用prim演算法
1. 利用Prim（普里姆）演算法 構造最小生成樹 程序
演算法同樣是解決最小生成樹的問題。
其演算法為：在這n個點中的相通的邊進行排序，然後不斷地將邊添加到集合中（體現了貪心的演算法特點），在並入集合之前，必須檢查一下這兩點是不是在一個集合當中，這就用到了並查集的知識。直到邊的集合達到了n-1個。
與prim演算法的不同：prim演算法為單源不斷尋找連接的最短邊，向外擴展，即單樹形成森林。而Kruskal演算法則是不斷尋找最短邊然後不斷將集合合並，即多樹形成森林。
復雜度的不同：prim演算法的復雜度是O(n^2),其中n為點的個數。Kruskal演算法的復雜度是O(e*loge)，其中e為邊的個數。兩者各有優劣，在不同的情況下選擇不同的演算法。
Prim演算法用於求無向圖的最小生成樹
設圖G =（V，E），其生成樹的頂點集合為U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的邊(u，v)∈E中找一條最小權值的邊，加入生成樹。
③、把②找到的邊的v加入U集合。如果U集合已有n個元素，則結束，否則繼續執行②。
其演算法的時間復雜度為O(n^2)
Prim演算法實現：
（1）集合：設置一個數組set(i=0,1,..,n-1),初始值為 0,代表對應頂點不在集合中（注意：頂點號與下標號差1）
（2）圖用鄰接陣表示，路徑不通用無窮大表示，在計算機中可用一個大整數代替。
{先選定一個點，然後從該點出發，與該點相連的點取權值最小者歸入集合，然後再比較在集合中的兩點與其它各點的邊的權值最小者，再次進入集合，一直到將所有的點都歸入集合為止。}
2. 用PRIM演算法
A.Prim演算法： procere prim(v0:integer); var lowcost,closest:array[1..maxn] of integer; i,j,k,min:integer; begin for i:=1 to n do begin lowcost[i]:=cost[v0,i];closest[i]:=v0; end; for i:=1 to n-1 do begin {尋找離生成樹最近的未加入頂點k} min:=maxlongint; for j:=1 to n do if (lowcost[j]< min) and (lowcost[j]< >0) then begin min:=lowcost[j]; k:=j; end; lowcost[k]:=0; {將頂點k加入生成樹} {生成樹中增加一條新的邊k到closest[k]} {修正各點的lowcost和closest值} for j:=1 to n do if cost[k,j]< lwocost[j] then begin lowcost[j]:=cost[k,j]; closest[j]:=k; end; end; end;{prim} http://wenwen.soso.com/z/q121356151.htm?w=prim%CB%E3%B7%A8+pascal&spi=1&sr=1&w8=prim%E7%AE%97%E6%B3%95+pascal&qf=10&rn=1&qs=4
3. 什麼是Prim演算法
Prim演算法
Prim演算法用於求無向圖的最小生成樹
設圖G =（V，E），其生成樹的頂點集合為U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的邊(u，v)∈E中找一條最小權值的邊，加入生成樹。
③、把②找到的邊的v加入U集合。如果U集合已有n個元素，則結束，否則繼續執行②。
其演算法的時間復雜度為O(n^2)
Prim演算法實現：
（1）集合：設置一個數組set[i](i=0,1,..,n-1),初始值為 0,代表對應頂點不在集合中（注意：頂點號與下標號差1）
（2）圖用鄰接陣表示，路徑不通用無窮大表示，在計算機中可用一個大整數代替。
參考程序
/* Prim.c
Copyright (c) 2002, 2006 by ctu_85
All Rights Reserved.
*/
/* The impact of the situation of articulation point exists can be omitted in Prim algorithm but not in Kruskal algorithm */
#include "stdio.h"
#define maxver 10
#define maxright 100
int main()
{
int G[maxver][maxver],in[maxver]=,path[maxver][2];
int i,j,k,min=maxright;
int v1,v2,num,temp,status=0,start=0;
restart:
printf("Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n");
scanf("%d",&num);
if(num>maxver||num<0)
{
printf("Error!Please reinput!\n");
goto restart;
}
for(j=0;j<num;j++)
for(k=0;k<num;k++)
{
if(j==k)
G[j][k]=maxright;
else
if(j<k)
{
re:
printf("Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n",j+1,k+1);
scanf("%d",&temp);
if(temp>=maxright||temp<-1)
{
printf("Invalid input!\n");
goto re;
}
if(temp==-1)
temp=maxright;
G[j][k]=G[k][j]=temp;
}
}
for(j=0;j<num;j++)
{
status=0;
for(k=0;k<num;k++)
if(G[j][k]<maxright)
{
status=1;
break;
}
if(status==0)
break;
}
do
{
printf("Please enter the vertex where Prim algorithm starts:");
scanf("%d",&start);
}while(start<0||start>num);
in[start-1]=1;
for(i=0;i<num-1&&status;i++)
{
for(j=0;j<num;j++)
for(k=0;k<num;k++)
if(G[j][k]<min&&in[j]&&(!in[k]))
{
v1=j;
v2=k;
min=G[j][k];
}
if(!in[v2])
{
path[i][0]=v1;
path[i][1]=v2;
in[v1]=1;
in[v2]=1;
min=maxright;
}
}
if(!status)
printf("We cannot deal with it because the graph is not connected!\n");
else
{
for(i=0;i<num-1;i++)
printf("Path %d:vertex %d to vertex %d\n",i+1,path[i][0]+1,path[i][1]+1);
}
return 1;
}
Prim演算法。
設圖G =（V，E），其生成樹的頂點集合為U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的邊(u，v)∈E中找一條最小權值的邊，加入生成樹。
③、把②找到的邊的v加入U集合。如果U集合已有n個元素，則結束，否則繼續執行②。
其演算法的時間復雜度為O(n^2)
參考程序
//Prim 演算法 讀入頂點數(n)、邊數(m)，邊的起始點和權值 用鄰接矩陣儲存
//例如
//7 12 (7個頂點12條邊)
//1 2 2
//1 4 1
//1 3 4
//2 4 3
//2 5 10
//3 4 2
//4 5 7
//3 6 5
//4 6 8
//4 7 4
//5 7 6
//6 7 1
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
int m , n;
int a[201][201] , mark[201] , pre[201] , dist[201];
int s , t , w;
int i , j , k , min , tot;
freopen("Prim.txt" , "r" , stdin);
//讀入數據
memset(a , 0 , sizeof(a));
scanf("%d %d" , &n , &m);
for (i = 0; i < m; i ++)
{
scanf("%d %d %d" , &s , &t , &w);
a[s][t] = w; a[t][s] = w;
}
//賦初值
memset(mark , 0 , sizeof(mark));
memset(pre , 0 , sizeof(pre));
memset(dist , 9999 , sizeof(dist));
dist[1] = 0;
//Prim
for (i = 1; i <= n; i ++)
{
min = 9999; k = 0;
for (j = 1; j <= n; j ++)
if ((mark[j] == 0) && (dist[j] < min)) {min = dist[j]; k = j;}
if (k == 0) break;
mark[k] = 1;
for (j = 1; j <= n; j ++)
if ((mark[j] == 0) && (a[k][j] < dist[j]) && (a[k][j] > 0))
{
dist[j] = a[k][j];
pre[j] = k;
}
}
tot = 0;
for (i = 1; i <= n; i ++) tot += dist[i];
printf("%d\n" , tot);
return 0;
}
4. 怎樣用prim演算法求全部最小生成樹
//prim演算法
#include<iostream>
using namespace std;
#define MAXVEX 10
#define MAX 65000
typedef char VexType;
typedef float AdjType;
struct GraphMatrix
{
VexType vexs[MAXVEX]; //頂點信息
AdjType arcs[MAXVEX][MAXVEX]; //邊信息
int n; //圖的頂點個數
};
struct Edge
{
int start_vex; //邊的起點
int stop_vex; //邊的終點
AdjType weight; //邊的權
};
void edgeCopy(Edge *to,Edge *from)
{
to->start_vex=from->start_vex;
to->stop_vex=from->stop_vex;
to->weight=from->weight;
}
void prim(GraphMatrix *pgraph,Edge *mst)
{
int i,j;
int vx,vy;
int min;
AdjType weight,minweight;
Edge edge;
for(i=0;i<pgraph->n-1;++i)
{
mst[i].start_vex=0;
mst[i].stop_vex=i+1;
mst[i].weight=pgraph->arcs[0][i+1];
}
for(i=0;i<pgraph->n-1;++i)
{
minweight=MAX;
min=i;
for(j=i;j<pgraph->n-1;++j)
if(mst[j].weight<minweight)
{
minweight=mst[j].weight;
min=j;
}
edgeCopy(&edge,&mst[min]);
edgeCopy(&mst[min],&mst[i]);
edgeCopy(&mst[i],&edge);
vx=mst[i].stop_vex;
for(j=i+1;j<pgraph->n-1;++j)
{
vy=mst[j].stop_vex;
weight=pgraph->arcs[vx][vy];
if(weight<mst[j].weight)
{
mst[j].weight=weight;
mst[j].start_vex=vx;
}
}
}
}
5. 用prim演算法求最小生成樹:c語言
把main函數改成：
main(){
GraphMatrix graph = {
"abcd",
{{7,8,Max,15},{12,100,6,20},{Max,100,4,13},{Max,4,8,10}},
};
Edge mst[Max];
int i,j;
prim(graph,mst);
for(j=0;j<Max;j++)
{
printf("%c\t",mst[j].stop_vex);
printf("%c\t",mst[j].start_vex);
printf("%d\n",mst[j].weight);
}
}
還有GraphMatrix結構體里的vexs數組最好定義為vexs[VN+1]給字元串末尾的『\0'留地方。
6. Prim演算法的實現過程
貪心過程.
首先,把圖中的點分成兩種,已連通和未連通的,我把它們分別稱為"黑"和"白"點.
一開始時,圖中全是白點,沒有黑點.演算法的第一步,隨機選出一個白點,染成黑色.
然後開始一個重復的過程:
從當前圖的邊中尋找這樣的一些邊:它的其中一個端點是黑點,而另一個端點是一個白點. 我們可以把這類邊稱為"可擴展邊". 然後演算法需要從所有的可擴展邊之中選出權值最小的一條.把這條可擴展邊加入生成樹之中,且把這條邊的白色端點染成黑色.
重復這個過程,直到全部的節點都為黑色.
演算法可以優化的地方是,在選擇權值最小的可行邊時可以使用堆.
7. 利用PRIM演算法生成最小生成樹
普里姆演算法. 普里姆演算法在找最小生成樹時，將頂點分為兩類，一類是在查找的過程中已經包含在樹中的（假設為 A 類），剩下的是另一類（假設為 B 類）。. 對於給定的連通網，起始狀態全部頂點都歸為 B 類。. 在找最小生成樹時，選定任意一個頂點作為起始點，並將之從 B 類移至 A 類；然後找出 B 類中到 A 類中的頂點之間權值最小的頂點，將之從 B 類移至 A 類，如此重復，直到 B 類中沒有頂點為止。. 所走過的頂點和邊就是該連通圖的最小生成樹
8. prim演算法 復雜度
普里姆演算法（Prim演算法），圖論中的一種演算法，可在加權連通圖里搜索最小生成樹。意即由此演算法搜索到的邊子集所構成的樹中，不但包括了連通圖里的所有頂點，且其所有邊的權值之和亦為最小。該演算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克發現；並在1957年由美國計算機科學家羅伯特·普里姆獨立發現；1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該演算法。因此，在某些場合，普里姆演算法又被稱為DJP演算法、亞爾尼克演算法或普里姆－亞爾尼克演算法。
演算法簡單描述
1).輸入：一個加權連通圖，其中頂點集合為V，邊集合為E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x為集合V中的任一節點（起始點），Enew = {},為空；
3).重復下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中選取權值最小的邊<u, v>，其中u為集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合當中，並且v∈V（如果存在有多條滿足前述條件即具有相同權值的邊，則可任意選取其中之一）；
b.將v加入集合Vnew中，將<u, v>邊加入集合Enew中；
4).輸出：使用集合Vnew和Enew來描述所得到的最小生成樹。
時間復雜度
這里記頂點數v，邊數e
鄰接矩陣:O(v2) 鄰接表:O(elog2v)
9. 用Prim演算法求最小生成樹