楊輝三角演算法
『壹』 求楊輝三角的通項公式
第n行m列元素通項公式為：
C(n-1,m-1)=(n-1)!/[(m-1)!(n-m)!]
(其中!表示階乘，n！=n*(n-1)*...*2*1)
楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章演算法》一書中出現。在歐洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年發現這一規律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形。
(1)楊輝三角演算法擴展閱讀：
楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年發現這一規律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。
楊輝三角是中國古代數學的傑出研究成果之一，它把二項式系數圖形化，把組合數內在的一些代數性質直觀地從圖形中體現出來，是一種離散型的數與形的結合 。
概述：
前提：每行端點與結尾的數為1。
1、每個數等於它上方兩數之和。
2、每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大。
3、第n行的數字有n項。
4、第n行數字和為2n-1。
5、第n行的m個數可表示為 C(n-1，m-1)，即為從n-1個不同元素中取m-1個元素的組合數。
6、第n行的第m個數和第n-m+1個數相等 ，為組合數性質之一。
7、每個數字等於上一行的左右兩個數字之和。可用此性質寫出整個楊輝三角。即第n+1行的第i個數等於第n行的第i-1個數和第i個數之和，這也是組合數的性質之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
8、(a+b)n的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第(n+1)行中的每一項。
9、將第2n+1行第1個數，跟第2n+2行第3個數、第2n+3行第5個數……連成一線，這些數的和是第4n+1個斐波那契數；將第2n行第2個數(n>1)，跟第2n-1行第4個數、第2n-2行第6個數……這些數之和是第4n-2個斐波那契數。
10、將各行數字相排列，可得11的n-1（n為行數）次方：1=11^0;
11=11^1;
121=11^2……當n>5時會不符合這一條性質，此時應把第n行的最右面的數字"1"放在個位，然後把左面的一個數字的個位對齊到十位...
...，以此類推，把空位用「0」補齊，然後把所有的數加起來，得到的數正好是11的n-1次方。
以n=11為例，第十一行的數為：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，結果為
25937424601=1110。
『貳』 楊輝三角的公式及原理是什麼
楊輝三角形同時對應於二項式定理的系數。n次的二項式系數對應楊輝三角形的n + 1行。例如在中，2次的二項式正好對應楊輝三角形第3行系數1 2 1。
楊輝三角以正整數構成，數字左右對稱，每行由1開始逐漸變大，然後變小，回到1。第n行的數字個數為n個。第n行的第k個數字為組合數。
楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年發現這一規律的。
比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。楊輝三角是中國古代數學的傑出研究成果之一，它把二項式系數圖形化，把組合數內在的一些代數性質直觀地從圖形中體現出來，是一種離散型的數與形的結合。
(2)楊輝三角演算法擴展閱讀：
降冪公式：
1、sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
2、2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
3、tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
推導公式：
1、1tanα+cotα=2/sin2α
2、tanα-cotα=-2cot2α
3、1+cos2α=2cos^2α
4、、4-cos2α=2sin^2α
5、1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
兩角和差：
1、1cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
2、cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
3、sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
4、4tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
5、tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
『叄』 三角形數陣（楊輝三角）公式
1
121
1331
14641
151051
從第二行開始，每行加一列，除了首尾的，每列是上兩列的和。
『肆』 楊輝三角
共有n+1項
系數和為2的N次方
『伍』 楊輝三角的規律以及推導公式是什麼
楊輝三角的規律以及推導公式是：
1、每個數等於它上方兩數之和。
2、每行數字左右對稱，由 1 開始逐漸變大。
3、第n 行的數字有n+1 項。
4、第n 行數字和為2(n-1) （2 的(n-1) 次方）。
5 (a+b) n 的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第(n+1) 行中的每一項。
6、第n 行的第m個數和第n-m 個數相等，即C(n,m)=C(n,n-m) 。
數在楊輝三角中的出現次數
由1開始，正整數在楊輝三角形出現的次數為∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4。
除了1之外，所有正整數都出現有限次，只有2出現剛好一次，6,20,70等出現三次；出現兩次和四次的數很多，還未能找到出現剛好五次的數。120,210,1540等出現剛好六次。
『陸』 楊輝三角的規律以及推導公式是什麼
1 二項式定理與楊輝三角
與楊輝三角聯系最緊密的是二項式乘方展開式的系數規律，即二項式定理。
楊輝三角我們首先從一個二次多項式 (a+b) 2 的展開式來探討。
由上式得出： (a+b) 2 2+2ab+b 2 ＝a
此代數式的系數為： 1 2 1
則(a+b) 3 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的展開式是什麼呢？答案為： a
由此可發現， 此代數式的系數為： 1 3 3 1
但 4
似乎沒有什麼規律，所以讓我們再來看看 (a+b)
的展開式。
展開式為： a 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4
由此又可發現，代數式的系數為： 1 4 6 4 1 似乎發現了一些規律，就可以發現以下呈三角形的數列：
1 (11 0)
1 1 (11 1)
1 2 1 (11 2)
1 3 3 1 (11 3)
1 4 6 4 1 (11 4)
1 5 10 10 5 1 (11 5
)
1 6 15 20 15 6 1 (11 6)
楊輝三角形的系數分別為： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（1,3,3,1 ）,（1,4,6,4,1 ）（1,5,10,10,5,1 ）,（1,6,15,20,15,6,1 ）, （1,7,21,35,35,21,7,1 ）所以： (a+b) 7=a 7+7a 6 b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7。
由上式可以看出， (a+b) n 等於 a 的次數依次下降 n 、n-1 、n- 2? n -n ，b 的次數依次上升， 0、1、2? n 次方。系數是
楊輝三角里的系數。
2 楊輝三角的冪的關系
首先我們把楊輝三角的每一行分別相加，如下：
1 ( 1 )
1 1 ( 1+1=
2 )
1 2 1 (1+2+1=4 )
1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )
1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )
1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3
2 )
1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )
? ?
相加得到的數是 1，2， 4，8，16，32， 64，? 剛好是 2 的 0，1，2，3，4，5， 6，? n 次冪，即楊輝三角第n 行中 n 個數之和等於 2 的 n-1 次冪
3 楊輝三角中斜行和水平行之間的關系
(1)
1 (2) n=1
1 1 (3) n=2
1 2 1 (4) n=3
1 3 3 1 (5) n=4
1 4 6 4 1 (6) n=5
1 5 10 10 5 1 n=6
1 6 15 20 15 6 1
把斜行(1)中第7 行之前的數字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
把斜行(2) 中第7 行之前的數字相加得1+2+3+4+5=15
把斜行(3) 中第7 行之前的數字相加得1+3+6+10=20
把斜行(4) 中第7 行之前的數字相加得1+4+10=15
把斜行(5) 中第7 行之前的數字相加得1+5=6
把斜行(6) 中第7 行之前的數字相加得 1
將上面得到的數字與楊輝三角中的第7 行中的數字對比，我們發現它們是完全相同的。
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
由上面可得：楊輝三角中n 行中的第i 個數是i-1 中前n-1 個數之和，即第n 行的數分別為1、(1) 中第n 行
之前的數字之和、(2) 中第n 行之前的數字之和、(3) 中第n 行之前的數字之和、(4) 中第n 行之前的數字之和、?、(n-3) 中第n 行之前的數字之和、1。
總結楊輝三角對於我們好理解的規律，如下六點：
1、每個數等於它上方兩數之和。
2、每行數字左右對稱，由 1 開始逐漸變大。
3、第n 行的數字有n+1 項。
4、第n 行數字和為2(n-1) 。（2 的(n-1) 次方）
5 (a+b) n 的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第(n+1) 行中的每一項。[1]
6、第n 行的第m個數和第n-m 個數相等，即C(n,m)=C(n,n-m) ，這是組合數性質
介紹：
楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章演算法》一書中出現。在歐洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年發現這一規律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的發現比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。
『柒』 【C語言】計算並輸出楊輝三角
#include<stdio.h>
intmain()
{
intarr[24][24]={0};
inti;
intj;
intn;
printf("inputn:");
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
arr[i][1]=1;
arr[i][i]=1;
if(i>=2)
{
for(j=1;j<=i;j++)
{
arr[i][j]=arr[i-1][j-1]+arr[i-1][j];
}
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=i;j++)
{
printf("%d",arr[i][j]);
}
printf(" ");
}
return0;
}
『捌』 楊輝三角形公式
輝三角是一個由數字排列成的三角形數表，一般形式如下：
1
n=0
1
1
n=1
1
2
1
n=2
1
3
3
1
n=3
1
4
6
4
1
n=4
1
5
10
10
5
1
n=5
1
6
15
20
15
6
1
n=6
……
此數列中各行中的數字正好是二項式a+b乘方後，展開始終各項的系數。如：
(a+b)^1=a^1+b^1
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
……
(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6（注意發現規律）
……
『玖』 楊輝三角的規律是什麼
1、 每個數等於它上方兩數之和。
2、 每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大。
3、 第n行的數字有n+1項。
4、
第n行數字和為2^(n-1)（2的(n-1)次方）。
5、 (a+b)^n的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第(n+1)行中的每一項。
6、 第n行的第m個數和第n-m個數相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，這是組合數性質。
因此，二項式定理與楊輝三角形是一對天然的數形趣遇，它把數形結合帶進了計算數學。求二項式展開式系數的問題，實際上是一種組合數的計算問題。用系數通項公式來計算，稱為「式算」；用楊輝三角形來計算，稱作「圖算」。
『拾』 楊輝三角的公式
同時 這也是多項式(a+b)^n 打開括弧後的各個項的二次項系數的規律 即為
0 (a+b)^0 (0 nCr 0)
1 (a+b)^1 (1 nCr 0) (1 nCr 1)
2 (a+b)^2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2)
3 (a+b)^3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3)
. ... ... ... ... ...
因此 楊輝三角第x層第y項直接就是 （y nCr x）
我們也不難得到 第x層的所有項的總和 為 2^(x-1) (即(a+b)^x中a,b都為1的時候)
[ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指 組合數]
其實，中國古代數學家在數學的許多重要領域中處於遙遙領先的地位。中國古代數學史曾經有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發現就是十分精彩的一頁。
楊輝，字謙光，北宋時期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章演算法》一書中，輯錄了如上所示的三角形數表，稱之為「開方作法本源」圖。
而這樣一個三角在我們的奧數競賽中也是經常用到，最簡單的就是叫你找規律。具體的用法我們會在教學內容中講授。
在國外,這也叫做"帕斯卡三角形".
S1：這些數排列的形狀像等腰三角形，兩腰上的數都是1
S2：從右往左斜著看，第一列是1，1，1，1，1，1，1；第二列是，1，2，3，4，5，6；第三列是1，3，6，10，15；第四列是1，4，10，20；第五列是1，5，15；第六列是1，6……。
從左往右斜著看，第一列是1，1，1，1，1，1，1；第二列是1，2，3，4，5，6……和前面的看法一樣。我發現這個數列是左右對稱的。
S3：上面兩個數之和就是下面的一行的數。
S4：這行數是第幾行，就是第二個數加一。……
幻方，在我國也稱縱橫圖，它的神奇特點吸引了無數人對它的痴迷。從我國古代的「河出圖，洛出書，聖人則之」的傳說起，系統研究幻方的第一人，當數我國古代數學家——楊輝。
楊輝，字謙光，錢塘(今杭州)人，我國南宋時期傑出的數學家，與秦九韶、李冶、朱世傑並稱宋元四大數學家，他在我國古代數學史和數學教育史上佔有十分重要的地位。
楊輝對幻方的研究源於一個小故事。當時楊輝是台州的地方官，一次外出巡遊，碰到一孩童擋道，楊輝問明原因方知是一孩童在地I 做一道數學算題，楊輝一聽來了興趣，下轎來到孩童旁問是什麼算題。原來，這個孩童在算一位老先生出的一道趣題：把1到9的數字分行排列，不論豎著加、橫著加，還是斜著加，結果都等於15。
楊輝看到這個算題， 時想起來他在西漢學者戴德編纂的《大戴禮》一書中也
見過。楊輝想到這兒，和孩童一起算了起來，直到午後，兩人終於將算式擺出來了。
後來，楊輝隨孩童來到老先生家裡，與老先生談論起數學問題來。老先生說：「北周的甄彎注《數術記遺》一書中寫過『九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。」』楊輝聽了，這與自己與孩童擺出來的完全一樣。便問老先生：「你可知這個九宮圖是如何造出來的?」老先生說不知
道。
楊輝回到家中，反復琢磨。一天，他終於發現一條規律，並總結成四句話：「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出」。就是說：先把l～9九個數依次斜排，再把上l下9兩數對調，左7右3兩數對調，最後把四面的2、4、6、8向外面挺出，這樣三階幻方就填好了。
楊輝研究出三階幻方(也叫絡書或九宮圖)的構造方法後，又系統的研究了四階幻方至十階幻方。在這幾種幻方中，楊輝只給出了三階、四階幻方構造方法的說明，四階以上幻方，楊輝只畫出圖形而未留下作法。但他所畫的五階、六階乃至十階幻方全都准確無誤，可見他已經掌握了高階幻方的構成規律。
在信息領域楊輝三角也起著重要作用。