同頭尾合十的簡便演算法

A. 「頭同尾合」巧演算法是怎麼計算的

一、「頭同，尾和10」演算法分析

• 1、速算要領

  「頭同，尾和10」演算法口訣：頭加1乘頭，兩尾乘積接後頭（不足兩位十補0）。是指個位數字之和是10，十位數字相同的兩個兩位數相乘時，則用第一個兩位數十位上的數字加1，乘以第二個兩個位數十位上的數字，其乘積構成該兩個兩位數乘積結果的前兩位；而兩數個位數字的乘積，則構成該兩個兩位數乘積的後兩位（如果個位數的乘積不滿10，則在其乘積結果前補0形成兩位），再把兩個乘積所形成的兩個兩位數順序排列，就形成了「頭同，尾合10」兩位數的乘積結果。

• 2、演算法分析

  依據速算口訣，將其轉化為科學計數法表示為：有（10a+b）與（10a+d）兩個兩位數相乘，且b+d=10，求證：（10a+b）×（10a+d）=100a（a+1）+b·d。

  證明：根據代數式（10a+b）×（10a+d）運算可得：

  （10a+b）×（10a+d）=10a×10a+10ad+10ab+bd=10a×（10a+b+d）+bd

  又∵b+d=10

  ∴10a（10a+b+d）+b·d=10a（10a+10）+b·d=10a×10（a+1）+b·d

  故證：（10a+b）×（10a+d）=100a（a+1）+b·d

  對結果的形象表述，即是這一演算法的基本口訣：AB和AD兩個兩位數相乘，且B+D=10。其結果為四位數EFGH，其中EF=A·（A+1），GH=B·D。

二、「尾同，頭和10」演算法分析

• 1、速算要領

  「尾同，頭和10」演算法口訣：頭乘頭加尾，兩尾乘積接後頭（兩尾乘積不足10時在十位上補0）。是指兩個兩位數相乘時，如果兩數的個位數字相同，而十位數字之和是10，則以兩個兩位數十位上的數字相乘後加上任一兩位數的個位之和，構成該兩位數乘積結果的前兩位；而用兩位乘數個位上的乘積（如不滿兩位則在十位補0），則組成該兩位數乘積結果的後兩位，再把兩個乘積所形成的兩個兩位數順序排列就形成了「尾同，頭合10」兩位數的乘積結果。

• 2、演算法分析

  依據速算口訣，將其轉化為科學計數法則為：有（10b+a）與（10d+a）兩個兩位數，且b+d=10，求證：（10b+a）×（10d+a）=100（b·d+a）+a·a。

  證明：根據代數式(10b+a)×（10d+a）運算可得：

  （10b+a）×（10d+a）=10b×10d+10b×a+a×10d+a·a=10b·10d+10a(b+d)+a·a

  又∵b+d=10

  ∴10b·10d+10a(b+d)+a·a=100b·d+100a+a·a=100×（b·d+a）+a·a

  對結果的形象表述，正是這一演算法的基本口訣：BA和DA兩個兩位數相乘，且B+D=10。其結果為四位數EFGH，其中EF=B·D+A，GH=A·A。