向量的運演算法則

⑴ 向量的加減乘除怎麼算

1、向量的加法：滿足平行四邊形法則和三角形法則，即

(1)向量的運演算法則擴展閱讀：

一、向量加法的運算律：

1、交換律：a+b=b+a；

2、結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

3、加減變換律：a+(-b)=a-b

4、向量的加減乘（向量沒有除法）運算滿足實數加減乘運演算法則。

二、向量的數乘規律：

1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)²≠a²·b²。

2、向量的數量積不滿足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。

參考資料來源：網路--向量

⑵ 向量的計演算法則

1、向量的加法

向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

向量的加法OB+OA=OC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a；
結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0

向量的減法
AB-AC=CB. 即「共同起點，指向被

向量的減法減」
a=(x,y)b=(x',y') 則a-b=(x-x',y-y').
3、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
當λ＞0時，λa與a同方向；

向量的數乘
當λ＜0時，λa與a反方向；

向量的數乘當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。
註：按定義知，如果λa=0，那麼λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；
當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那麼a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那麼λ=μ。
4、向量的數量積
定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π
定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量，記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共線，則a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數量積的坐標表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的數量積的運算律
a·b=b·a（交換律）；
(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)；
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；
向量的數量積的性質
a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）
向量的數量積與實數運算的主要不同點
1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
5、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b（這里並不是乘號，只是一種表示方法，與「·」不同，也可記做「∧」）。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直於a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
向量的向量積性質：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。
向量的向量積運算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
a×（b+c）=a×b+a×c.
註：向量沒有除法，「向量AB/向量CD」是沒有意義的。
6、三向量的混合積

向量的混合積
定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數量積(a×b)·c，

向量的混合積所得的數叫做三向
量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
混合積具有下列性質：
1、三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等於以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，並且當a、b、c構成右手系時混合積是正數；當a、b、c構成左手系時，混合積是負數，即(abc)=εV（當a、b、c構成右手系時ε=1；當a、b、c構成左手系時ε=-1）
2、上性質的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0
3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
4、(a×b)·c=a·(b×c)

⑶ 向量的加減乘除運演算法則是什麼

向量的減法：如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0OA-OB=BA.即「共同起點，指向被減」，例如：a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，則a-b=(x1-x2,y1-y2)。

向量的乘法：實數λ和向量a的叉乘乘積是一個向量，記作λa，且|λa|=|λ|*|a|。當λ>0時，λa的方向與a的方向相同。

向量加法的運算律：

1、交換律：a+b=b+a；

2、結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

3、加減變換律：a+(-b)=a-b

4、向量的加減乘（向量沒有除法）運算滿足實數加減乘運演算法則。

⑷ 向量的乘法法則

（1）實數與向量的運演算法則：設、為實數，則有：

1）結合律：。

2）分配律：，。

（2）向量的數量積運演算法則：

1）。

2）。

3）。

（3）平面向量的基本定理。

是同一平面內的兩個不共線向量，則對於這一平面內的任何一向量，有且僅有一對實數，滿足。

（4）與的數量積的計算公式及幾何意義：，數量積等於的長度與在的方向上的投影的乘積。

（5）平面向量的運演算法則。

1）設＝，＝，則+＝。

2）設＝，＝，則-＝。

3）設點A，B，則。

4）設＝，則＝。

5）設＝，＝，則＝。

（6）兩向量的夾角公式：

（＝，＝）。

（7）平面兩點間的距離公式：

＝（A，B）。

（8）向量的平行與垂直：設＝，＝，且0，則有：

1）||＝。

2） （0）·＝0。

（9）線段的定比分公式：

設，，是線段的分點，是實數，且，則

（）。

（10）三角形的重心公式：

△ABC三個頂點的坐標分別為、、，則△ABC的重心的坐標為。

（11）平移公式：

。

（12）關於向量平移的結論。

1）點按向量＝平移後得到點。

2）函數的圖像按向量＝平移後得到圖像:。

3）圖像按向量＝平移後得到圖像:，則為。

4）曲線:按向量＝平移後得到圖像:。

設a=（x，y），b=(x'，y')。

⑸ 向量的運算

設a=（x1,y1），b=（x2,y2）。 向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。OB+OA=OC。
a+b=( ， )。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a；
結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0
OA-OB=BA.即「共同起點，指向被減」
a=(x,y)b=(x',y') 則a-b=(x-x',y-y').
如圖：c=a-b 以b的結束為起點，a的結束為終點。
交換律：a+(-b)=a-b 實數λ和向量a的叉乘乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。
當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ=0時，λa=0，方向任意。當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。
註：按定義知，如果λa=0，那麼λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣>1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸長為原來的∣λ∣倍
當∣λ∣<1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上縮短為原來的∣λ∣倍。
實數p和向量a的點乘乘積是一個數。
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那麼a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那麼λ=μ。
需要注意的是：向量的加減乘除運算滿足實數加減乘除運演算法則。 定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b，則∠AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作θ並規定0≤θ≤π
定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量（沒有方向），記作a·b。若a、b不共線，則；若a、b共線，則。
向量的數量積的坐標表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的數量積的運算律
a·b=b·a（交換律）
(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）
向量的數量積的性質
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）
向量的數量積與實數運算的主要不同點
1．向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)²≠a²·b²。
2．向量的數量積不滿足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。
3．|a·b|與|a|·|b|不等價
4．由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反過來則成立。 定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b（這里「×」並不是乘號，只是一種表示方法，與「·」不同，也可記做「∧」）。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直於a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b垂直，則∣a×b∣=|a|*|b|（此處與數量積不同，請注意），若a×b=0，則a、b平行。向量積即兩個不共線非零向量所在平面的一組法向量。 運演算法則：運用三階行列式
設a,b,c分別為沿x,y,z軸的單位向量
A=(x1,y1,z1)B=（x2,y2,z2）則A*B=
a b c
x1 y1 z1
x2 y2 z2
向量的向量積性質：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a平行b〈=〉a×b=0
向量的向量積運算律
a×b=－b×a
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）
a×（b+c）=a×b+a×c.
（a+b）×c=a×c+b×c.
上兩個分配律分別稱為左分配律和右分配律。在演算中應注意不能交換「×」號兩側向量的次序。
如：a×（2b）=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是錯誤的！
註：向量沒有除法，「向量AB/向量CD」是沒有意義的。 定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數量積(a×b)·c，所得的數叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
混合積具有下列性質：
1．三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等於以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，並且當a、b、c構成右手系時混合積是正數；當a、b、c構成左手系時，混合積是負數，即(abc)=εV（當a、b、c構成右手系時ε=1；當a、b、c構成左手系時ε=-1）
2．上性質的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0
3．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

例題
正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相連，L是EH中點，求證LB⊥GK？
設AE=a﹙向量﹚, AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'﹙*﹚EH=-a+c+c'+b LB=EH/2-b-c=﹙-a-c+c'-b﹚/2, GK=-a'+c'+c+b'從﹙*﹚：﹙-a-c+c'-b﹚·﹙-a'+c'+c+b'﹚=……=0. ∴LB⊥GK 由於二重向量叉乘的計算較為復雜，於是直接給出了下列化簡公式以及證明過程：
給定空間內四個向量a、b、c、d，則這四個向量之間滿足如下關系：
證明：
由混合積的性質可知
（即把c×d看成一個新的向量e，利用性質(a×b)·e=a·(b×e)）
再根據二重向量積的性質可知

該公式可用於證明三維的柯西不等式

證明：令公式中a=c、b=d，則：

設 ，那麼：

即
等號成立的條件是 ，即a、b共線（ 或b=0）

⑹ 向量的加減乘除運演算法則是什麼

向量量是指具有方向和大小的量，它的線段長度是大小，向量有三角形法則和是四邊形形法則，另外，向量只有加減運算，沒有乘除關系。

⑺ 向量的運演算法則是什麼

一、向量的概念
日常中我們所遇到的量可以分為兩類：一類量用一個數值便可以完全表示，比如面積、溫度、時間或質量等都屬於這一類，這一類質量稱為數量（或標量）；另一類量，除了要用一個數以外，還要指明它的方向才能夠完全表示,比如速度、加速度、力等都屬於這一類，這一類的量稱
為向量（或矢量）。
向量可以用一條有向線段形象地表示，線段的方向表示向量的方向，它的長度稱為向量的模。向量常記為(a→)，(b→)或a,
b等，有時也用(A→B)表示一個向量，A是起點，B是終點。從A到B的指向表示(a→)的方向。向量(A→B)的模記作|(A→B)|。模等於零的向量叫做零向量，記作0或(0→)。零向量的方向可以看作是任意的。模等於1的向量叫做單位向量。對於非零向量(a→)，我們用(a(0)→)表示a同向的單位向量，簡稱為a的單位向量。在直角坐標系中，向量(O→M)
叫做點M的向徑，記做r或(r→)
。於是空間每一點M，對應著一個向徑
；反之，每一向徑r，對應著一個確定的點M。兩個向量的方向相同、模相等時，稱它們是相等的向量，記作(a→)
=(b→)
。因此，一個向量經過平移後與原向量相等。與的模相同而方向相反的向量叫做
的負向量，記作(a→)=-(c→)
。
二、向量及運算
1、向量的加法
兩向量(O→A)
與(O→B)的和，是以這兩向量做相鄰兩邊的平行四邊形的對角線向量(O→C)
，記作(O→A)+(O→B)=(O→C)
這種方法叫做向量加法的平行四邊形法則，由於平行四邊形的對邊平行且相等，我們還可以這樣來作出兩向量的和：作
(O→A)=(a→)。以(a→)的終點為起點作(b→)=(A→C)
，連接OC
，就得(O→C)
。這一方法叫做向量加法的三角形法則。向量的加法滿足交換律、結合律。如設有向量(a→)
，(b→)
即有(a→)+(b→)=(b→)+(a→)
[(a→)+(b→)]+(c→)=(a→)+[(b→)+(c→)]。
特別地，若(a→)
與(b→)
共線（平行或在同一條直線上），則規定它們的和是這一個向量：當(a→)
與(b→)
的指向相同時，和向量的方向與原來兩向量的方向相同，其模等於兩向量的模的和；當(a→)
與(b→)
的指向相反時，和向量的方向與較長的向量的方向相同，而模等於較大向量的模減去較小向量的模。
2.向量的減法
減法是加法的逆運算，若(b→)+(c→)=(a→)
，則定義(c→)
為向量(a→)
與(b→)
之差，記作(c→)=(a→)-(b→)。
由於(a→)+[-(b→)]=(a→)-(b→)
，所以由加法的法則可得減法的相應法則：以(a→)及-(b→)
為鄰邊作平行四邊形，則對角線向量就是(c→)
。若(a→)
與(-b→)
的起點相同，由(b→)
的終點到(a→)
的終點所成的向量也為(a→)-(b→)。此法則稱為減法的三角形法則。

⑻ 向量點乘運演算法則

點乘，也叫向量的內積、數量積。運演算法則為向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>叉乘，也叫向量的外積、向量積。運演算法則為|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b> 1運演算法則 點乘 點乘，也叫向量的內積、數量積。顧名思義，求下來的結果是一個數。 向量a·向量b=|a||b|cos<a,b> 在物理學中，已知力與位移求功，實際上就是求向量F與向量s的內積，即要用點乘叉乘 叉乘，也叫向量的外積、向量積。顧名思義，求下來的結果是一個向量，記這個向量為c。 |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b> 量c的方向與a,b所在的平面垂直，且方向要用「右手法則」判斷（用右手的四指先表示向量a的方向，然後手指朝著手心的方向擺動到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。因此向量的外積不遵守乘法交換率，因為向量a×向量b=-向量b×向量a在物理學中，已知力與力臂求力矩，就是向量的外積，即叉乘2幾何意義 點乘的幾何意義 可以用來表徵或計算兩個向量之間的夾角，以及在b向量在a向量方向上的投影。 叉乘的幾何意義 在三維幾何中，向量a和向量b的叉乘結果是一個向量，更為熟知的叫法是法向量，該向量垂直於a和b向量構成的平面。 在3D圖像學中，叉乘的概念非常有用，可以通過兩個向量的叉乘，生成第三個垂直於a，b的法向量，從而構建X、Y、Z坐標系

⑼ 向量運演算法則

空間向量運演算法則：已知向量a,b的空間坐標，那麼向量a+向量b=？向量a-向量b=？
向量a·向量b=？
設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
a·b=a1b1+a2b2+a3b3