迭代演算法的收斂速度

A. 如何比較雅可比和塞德爾迭代收斂快慢

一：牛頓潮流演算法的特點 1）其優點是收斂速度快，若初值較好，演算法將具有平方收斂特性，一般迭代4～5 次便可以 收斂到非常精確的解，而且其迭代次數與所計算網路的規模基本無關。 2）牛頓法也具有良好的收斂可靠性，對於對高斯-塞德爾法呈病態的系統，牛頓法均能可靠 地斂。 3）初值對牛頓法的收斂性影響很大。解決的辦法可以先用高斯-塞德爾法迭代1～2 次，以 此迭代結果作為牛頓法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次求得一個較好的角度初值， 然後轉入牛頓法迭代。 PQ法特點： (1)用解兩個階數幾乎減半的方程組（n-1 階和n-m-1 階）代替牛頓法的解一個(2n-m-2)階方程 組，顯著地減少了內存需求量及計算量。 (2)牛頓法每次迭代都要重新形成雅可比矩陣並進行三角分解，而P-Q 分解法的系數矩陣 B』 和B』』是常數陣，因此只需形成一次並進行三角分解組成因子表，在迭代過程可以反復應用， 顯著縮短了每次迭代所需的時間。 (3)雅可比矩陣J 不對稱，而B』和B』』都是對稱陣，為此只要形成並貯存因子表的上三角或下 三角部分，減少了三角分解的計算量並節約了內存。由於上述原因，P-Q 分解法所需的內存 量約為牛頓法的60%，而每次迭代所需時間約為牛頓法的1/5。

B. 電力系統分析，利用 P—Q 分解法和牛頓—拉夫遜法進行潮流計算，二者的收斂速度是（ B ） 。 A

收斂速度是指迭代次數，牛拉法的迭代次數比PQ法少，所以收斂速度快。

不同情況兩種方法收斂速度不同。

牛頓—拉夫遜法比較通用，但是收斂速度不高，但基本所有問題都通用；P—Q 分解法適用於有P-Q能分解開的情況，適用面沒有牛頓—拉夫遜法廣，但是一旦可以適用，則收斂速度比較快。

(2)迭代演算法的收斂速度擴展閱讀：

迭代法也稱輾轉法，是一種不斷用變數的舊值遞推新值的過程，跟迭代法相對應的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性解決問題。迭代演算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）重復執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變數的原值推出它的一個新值。

C. 怎麼判斷不同迭代格式的收斂性和收斂速度

對各個迭代式求導，代入附近的猜測值（此處代入1.5），看起倒數的絕對值是否小於1，小於1則收斂，大於則發散。倒數值越小收斂速度越快。

設已知 f(x) = 0 有根 a，f(x) 充分光滑(各階導數存在且連續)

若 f'(a) != 0(單重零點)，則初值取在a的某個鄰域內時，迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n])得到的序列 x[n] 總收斂到a，且收斂速度至少是二階的。

若 f'(a) == 0(多重零點)，則初值取在a的某個鄰域內時，收斂速度是一階的。

(3)迭代演算法的收斂速度擴展閱讀：

迭代法的主要研究課題是對所論問題構造收斂的迭代格式，分析它們的收斂速度及收斂范圍。迭代法的收斂性定理可分成下列三類：

①局部收斂性定理：假設問題解存在，斷定當初始近似與解充分接近時迭代法收斂；

②半局部收斂性定理：在不假定解存在的情況下，根據迭代法在初始近似處滿足的條件，斷定迭代法收斂於問題的解；

③大范圍收斂性定理：在不假定初始近似與解充分接近的條件下，斷定迭代法收斂於問題的解。

迭代法在線性和非線性方程組求解，最優化計算及特徵值計算等問題中被廣泛應用。

D. 如何比較高斯迭代法與雅克比迭代法哪一個收斂的更快

高斯迭代法可看作是雅克比迭代法的一種修正。兩者的收斂速度在不同條件下不同，不能直接比較，即使在同樣條件下，有可能對於同樣的系數矩陣出現一種方法收斂，一種方法發散。

E. 簡化牛頓迭代法收斂的證明

牛頓迭代法收斂有如下定理：

設已知 f(x) = 0 有根 a,f(x) 充分光滑(各階導數存在且連續).

若 f'(a) != 0(單重零點),則初值取在 a 的某個鄰域內時,迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到

序列 x[n] 總收斂到 a,且收斂速度至少是二階的.

若 f'(a) == 0(多重零點),則初值取在 a 的某個鄰域內時,收斂速度是一階的.

記 g(x)=x-f(x)/f'(x),其中"某個鄰域"可由 |g'(x)|

(5)迭代演算法的收斂速度擴展閱讀：

利用迭代演算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：

一、確定迭代變數

在可以用迭代演算法解決的問題中，至少存在一個可直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變數，這個變數就是迭代變數。

二、建立迭代關系式

所謂迭代關系式，指如何從變數的前一個值推出其下一個值的公式（或關系）。迭代關系式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。

三、對迭代過程進行控制

在什麼時候結束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：

一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制；對於後一種情況，需要進一步分析得出可用來結束迭代過程的條件。

F. 迭代法的收斂速度有哪幾個衡量標准

咨詢記錄 · 回答於2021-12-08