warshall演算法傳遞閉包

1. Warshall演算法求傳遞閉包，Python語言~

def __warshall(self, a):
assert (len(row) == len(a) for row in a)
n = len(a)
#請在下面編程實現Roy-Warshall求傳遞閉包的演算法
#參數a：為一個關系矩陣
# 請刪除pass後編程實現該方法功能
for i in range(n) :
for j in range(n):
if a[j][i] == 1:
for k in range(n):
a[j][k] = a[j][k] | a[i][k]
# 請在上面編寫程序，不要修改下面代碼
return a

2. 求計算機求解關系R的傳遞閉包 C語言演算法

傳遞閉包,最簡單的技術是採用 【弗洛伊德演算法】

Floyd-Warshall演算法（Floyd-Warshall algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法，可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題，同時也被用於計算有向圖的傳遞閉包。

Floyd-Warshall演算法的時間復雜度為O(N3)，空間復雜度為O(N2)。

Floyd-Warshall演算法的原理是動態規劃。

設Di,j,k為從i到j的只以(1..k)集合中的節點為中間節點的最短路徑的長度。

1.若最短路徑經過點k，則Di,j,k = Di,k,k − 1 + Dk,j,k − 1；
2.若最短路徑不經過點k，則Di,j,k = Di,j,k − 1。
因此，Di,j,k = min(Di,k,k − 1 + Dk,j,k − 1,Di,j,k − 1)。
在實際演算法中，為了節約空間，可以直接在原來空間上進行迭代，這樣空間可降至二維。

代碼請見：

3. Warshall演算法求傳遞閉包

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 20
#define M 20

main()
{
int i,j,k,m,n;
int r1[M],r2[M],a[N],mr[N][N]={0};

FILE * fp;
printf("程序自動調用c:/stone2.txt文件內相應數據\n");
fp=fopen("c:\\stone2.txt","r");
fscanf(fp,"%d",&n); /*讀取集合元素個數*/
for(i=0;i<n;i++) /*讀取集合元素*/
fscanf(fp,"%d",&a[i]);
fscanf(fp,"%d",&m); /*讀取關系個數*/
for(k=0;k<m;k++)
fscanf(fp,"%d,%d",&r1[k],&r2[k]); /*讀取關系*/

fclose(fp);

printf("自反閉包r(R):\n{");
for(i=0;i<n;i++) printf("<%d,%d>,",a[i],a[i]); /*輸出自反閉包*/
for(k=0;k<m;k++)
{
if(r1[k]!=r2[k]) printf("<%d,%d>,",r1[k],r2[k]);
else continue;
}
printf("\b}\n");

printf("對稱閉包s(R):\n{"); /*輸出對稱閉包*/
for(k=0;k<m;k++)
{
if(r1[k]!=r2[k]) printf("<%d,%d>,<%d,%d>,",r1[k],r2[k],r2[k],r1[k]);
else printf("<%d,%d>,",r1[k],r2[k]);
}
printf("\b}\n");

k=0;
for(i=0;i<n,k<m;i++)
{
if(r1[k]!=a[i]) continue;
else
{
for(j=0;j<n,k<m;j++) /*關系轉換成矩陣*/
{
if(r2[k]!=a[j]) continue;
else
{
mr[i][j]=1;
k++; i=0;j=0;
break;
}
}
}
}

printf("關系所對應的關系矩陣:\n");
for(i=0;i<n;i++)
{ /*列印關系矩陣*/
for(j=0;j<n;j++)
printf("%5d",mr[i][j]);
printf("\n");
}
for(k=0;k<n;k++)
for(i=0;i<n;i++) /*warshall*/
for(j=0;j<n;j++)
mr[i][j]+=mr[i][j]+mr[i][k]*mr[k][j];

for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{ /*把mr[]非0項賦值為1*/
if(!mr[i][j]) continue;
else mr[i][j]=1;
}

printf("傳遞閉包對應關系矩陣:\n");
for(i=0;i<n;i++)
{ /*輸出傳遞閉包對應的關系矩陣*/
for(j=0;j<n;j++)
printf("%5d",mr[i][j]);
printf("\n");
}

system("PAUSE");

}
自己寫的,三個閉包都有,包括傳遞閉包,看注釋就知道了,還是用文件讀寫,方便數據輸入

4. Warshall演算法的演算法介紹

1、引言
Warshall在1962年提出了一個求關系的傳遞閉包的有效演算法。其具體過程如下，設在n個元素的有限集上關系R的關系矩陣為M：
（1）置新矩陣A=M;
（2）置k=1;
（3）對所有i如果A[i,k]=1，則對j=1..n執行：
A[i,j]←A[i,j]∨A[k,j];
（4）k增1;
（5）如果k≤n，則轉到步驟（3），否則停止。
所得的矩陣A即為關系R的傳遞閉包t(R)的關系矩陣。
在左孝凌等編著的《離散數學》中提到了該演算法，但並未對此演算法作出解釋。下面本文將對該演算法的思想作出一種比較通俗的解說。
2、對Warshall演算法的解說
設關系R的關系圖為G，設圖G的所有頂點為v1,v2,…,vn，則t(R)的關系圖可用該方法得到：若G中任意兩頂點vi和vj之間有一條路徑且沒有vi到vj的弧，則在圖G中增加一條從vi到vj的弧，將這樣改造後的圖記為G』，則G』即為t(R)的關系圖。G』的鄰接矩陣A應滿足：若圖G中存在從vi到vj路徑，即vi與vj連通，則A[i,j]=1，否則A[i,j]=0。
這樣，求t(R)的問題就變為求圖G中每一對頂點間是否連通的問題。
定義一個n階方陣序列A(0),A(1),A(2),…,A(n)，每個方陣中的元素值只能取0或1。A(m)[i,j]=1表示存在從vi到vj且中間頂點序號不大於m的路徑（m=1..n），A(m)[i,j]=0表示不存在這樣的路徑。而A(0)[i,j]=1表示存在從vi到vj的弧，A(0)[i,j]=0表示不存在從vi到vj的弧。
這樣，A(n)[i,j]=1表示vi與vj連通，A(n)[i,j]=0表示vi與vj不連通。故A(n)即為t(R)的關系矩陣。
那麼應如何計算方陣序列A(0),A(1),A(2),…,A(n)呢？
很顯然，A(0)=M（M為R的關系矩陣）。
若A(0)[i,1]=1且A(0)[1,j]=1，或A(0)[i,j]=1，當且僅當存在從vi到vj且中間頂點序號不大於1的路徑，此時應將A(1)[i,j]置為1，否則置為0。
一般地，若A(k-1)[i,k]=1且A(k-1)[k,j]=1，或A(k-1)[i,j]=1，當且僅當存在從vi到vj且中間頂點序號不大於k的路徑，此時應將A(k)[i,j]置為1，否則置為0（k=1..n）。用公式表示即為：
A (k)[i,j]=(A(k-1)[i,k]∧A(k-1)[k,j])∨A(k-1)[i,j] i,j,k=1..n
這樣，就可得計算A(k)的方法：先將A(k)賦為A(k-1)；再對所有i=1..n，若A(k)[i,k]=1（即A(k-1)[i,k]=1），則對所有j=1..n，執行：
A (k)[i,j]←A(k)[i,j]∨A(k-1)[k,j]
但這與前述Warshall演算法中的第（3）步還有一定距離。若將上式改為：
A(k)[i,j]←A(k)[i,j]∨A(k)[k,j] （即把A(k-1)[k,j]改為A(k)[k,j]）
就可將上標k去掉，式子就可進一步變為：
A[i,j]←A[i,j]∨A[k,j]
這樣可以只用存儲一個n階方陣的空間完成計算，且與前述Warshall演算法中第（3）步的式子一致。那麼，可不可以把A(k-1)[k,j]改為A(k)[k,j]呢？答案是肯定的。下面將證明在計算A(k)的過程中A(k-1)[k,j]與A(k)[k,j]相等（A(k)被賦初值A(k-1)後）。考察計算A(k)的方法 只有當i=k時A(k)[k,j]的值才有可能改變，此時將式A(k)[i,j]←A(k)[i,j]∨A(k-1)[k,j]中的i換為k，得A(k)[k,j]←A(k)[k,j]∨A(k-1)[k,j]，對某一j，執行該式的賦值操作前A(k)[k,j]=A(k-1)[k,j]，因為計算A(k)開始時A(k)被賦為A(k-1)，故它們相或的結果等於A(k-1)[k,j]，故賦值操作不改變A(k)[k,j]的值。這樣，就沒有操作會改變A(k)[k,j]的值，故A(k-1)[k,j]與A(k)[k,j]相等。
綜上，就可得到計算A(n)的演算法，且該演算法與前述的Warshall演算法完全一致。
由上面的分析，不難看出，Warshall演算法類似於求圖中每對頂點間最短路徑的Floyd演算法。其實，用Floyd演算法也能求關系的傳遞閉包，方法為令關系R的關系圖G中的每條弧的權值都為1，這樣得一有向網G1，設G1的鄰接矩陣為D(-1)（若vi無自迴路，則D(-1)(i,i)=∞），對G1用Floyd演算法求其每對頂點間最短路徑，得結果矩陣D(n-1)。因若G中vi與vj連通，當且僅當D(n-1)[i,j]≠∞，故將矩陣D中的∞都改為0，其它值都改為1，得矩陣A，則矩陣A即為t(R)的關系矩陣。Floyd演算法和Warshall演算法的時間復雜度都為O(n3)，但明顯用Floyd演算法求關系的傳遞閉包繞了彎子。
參考文獻：
[1]左孝凌，李為鑒，劉永才，《離散數學》，上海：上海科學技術文獻出版社，1982
[2]嚴蔚敏，吳偉民，《數據結構 C語言版》，北京：清華大學出版社，1997

5. 離散數學中傳遞閉包怎麼求 通俗一點

方法：warshall法，即運行n次，每次使得MR[n][i],MR[i][n]都為1時使得MR[i][j]為1,否則還是為MR[i][j]。
傳遞閉包的計算過程一般可以用Warshell演算法描述：
For 每個節點i Do
For 每個節點j Do
If j能到i Then
For 每個節點k Do
a[j, k] := a[j, k] Or ( a[j, i] And a[ i, k] )
其中a數組為布爾數組，用來描述兩個節點是否相連，可以看做一個無權圖的鄰接矩陣。演算法過程跟Floyd很相似，三重循環，枚舉每個中間節點。不過傳遞閉包只需要求出兩個節點是否相連，而不用求其間的最短路徑長。
傳遞性：對於一個節點i，如果j能到i，i能到k，那麼j就能到k。求傳遞閉包，就是把圖中所有滿足這樣傳遞性的節點都弄出來，計算完成後，就知道任意兩個節點之間是否相連。
傳遞閉包的定義：R』是R（不具有傳遞性質）變動最少的步驟得到的具有傳遞性質的關系。
(5)warshall演算法傳遞閉包擴展閱讀
演算法實例：
#include<stdio.h>
#define
N
10
int
judge(int
k,int
i,int
j)
{
if(i==1
&&
j==1){
return
1;
}
return
k;
}
void
warShall(int
MR[N][N],int
n)
{
for(int
k=0;k<n;k++){
for(int
i=0;i<n;i++){
for(int
j=0;j<n;j++){
if(i!=k
||
j!=k){
MR[i][j]=judge(MR[i][j],MR[k][j],MR[i][k]);
}
}
}
}
}
int
main()
{
int
MR[10][10];
int
mul;
scanf("%d",&mul);
for(int
i=0;i<mul;i++){
for(int
j=0;j<mul;j++){
scanf("%d",&MR[i][j]);
}
}
printf("求傳遞閉包為:\n");
warShall(MR,mul);
for(int
i=0;i<mul;i++){
for(int
j=0;j<mul;j++){
printf("%d
",MR[i][j]);
}
printf("\n");
}
return
0;
}
運行結果：
參考資料：網路-傳遞閉包

6. 最短路徑的floyd演算法的時間復雜度

Floyd：每對節點之間的最短路徑。Floyd-Warshall演算法（Floyd-Warshall
algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法，可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題，同時也被用於計算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall演算法的時間復雜度為O(N3)，空間復雜度為O(N2)。

先給出結論：

(1)當權值為非負時，用Dijkstra。

(2)當權值有負值，且沒有負圈，則用SPFA，SPFA能檢測負圈，但是不能輸出負圈。

(3)當權值有負值，而且可能存在負圈，則用BellmanFord，能夠檢測並輸出負圈。

(4)SPFA檢測負環：當存在一個點入隊大於等於V次，則有負環，後面有證明。