲和計算Hesse矩陣並求逆的缺點，共軛梯度法不僅是解決大型線性方程組最有用的方法之一，也是解大型非線性最優化最有效的演算法之一。 在各種優化演算法中，共軛梯度法是非常重要的一種。其優點是所需存儲量小，具有步收斂性，穩定性高，而且不需要任何外來參數。

⑥ 共軛梯度法 公式問題

共軛梯度法是介於最速下降法與牛頓法之間的一個方法，它僅需利用一階導數信息，但克服了最速下降法收斂慢的缺點，又避免了牛頓法需要存儲和計算Hesse矩陣並求逆的缺點，共軛梯度法不僅是解決大型線性方程組最有用的方法之一，也是解大型非線性最優化最有效的演算法之一。 共軛梯度法最早是又Hestenes和Stiefle（1952）提出來的，用於解正定系數矩陣的線性方程組，在這個基礎上，Fletcher和Reeves（1964）首先提出了解非線性最優化問題的共軛梯度法。由於共軛梯度法不需要矩陣存儲，且有較快的收斂速度和二次終止性等優點，現在共軛梯度法已經廣泛地應用與實際問題中。 共軛梯度法是一個典型的共軛方向法，它的每一個搜索方向是互相共軛的，而這些搜索方向d僅僅是負梯度方向與上一次迭代的搜索方向的組合，因此，存儲量少，計算方便

⑦ 牛頓法，擬牛頓法，共軛梯度法各自的優缺點是什麼

牛頓法需要函數的一階、二階導數信息，也就是說涉及到Hesse矩陣，包含矩陣求逆運算，雖然收斂速度快但是運算量大。擬牛頓法採用了一定的方法來構造與Hesse矩陣相似的正定矩陣，而這個構造方法計算量比牛頓法要小；共軛梯度法的基本思想是把共軛性與最速下降方法相結合，利用已知點處的梯度構造一組共軛方向，並沿這組方向進行搜素，求出目標函數的極小點。根據共軛方向基本性質，這種方法運算量不太大收斂速度也不慢。

⑧ 梯度下降法和共軛梯度法有何異同

兩者的區別：

梯度下降法是沿著梯度的負方向最小化目標函數；共軛方向法是把x表示成相對於系數矩陣A共軛的一組基向量的線性組合，然後每次沿著共軛方向一維最小化目標函數。

梯度下降法就是常說的最速下降法，考慮一個n維空間，我任意選取一個初始點，然後每次迭代的時候都以該點的負梯度方向（如果目標函數求最小值）進行精確一維搜索，正因為是精確搜索，所以相鄰的迭代方向正交的，所以會出現「鋸齒」現象，可能剛開始下降很多，但到後面越來越慢，收斂速度很慢。

而共軛梯度法是共軛方向法的一種，它在最速下降法的基礎上對它進行了改良，初始點的下降方向仍是負梯度方向，但後面的迭代方向不再是該點的負梯度方向了，後面的迭代方向是該點的負梯度方向和前一次迭代方向形成的凸錐中的一個方向，這樣有效地避免了「鋸齒」現象。

總結如下：

共軛梯度法在空間尋找一組basis，然後把優化問題完全分解成n個等價的子問題（expanded subplane minimizer），用n個局部最優可以合成一個全局最優。

⑨ 共軛梯度法與變尺度法的優缺點比較，相比而言，都有什麼優點和缺點

共軛梯度法：
計算簡單，收斂速度快；收斂速度比最速下降法大為加快，而計算又比牛頓法大為簡化；

變尺度法：
收斂快，效果好，被認為是目前最有效的無約束優化方法。適用於維數較高，具有一階偏導數的目標函數。

針對梯度法收斂速度慢，提出收斂速度更快的共軛梯度法；針對牛頓法的缺點提出了變尺度法。