高數極限運演算法則
A. 高等數學極限運演算法則
這道題目的解答過程如下：
這道題目屬於無窮大乘以無窮小型不定式，無窮大 × 無窮小是不定式，要看具體情況,可能是 無窮小(0)，可能是常數，也可能是無窮大(∞)。
例如:
1、當x→∞,3/x→0, x×(3/x) = 3
2、當x→∞,4/x²→0,x×(4/x²)= 4/x → 0
3、當x→∞,x³→∞, 2/x²→0,而 x³×(2/x²) = 2x → ∞
一般這種無窮大 × 無窮小是不定式求極限方法用分子有理化。分子有理化：對於一個分式來說，若分子是一個無理式組成的代數式，採取一些方法將其化為有理式的過程稱為分子有理化。
(1)高數極限運演算法則擴展閱讀：
求極限的基本方法有:
1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計算，無窮小直接以0代入。
2、無窮大根式減去無窮大根式時，分子有理化。
3、運用兩個特別極限。
4、運用洛必達法則。
5、用Mclaurin(麥克勞琳)級數展開。
6、等階無窮小代換。
B. 高數入門的極限四則運算怎麼做
極限四則運演算法則的前提是兩個極限存在，當有一個極限本身是不存在的，則不能用四則運演算法則。
設limf（x）和limg（x）存在，且令limf（x）=A，limg（x）=B，則有以下運演算法則：
（若條件換為xₙ>yₙ，結論不變）。
4、和實數運算的相容性：譬如：如果兩個數列{xₙ} ，{yₙ} 都收斂，那麼數列{xₙ+yₙ}也收斂，而且它的極限等於{xₙ} 的極限和{yₙ} 的極限的和。
5、與子列的關系：數列{xₙ} 與它的任一平凡子列同為收斂或發散，且在收斂時有相同的極限；數列{xₙ} 收斂的充要條件是：數列{xₙ} 的任何非平凡子列都收斂。
C. 高等數學中幾種求極限的方法
極限是微積分中的一條主線，是學好微積分的重要前提條件。而此問題一般來說比較困難，要根據具體情況進行具體分析和處理，方法很多比較凌亂。以下是我搜索整理的高等數學中幾種求極限的方法，供參考借鑒！
一、由定義求極限
極限的本質――既是無限的過程，又有確定的結果。一方面可從函數的變化過程的趨勢抽象得出結論，另一方面又可從數學本身的邏輯體系下驗證其結果。
然而並不是每一道求極限的題我們都能通過直觀觀察總結出極限值，因此由定義法求極限就有一定的局限性，不適合比較復雜的題。
二、利用函數的連續性求極限
此方法簡單易行但不適合於f(x)在其定義區間內是不連續的函數，及f(x)在x0處無定義的情況。
三、利用極限的四則運演算法則和簡單技巧求極限
極限四則運演算法則的條件是充分而非必要的，因此，利用極限四則運演算法則求函數極限時，必須對所給的函數逐一進行驗證它是否滿足極限四則運演算法則條件。滿足條件者，方能利用極限四則運演算法則進行求之，不滿足條件者，不能直接利用極限四則運演算法則求之。但是，並非不滿足極限四則運演算法則條件的函數就沒有極限，而是需將函數進行恆等變形，使其符合條件後，再利用極限四則運演算法則求之。而對函數進行恆等變形時，通常運用一些簡單技巧如拆項，分子分母同乘某一因子，變數替換，分子分母有理化等等。
四、利用兩邊夾定理求極限
定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，則limZ=A
兩邊夾定理應用的關鍵：適當選取兩邊的函數(或數列)，並且使其極限為同一值。
注意：在運用兩邊夾定理求極限時要保證所求函數(或數列)通過放縮後所得的.兩邊的函數(或數列)的極限是同一值，否則不能用此方法求極限。
五、利用單調有界原理求極限
單調有界准則即單調有界數列必定存在極限。使用單調有界准則時需證明兩個問題：一是數列的單調性，二是數列的有界性;求極限時，在等式的兩邊同時取極限，通過解方程求出合理的極限值。
利用單調有界原理求極限有兩個難點：一是證明數列的單調性，二是證明數列的有界性，在證明數列的單調性和數列的有界性時，我們通常都採用數學歸納法。
六、利用等價無窮小代換求極限
在實際計算過程中利用等價無窮小代換法或與其它方法相結合，不失為一種行之有效的方法，但並非計算過程中所有的無窮小量都能用其等價的無窮小量來進行計算。用等價無窮小代換時，只能代換分子、分母中的乘積因子，而不能代換其中的加減法因子。於是用等價無窮小代換的問題便集中到對瞎芹緩於分子、分母中的加減法因子如何進行x的等價無窮小代換這一點上，在利用等價無窮小代換的方法求極限時必須把分子(或分母)看作一個整體，用整個分子(或分母)的等價無窮小去代換。
七、利用泰勒展式求極限
運用等價無窮小代換方法求某些極限，往往可以減少計算量，使問題得以簡化。但一般說來，這種方法僅限於求兩個無窮小量是乘或除的極限，而對兩個無窮小量非乘或非除的極限，對於一些未能確定函數極限形態的關系式，不能用洛必達法則及等價無窮小代換方法，須用泰勒公式去求極限。
八、利用級數收斂的必要條件求極限
求極限的方法有很多種，在解題時，這些方法並不是孤立的，常常一個問題需要用到幾種方法。根據題目給出的條件，選擇適當的方法結合使用，能使運算更簡捷，起到事半功倍的效果。首物同時又能加強對微積分知識整體上的深層次認識，對學好微積分是大有裨益的。
分數求極限的方法
1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計算，無窮小直接以0代入；
2、無窮大根式減去無窮大根式時，分子有理化，然後運用(1)中的方法；
3、運用兩個特別極限；
4、運用洛必達法則，但是洛必達法則的運用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小比無窮小，分子分母還必須是連續可導函數。它不是所向無敵，不可以代替其他所有方法，一樓言過其實。
5、用Mclaurin(麥克勞琳)級數展開，而國內普遍誤譯為Taylor(泰勒)展開。
6、等階無窮小代換，這種方法在國內甚囂塵上，國外比較冷靜。因為一要死背，不是值得推廣的教學法；二是經常會出錯，要特別小心。
7、夾擠法。這不是普遍方法，因為不可能放磨模大、縮小後的結果都一樣。
8、特殊情況下，化為積分計算。
9、其他極為特殊而不能普遍使用的方法。
D. 高數中的極限如何求
一、利用極限四則運演算法則求極限
函數極限的四則運演算法則：設有函數，若在自變數f（x），g（x）的同一變化過程中，有limf（x）=A，limg（x）=B，則
lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B
lim［f（x）・g（x）］=limf（x）・limg（x）=A・B
lim==（B≠0）
（類似的有數列極限四則運演算法則）現以討論函數為例。
對於和、差、積、商形式的函數求極限，自然會想到極限四則運散搏演算法則，但使用這些法則，往往要根據具體的函數特點，先對函數做某些恆等變形或化簡，再使用極限的四則運演算法則。方法有：
1.直接代入法
對於初等函數f（x）的極限f（x），襲掘散若f（x）在x點處的函數值f（x）存在，則f（x）=f（x）。
直接代入法的本質就是只要將x=x代入函數表達式，若有意義，其極限就是該函數值。
2.無窮大與無窮小的轉換法
在相同的變化過程中，若變數不取零值，則變數為無窮大量?圳它的倒數為無窮小量。對於某些特殊極限可運用無窮大與無窮小的互為倒數關系解決。
（1）當分母的極限是「0」，而分子的極限不是「0」時，不能直接用極限的商的運演算法則，而應利用無窮大與無窮小的互為倒數的關系，先求其的極限，從而得出f（x）的極限。
（2）當分母的極限為∞，分子是常量時，則f（x）極限為0。
3.除以適當無窮大法
對於極限是「」型，不能直接用極限的商的運演算法則，必須先將分母和分子同時除以一個適當的無窮大量x。
4.有理化法
適用於帶根式的極限。
二、利用夾逼准則求極限
函數極限的夾逼定理：設函數f（x），g（x），h（x），在x的某一去心鄰域內（或|x|＞N）有定義，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），則g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（類似的可以得數列極限的夾逼定理）
利用夾逼准則關鍵在於選用合適的不等式。
三、利用單調有界准則求極限
單調有界准則：單調有界數列必有極限。首先常用數學歸納法討論數列的單調性和有界性，再求解方程，可求出極限。
四、利用等價無窮小代換求極限
常見等價無窮小量的例子有：當x→0時，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。
等價無窮小的代換定理：設α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自變數x在同一變化過程中的無窮小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，則lim=lim。
五、利用無窮小量拍氏性質求極限
在無窮小量性質中，特別是利用無窮小量與有界變數的乘積仍是無窮小量的性質求極限。
六、利用兩個重要極限求極限
使用兩個重要極限=1和（1+)=e求極限時，關鍵在於對所給的函數或數列作適當的變形，使之具有相應的形式，有時也可通過變數替換使問題簡化。
七、利用洛必達法則求極限
如果當x→a（或x→∞）時，兩個函數f（x）與g（x）都趨於零或趨於無窮小，則可能存在，也可能不存在，通常將這類極限分別稱為「」型或「」型未定式，對於該類極限一般不能運用極限運演算法則，但可以利用洛必達法則求極限。
E. 高等數學求極限的方法總結
1. 代入法， 分母極限不為零時使用。先考察分母的極限，分母極限是不為零的常數時即用此法。
【例1】lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
解：lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
=(3-3)/(9+3+1)=0
【例2】lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx
解：lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx
=(lg1+e^0)/arccos0
=(0+1)/1
=1
2. 倒數法，分母極限為零，分子極限為不等於零的常數時使用。
【例3】 lim[x-->1]x/(1-x)
解：∵lim[x-->1] (1-x)/x=0 ∴lim[x-->1] x/(1-x)= ∞
以後凡遇分銀指母極限為零，分子極限為不等於零的常數時，可直接將其極限寫作∞。
3. 消去零因子（分解因式）法，分母極限為零，分子極限也為零，且可分解因式時使用。
【例4】 lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
解：lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
=lim[x-->1](x-1)^2/[x(x^2-1)
=lim[x-->1](x-1)/x
=0
【例5】lim[x-->-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)
解：lim[x-->-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)
= lim[x-->-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)]
= lim[x-->-2]x(x+1) / (x-3)
=-2/5
【例6】lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
解：lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
= lim[x-->1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]
= lim[x-->1](x-2) /[(x-1)
=∞
【例7】lim[h-->0][(x+k)^3-x^3]/h
解：lim[h-->0][(x+h)^3-x^3]/h
= lim[h-->0][(x+h) –x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h
= lim[h-->0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2]
=2x^2
這實際上是為將來的求導數做准備。
4. 消去零因子（有理化）法，分母極限為零，分子極限也為零，不可分解，但可有理化時使用。可利用平方差、立方差、立方和進行有理化。
【例8】lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x
解：lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x
= lim[x-->0][√1+x^2]-1] [√檔信1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0][ 1+x^2-1] /｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0] x / [√1+x^2]+1]
=0
【例9】lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
解：lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
=lim[x-->-8][√(1-x)-3] [√(1-x)+3] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]
÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)] [√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8](-x-8) [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3]
=-2
5. 零因子替換法。利用第一個重要極限：lim[x-->0]sinx/x=1，分母極限為零，分子極限也為零，不可分解，不可有理化，但出現或可化為sinx/x時使用。常配合利用三角函數公式。
【例10】lim[x-->0]sinax/sinbx
解：lim[x-->0]sinax/sinbx
= lim[x-->0]sinax/(ax)*lim[x-->0]bx/sinbx*lim[x-->0]ax/(bx)
=1*1*a/b=a/b
【例11】lim[x-->0]sinax/tanbx
解：lim[x-->0]sinax/tanbx
= lim[x-->0]sinax/ sinbx*lim[x-->0]cosbx
=a/b
6. 無窮轉換法，分母、分子出現無窮大時使用，常常借用無窮大和無窮小的性質。
【例12】lim[x-->∞]sinx/x
解：∵x-->∞ ∴1/x是無窮小量
∵|sinx|<=1, 是有界量 ∴sinx/x=sinx* 1/x是無窮小量
從而：lim[x-->∞]sinx/鋒蠢配x=0
【例13】lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
解：lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
= lim[x-->∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2)
=1/2
【例14】lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)
解：lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)
=lim[n-->∞][n( n+1)/2]/(2n^2-n-1)
=lim[n-->∞][ (1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)
=1/4
【例15】lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
解：lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
= lim[x-->∞][(2x-3)/ (5x+1)]^20[(3x+2)/ (5x+1)]^30
= lim[x-->∞][(2-3/x)/ (5+1/ x)]^20[(3+2/ x)/ (5+1/ x)]^30
=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50
F. 高等數學求極限有哪些方法
1、其一，常用的顫哪羨極限延伸，如：lim(x->0)(1+x)^1/x=e，lim(x->0)sinx/x=1。極限論是數學分析的基礎，極限問題緩蠢是數學分析中的主要問題之一，中心問題有兩個：一是證明極限存在，極限問題是數學分析中的困難問題之一；二是求極限的值。
2、其二，羅比達法則，如0/0,oo/oo型，或能化成上述兩種情況的類型題目。兩個問題有密切的關系：若求出了極限的值，自然極限的存在性也被證明。
3、其三，泰勒展開，這類題目如有sinx，cosx，ln(1+x)等等可以邁克勞林展開為關於x的多項式。反之，證明了存在性，常常也就為計算極限鋪平了道路。本文主要概括了人們常用的求極限值的若干方法，更多的方法，有賴於人們根據具體情況進行具體的分析和處理。
4、等價無窮小的轉化， （只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 但是前提是必須證明拆分後極限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等價於Ax 等等 。（x趨近無窮的時候還原成無窮小）。
5、知道Xn與Xn+1的關系， 已知Xn的極限存在的情況下， xn的極限與xn+1的極限時一樣的 ，應為極限去掉有限項目茄拍極限值不變化。
G. 極限的四則運演算法則是什麼
極限的四則運演算法則是:
極限四則運演算法則的前提是兩個極限存在，當有一個極限本身是不存在的，則不能用四則運演算法則。設limf(x)和limg(x)存在，且令limf(x)=A，limg(x)=B。
四則運算是指加法、減法、乘法和除法四種運算。四則運算是小學數學的重要內容，也是學習其它各有關知識的基礎。
在極限都存在的情況下，和差積商的極限，等於極限的和差積商。用數學的話表達就是：
lim(A+B)limA+limB
lim(A-B)=limA-limB
limAB=limA×limB
lim(A/B)limA/limB
前提是以上各個極限都存在。
H. 高數中關於函數極限的法則
極限是高等數學的基礎，要學清楚。
設f:(a,+∞)→R是一個一元實值函數，a∈R.如果對於任意給定的ε>0，存在正數X，使得對於適合不等式x>X的一切x，所對應的函數值f(x)都滿足不等式. │f(x)-A│<ε , 則稱數A為函數f(x)當x→+∞時的極限，記作 f(x)→A(x→+∞). 例y=1/x，x→+∞時極限為y=0 函數極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函數極限的定義上完成的。 極限符號可記為lim。
函數極限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而運用ε-δ定義更多的見諸於已知極限值的證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。以x→Xo 的極限為例，f(x) 在點Xo 以A為極限的定義是： 對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數δ ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時，對應的函數值f(x)都滿足不等式： |f(x)-A|<ε ，那麼常數A就叫做函數f(x)當 x→x。時的極限。 問題的關鍵在於找到符合定義要求的 ，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。詳見附例1。 函數極限性質的合理運用。常用的函數極限的性質有函數極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數極限的運演算法則和復合函數的極限等等。如函數極限的唯一性（若極限 存在，則在該點的極限是唯一的）
有些函數的極限很難或難以直接運用極限運演算法則求得，需要先判定。下面介紹幾個常用的判定數列極限的定理。 1.夾逼定理：（1）當x∈U(Xo,r)(這是Xo的去心鄰域，有個符號打不出）時，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立 （2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那麼，f(x)極限存在，且等於A 不但能證明極限存在，還可以求極限，主要用放縮法。 2.單調有界准則：單調增加（減少）有上（下)界的數列必定收斂。 在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函數 的極限值。 3.柯西准則 數列收斂的充分必要條件是任給ε>0,存在N(ε),使得當n>N,m>N時，都有|am-an|<ε成立。