朱演算法口訣

1. 程大位對數學有什麼貢獻

程大位(公元1533年～1606年)是中國古代數學家，字汝思，號賓渠，安徽省休寧縣(今黃山市)人。其故居至今尚存。

程大位出身小商，自幼聰明好學，尤其喜愛數學，常不惜重金購求算書。20歲左右時，他利用外出經商的機會，邀游吳楚，遍訪名師，遇有」睿通數學者，輒造請問難，孜孜不倦」。他身居小縣城，對土地測量十分重視，曾創造「丈量步車」，並繪圖傳世。程大位40歲以後，倦於外游，便「歸而覃思於率水之上餘二十年」。他認真鑽研古籍，繹其文義，審其成法，遍取各家之長，加上自己的心得體會，終於在萬曆二十年(1592)寫成《演算法統宗》(原名《直指演算法統宗》)17卷。其後6年(1598)，又對該書刪其繁撫，揭其要領，寫成《演算法纂要》4卷，先後在休寧刊行。

《演算法統宗》中，第一、二卷是全書所用的基本知識；第3到12卷為各種應用題解法匯編，各卷基本上以《九章算術》的章名為標題；第13卷到16卷為「難題」，其實演算法都很簡單，只是條件用詩歌表達；比較隱晦；第17卷為「雜法」。書中各類問題都用珠算，程大位所使用的一套簡明順口的珠算加減乘除口訣及開方方法，一直沿用至今。該書系統總結了我國的珠演算法，成為一部比較完備的珠算書。它的成書及廣泛流傳，標志著我國數學史上由籌算向珠算轉化的完成，程大位本人也因此被譽為「珠算一代宗師」。

明末思想家徐光啟曾指出，明代數學落後的原因有兩個，一個是「名理之儒土苴天下之實事」，另一個是「妖妄之術謬言數有神理。」程大位作為數學家，卻與哪些「名理之儒」的觀點不同，他十分重視實事，重視數學的應用。他的《演算法統宗》之，所以能「風行宇內」，使「海內握算持籌之士，莫不家藏一編」，是與它的實用性分不開的。

重視數學應用

程大位認為數學有廣泛的用處，他說：「遠而天地之高廣，近而山川之浩衍；大而朝廷軍國之需，小而民生日用之費，皆莫能外。」吳繼綏在《演算法統宗》序中也引用過他說的話：「多算勝少算不勝而況於無算乎？」在程大位看來，數學是社會也是人生不可缺少的。他在《演算法統宗》中開宗明義，以詩歌形式寫道：「世間六藝任紛壇，算乃人之根本；知書不知演算法，如臨暗室昏昏。」這與當時的理學家們反對經世致用的學問和輕視數學的態度形成了鮮明對照。當時盛行的八股取士制，是「以四書五經命題，八股文章取士」的，它引導知識分子遠離自然科學，嚴重束縛了知識分子的思想。許多讀書人為了功名，埋頭於儒家經典，只會奢談三綱五常之類的封建倫理，哪裡還顧得上數學和其他有實用價值的科學技術呢？程大位卻能突破儒家思想的束縛，中年以後全力寫作《演算法統宗》。以解決當時社會急需的實際問題，這種精神是十分可貴的。

不僅如此，程大位還敢於針對時弊，秉筆直書、從數學的角度揭露了貪官污吏對人民的愚弄。卷三的「畝法論」便表現了這種思想，文中說：「萬曆九年遵詔清丈，敝邑(休寧)總書擅變畝法，田分四等，上則一百九十步，中則二百二十步，下則二百六十步，下下則三百步。……與前賢二百四十步一畝大相繆皮，借日土田有肥磽，征役有輕重，亦宜就土田高下。別米麥之多寡、不得輕變畝法。第總書開其弊竇，舉邑業已遵行，何容置喙!姑記之此，以見作聰明亂舊章之自雲。」顯然，這種以「土地肥撓」和「征役輕重」來確定田畝單位的作法是十分荒唐的。其目的無非是渾水摸魚，敲詐百姓。這段話的字里行間，流露出一位正直數學家對人民的深切同情。

綜觀《演算法統宗》全書，作者是十分重視數學應用的。595道題中，絕大部分是密切結合人民生活的應用問題。開方、勾股等方面有些純數學問題，也是為應用題作準備的。在應用問題中，包括田畝測量、交通運輸、物資分配、容積計算、稅收貿易、工程技術等。題目分類基本上沿襲《九章算術》，但在體例上與《九章算術》有一點明顯的不同，就是首先列舉了學習全書所需的基本知識，包括演算法提綱、大數、小數、度量衡、田畝測量制、珠算定位法、珠算四則運算口訣等。這就使該書不僅內容豐富，而且便於自學，成為一本良好的數學入門書。

改進珠演算法

《演算法統宗》的另一特點是大部分題採用珠算，這也體現廠作者著眼於應用的精神。珠算盤是一種構造簡單、價格低廉、容易攜帶的計算工具。珠算與籌算相比，運算更為方便、迅速。但當時的珠算方法還不夠完善，有的口訣也不夠順暢，於是程大位便花大力氣改進珠演算法及珠算口訣。他為了區別乘除法口訣，在卷一明確規定：「九九合數」應「呼小數在上，大數在下」，「九歸歌」應「呼大數在上，小數在下」。例如「六八四十八」是乘法口訣，「八六七十四」是除法口訣。書中記載著完整的撞歸口訣，如「一歸：見一無除作九一，起一下還一」；「二歸，見二無除作九二，起一下還二」等等。第六、七卷中，程大位還給出珠算開平、立方的方法。雖不能肯定這是他的發明，但該書確是最早記載這種方法的古算書之一。(成書稍早於《演算法統宗》而出版稍晚的朱載培《算學新說》中也有珠算開平、立方法。)書中的珠算定位法則應歸功於程大位，因為當時流行的珠算書中都未提到。吳敬的《九章演算法比類大全》中雖有定位法，但他是用於籌算。首次完整地敘述珠算定位法的是《演算法統宗》中的「定位總歌」：

「數家定位法為奇，因乘俱向下位推。

加減只需認本位，歸與歸除上位施。

法多原實逆上數，法前得零順下宜。

法少原實降下數，法前得零逆上知。」

程大位十分重視珠算口訣，他認為口訣是學珠算、用珠算的基礎，一定要記熟。他反復強調：「一要熟讀九歌，二要誦歸除歌法」，「學算之人須努力，先將九數時時習。」

補充面積公式

在用珠演算法解決的各種實際問題中，特別引人注目的是面積問題。對於廣大農村來說，田畝測量是不可缺少的，所以程大位十分重視面積問題。在《演算法統宗》卷三「方田」中，他結合田畝測量總結出大量面積公式，並編成歌謠，給出圖形。這一卷所繪圖形60餘種，其中比較基本的有十幾種，其他都是由這些圖形割補而成的。這十幾種圖形中，一些是《九章算術》中已有公式的，如方田(正方形)、直田(矩形)、圭田(三角形)、邪田(梯形)、圓田(圓形)、弧田(弓形)等，另一些圖形則是《九章算術》中沒有的，程大位分別給出公式。

對於計算結果、程大位既要求盡可能准確，又主張根據具體情況適可而止。

程大位不用舊法而創立「截法」、就是為了計算結果的准確。他說：「遇歪斜不等，必有斜步，豈可作正步相乘？若截之，庶無誤矣。」對於更加復雜的圖形，只用「截法」還不行，程大位便採用「截盈補虛」的方法，他說：「田之形狀甚多，具載難盡，學者不必執泥，在於臨場機變，必須截盈補虛，卑尖減大，以合規式。但田中央先取出方、直、勾股、圭、梭等形，另積旁余，並而於一，然後用法乘除之，用少廣章開方等法還原，始為精密之術焉。」但他對准確性的要求是有限度的，因為他著眼於應用。他指出：「世之習算者，咸以方五斜七、圍三徑一為准，殊不知方五則斜七有奇，徑一則圍三有奇」，可見他知道有更准確的比值，但他認為不一定使用，因為：數多則散漫難收」，即精確的數據位數多，計算起采太復雜，這在實際應用中往往是沒有必要的。

創造丈量步車

為了適應當時測量田畝的需要，程大位還創造了一種丈量步車，在《演算法統宗》中繪有圖形並有詳細解說；這種測量工具類似於現在的捲尺，由環、十字架、轉軸、鎖、鑽角及纏在十字架內的竹尺(薄竹片製成的尺)構成。這在當時是一種很先進的測量工具。程大位對自己的發明十分得意，在圖邊自題：「賓渠製造心機巧，隸首傳來數學精。」

寓算題於詩詞

除了《演算法統宗》的內容以外，我們從它的文字形式上也可以看出作者重視數學的應用與普及的思想。全書文字分為敘述性文字、詩詞歌訣及圖表中的文字三種形式，而詩詞貫穿全書，佔了相當大的比例。這些詩詞，既是優美的文學作品，又是直接為數學服務的。例如「留頭乘」的歌訣是一首七絕：「下乘之法此為真，起於先將第二因，三四五來乘遍了，卻將本位破其身。」衰分章的一首《西江月》用來命題：「群羊一百四十，剪毛不憚勤勞，群中有母有羊羔，先剪二毛比較。大羊剪毛斤二，一十二兩羔毛，百五十斤是根苗，子母各該多少？」這些詩詞淺明易懂，生動有趣，使讀者在學習珠算的過程中同時得到美的享受。再如盈肋章用來命題的一首五律：「今攜一壺酒，游春郊外走。逢朋添一倍，入店飲斗九。相逢三處店，飲盡壺中酒。試問能算士，如何知原有？」此詩不僅朗朗上口，而且具有濃厚的生活氣息。讀罷全詩，彷彿在眼前展現出一幅情趣盎然的攜酒春遊圖。這種大眾化的生動詩歌，無疑會引起讀者的興趣。《演算法統宗》寓算題於詩詞，賦予數學書以文學色彩，其普及數學的效果是顯而易見的。人們在愉快地欣賞這些詩詞的同時，也就開始了對數學的理解。《演算法統宗》成為明清兩代流傳最廣泛的算書，甚至能超越國度，受到日本、朝鮮和東南亞各國人民的歡迎，其引人入勝的文字無疑是原因之一。

2. 珠心算怎麼計算的

1、五珠算盤的使用：

下4珠每個代表1，上1珠代表5，從左到右依次為，千分位，百分位，十分位.....大拇指往上撥,食指往下撥，依據法則進行運算。

2、計算口訣（法則）：

（1）加法口訣：

不進位的加進位的加

直加滿五加進十加破五進十加

加一：一上一，一下五去四，一去九進一

加二：二上二，二下五去三，二去八進一

加三：三上三，三下五去二，三去七進一

加四：四上四，四下五去一，四去六進一

加五：五上五，五去五進一

加六：六上六，六去四進一，六上一去五進一

加七：七上七，七去三進一，七上二去五進一

加八：八上八，八去二進一，八上三去五進一

加九：九上九，九去一進一，九上四去五進一

（2）減法口訣：

不退位的減退位的減

直減破五減退位減退十補五的減

減一：一下一，一上四去五，一退一還九

減二：二下二，二上三去五，二退一還八

減三：三下三，三上二去五，三退一還七

減四：四下四，四上一去五，四退一還六

減五：五下五，五退一還五

減六：六下六，六退一還四，六退一還五去一

減七：七下七，七退一還三，七退一還五去二

減八：八下八，八退一還二，八退一還五去三

減九：九下九，九退一還一，九退一還五去四

（3）乘法口訣：

在春秋戰國時已在籌算中得到應用；

歸除口訣，首見楊輝《乘除通變算寶》[1274]，

朱世傑《算學啟蒙》[1299]所載九歸口訣已與現代基本相同。

有了四則口訣，珠算的演算法就形成一個體系，長期沿用下來。

（4）除法口訣：

珠算除法有歸除法和商除法兩種.

歸除法用口訣進行計算，有九歸口訣，退商口訣和商九口訣.

九歸口訣共61句：

一歸（用1除）：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九.

二歸（用2除）：逢二進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四，二一添作五.

三歸（用3除）：逢三進一，逢六進二，逢九進三，三一三餘一，三二六餘二.

四歸（用4除）：逢四進一，逢八進二，四二添作五，四一二餘二，四三七餘二.

五歸（用5除）：逢五進一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八.

六歸（用6除）：逢六進一，逢十二進二，六三添作五，六一下加四，六二三餘二，六四六餘四，六五八餘二.

七歸（用7除）：逢七進一，逢十四進二，七一下加三，七二下加六，七三四餘二，七四五餘五，七五七餘一，七六八餘四.

八歸（用8除）：逢八進一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六餘二，八六七餘四，八七八餘六.

九歸（用9除）：逢九進一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。

（5）開乘方：

珠算乘方可以直接乘，也可以根據公式，高次方若冪是質素，就只有直接乘，若可以分解因式，則可分解因式再來算。

珠算開平方，一般有半九九開平方法，積差開平方法，公式開平方法，增乘開平方法。

開三次方，有三倍根開立方法，過大商開立方法。

開五次方，有多種，常見的有增乘開五次方。

開高次方一般很少在珠算上用。

(2)朱演算法口訣擴展閱讀：

1、算盤計算相關術語：

（1）空檔：某一檔的上、下都離梁的時候，叫做空檔。空檔表示這一檔沒有記數，或者表示0。

（2）空盤：算盤的各檔都是空檔是，表示全盤沒有記數，叫做空盤。

（3）內珠：靠梁記數的算珠，叫做內珠。

（4）外珠：離梁不記數的算珠，叫做外珠。

（5）撥上：是指將下珠撥靠梁。

（6）撥下：是指將上珠撥靠梁。

（7）撥去：是指將上珠或下珠撥離梁。

（8）本檔：是指正要撥珠記數的這一檔。

（9）前檔：是指本檔的前一檔，也叫左一檔（位）。

（10）後檔：是指本檔的後一檔，也叫右一檔（位）。

（11）漂珠：撥珠時用力過輕，不靠梁不著框，浮漂在檔中間的算珠。

（12）帶珠：撥珠時，把本檔或鄰檔不應撥入或撥去的算珠帶入或帶出叫帶珠。

（13）實珠：靠梁表示正數的算珠。

（14）虛珠：也叫負珠，是指算珠撥到既不靠梁又不靠框，表示負數的懸珠。

（15）置數：也教布數，按照計算的要求，把數字撥入算盤，為計算作準備。

（16）檔位：也叫檔次，是指檔的位次。

（17）錯檔：也叫錯位，是指運算過程中未將算珠撥入應撥的檔位。

（18）進位：是指本檔加上一個數後，大於或等於10，須向前位加1，叫做進位。

（19）退位：是指在本檔減去一個數時本檔不夠，許向前面一位減1，叫做退位。

（20）首位：也叫最高位，是指一個多位數的第一個非零數字為首位。如3284中的3，0.0726中的7。

2、算盤的收藏價值：

（1）高檔材質的算盤值得收藏。據國家文化藝術品網介紹，按算珠和邊框材料，算盤可分為金、銀、銅、鐵、玉、竹、木、象牙、水晶、大理石等;按立柱材料，包括鐵、木、銀、銅、鋁、竹等。算盤材質越好，收藏價值越高，升值潛力自然就強。舉例來說，普通木質算盤的身價低於象牙算盤，而貴金屬製成的算盤，價值就更高了。

另外，算盤上的立柱，即俗稱的「檔」，也有高低之分。算盤的價值還可以通過做工和品相來衡量。

（2）上乘木質算盤升值前景好。國家文化藝術品網訊，如果收藏木質算盤，紫檀、紅木、花梨木的藏品為上乘。上乘木質的算盤不會上油漆，因為木質好的算盤更注重原色，經過歲月的洗禮，好的木頭會越用越亮，算珠也會越來越光滑。只有一般材質的木算盤，才會塗上厚重的油漆以遮蓋木質的平庸。

梨木、松木、沉香木、柏木屬於中等材質，雜木則屬於低檔材質。

（3）異形算盤身價逐漸走高。圓形、扇形、拱形、筒形、寶塔等造型奇特的算盤，因為工藝考究、妙趣橫生，是收藏家追捧和尋覓的對象。

由於算盤的檔數通常都是奇數檔，例如九、十一、十三、十五、十七等，帶有賞玩性質的偶數檔算盤的身價就比奇數檔的高。而小巧玲瓏的袖珍算盤以及21檔以上的大型算盤，無疑豐富了算盤的文化內涵，也值得收藏。