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同頭尾合十的簡便演算法

發布時間: 2023-07-24 05:44:53

A. 「頭同尾合」巧演算法是怎麼計算的

一、「頭同,尾和10」演算法分析

  • 1、速算要領

    「頭同,尾和10」演算法口訣:頭加1乘頭,兩尾乘積接後頭(不足兩位十補0)。是指個位數字之和是10,十位數字相同的兩個兩位數相乘時,則用第一個兩位數十位上的數字加1,乘以第二個兩個位數十位上的數字,其乘積構成該兩個兩位數乘積結果的前兩位;而兩數個位數字的乘積,則構成該兩個兩位數乘積的後兩位(如果個位數的乘積不滿10,則在其乘積結果前補0形成兩位),再把兩個乘積所形成的兩個兩位數順序排列,就形成了「頭同,尾合10」兩位數的乘積結果。

  • 2、演算法分析

    依據速算口訣,將其轉化為科學計數法表示為:有(10a+b)與(10a+d)兩個兩位數相乘,且b+d=10,求證:(10a+b)×(10a+d)=100a(a+1)+b·d。

    證明:根據代數式(10a+b)×(10a+d)運算可得:

    (10a+b)×(10a+d)=10a×10a+10ad+10ab+bd=10a×(10a+b+d)+bd

    又∵b+d=10

    ∴10a(10a+b+d)+b·d=10a(10a+10)+b·d=10a×10(a+1)+b·d

    故證:(10a+b)×(10a+d)=100a(a+1)+b·d

    對結果的形象表述,即是這一演算法的基本口訣:AB和AD兩個兩位數相乘,且B+D=10。其結果為四位數EFGH,其中EF=A·(A+1),GH=B·D。

二、「尾同,頭和10」演算法分析

  • 1、速算要領

    「尾同,頭和10」演算法口訣:頭乘頭加尾,兩尾乘積接後頭(兩尾乘積不足10時在十位上補0)。是指兩個兩位數相乘時,如果兩數的個位數字相同,而十位數字之和是10,則以兩個兩位數十位上的數字相乘後加上任一兩位數的個位之和,構成該兩位數乘積結果的前兩位;而用兩位乘數個位上的乘積(如不滿兩位則在十位補0),則組成該兩位數乘積結果的後兩位,再把兩個乘積所形成的兩個兩位數順序排列就形成了「尾同,頭合10」兩位數的乘積結果。

  • 2、演算法分析

    依據速算口訣,將其轉化為科學計數法則為:有(10b+a)與(10d+a)兩個兩位數,且b+d=10,求證:(10b+a)×(10d+a)=100(b·d+a)+a·a。

    證明:根據代數式(10b+a)×(10d+a)運算可得:

    (10b+a)×(10d+a)=10b×10d+10b×a+a×10d+a·a=10b·10d+10a(b+d)+a·a

    又∵b+d=10

    ∴10b·10d+10a(b+d)+a·a=100b·d+100a+a·a=100×(b·d+a)+a·a

    對結果的形象表述,正是這一演算法的基本口訣:BA和DA兩個兩位數相乘,且B+D=10。其結果為四位數EFGH,其中EF=B·D+A,GH=A·A。

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