rsa演算法報告

① RSA演算法介紹

它是第一個既能用於數據加密也能用於數字簽名的演算法。它易於理解和操作，也很流行。演算法的名字以發明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理論上的證明。它經歷了各種攻擊，至今未被完全攻破。

一、RSA演算法 :

首先, 找出三個數, p, q, r,
其中 p, q 是兩個相異的質數, r 是與 (p-1)(q-1) 互質的數......
p, q, r 這三個數便是 private key

接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
這個 m 一定存在, 因為 r 與 (p-1)(q-1) 互質, 用輾轉相除法就可以得到了.....
再來, 計算 n = pq.......
m, n 這兩個數便是 public key

編碼過程是, 若資料為 a, 將其看成是一個大整數, 假設 a < n....
如果 a >= n 的話, 就將 a 表成 s 進位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
則每一位數均小於 n, 然後分段編碼......
接下來, 計算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
b 就是編碼後的資料......

解碼的過程是, 計算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
於是乎, 解碼完畢...... 等會會證明 c 和 a 其實是相等的 :)

如果第三者進行竊聽時, 他會得到幾個數: m, n(=pq), b......
他如果要解碼的話, 必須想辦法得到 r......
所以, 他必須先對 n 作質因數分解.........
要防止他分解, 最有效的方法是找兩個非常的大質數 p, q,
使第三者作因數分解時發生困難.........

<定理>
若 p, q 是相異質數, rm == 1 mod (p-1) (q-1),
a 是任意一個正整數, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
則 c == a mod pq

證明的過程, 會用到費馬小定理, 敘述如下:
m 是任一質數, n 是任一整數, 則 n^m == n mod m
(換另一句話說, 如果 n 和 m 互質, 則 n^(m-1) == 1 mod m)
運用一些基本的群論的知識, 就可以很容易地證出費馬小定理的........

<證明>
因為 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整數
因為在 molo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

1. 如果 a 不是 p 的倍數, 也不是 q 的倍數時,
則 a^(p-1) == 1 mod p (費馬小定理) =& gt; a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理) =& gt; a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q- 1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q- 1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

2. 如果 a 是 p 的倍數, 但不是 q 的倍數時,
則 a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq

3. 如果 a 是 q 的倍數, 但不是 p 的倍數時, 證明同上

4. 如果 a 同時是 p 和 q 的倍數時,
則 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.

這個定理說明 a 經過編碼為 b 再經過解碼為 c 時, a == c mod n (n = pq)....
但我們在做編碼解碼時, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
所以這就是說 a 等於 c, 所以這個過程確實能做到編碼解碼的功能.....

二、RSA 的安全性

RSA的安全性依賴於大數分解，但是否等同於大數分解一直未能得到理論上的證明，因為沒有證明破解 RSA就一定需要作大數分解。假設存在一種無須分解大數的演算法，那它肯定可以修改成為大數分解演算法。目前， RSA 的一些變種演算法已被證明等價於大數分解。不管怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法。現在，人們已能分解多個十進制位的大素數。因此，模數n 必須選大一些，因具體適用情況而定。

三、 RSA的速度

由於進行的都是大數計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上倍，無論是軟體還是硬體實現。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用於少量數據加密。

四、 RSA的選擇密文攻擊

RSA在選擇密文攻擊面前很脆弱。一般攻擊者是將某一信息作一下偽裝( Blind)，讓擁有私鑰的實體簽署。然後，經過計算就可得到它所想要的信息。實際上，攻擊利用的都是同一個弱點，即存在這樣一個事實：乘冪保留了輸入的乘法結構：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

前面已經提到，這個固有的問題來自於公鑰密碼系統的最有用的特徵--每個人都能使用公鑰。但從演算法上無法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是採用好的公鑰協議，保證工作過程中實體不對其他實體任意產生的信息解密，不對自己一無所知的信息簽名；另一條是決不對陌生人送來的隨機文檔簽名，簽名時首先使用 One-Way HashFunction 對文檔作HASH處理，或同時使用不同的簽名演算法。在中提到了幾種不同類型的攻擊方法。

五、RSA的公共模數攻擊

若系統中共有一個模數，只是不同的人擁有不同的e和d，系統將是危險的。最普遍的情況是同一信息用不同的公鑰加密，這些公鑰共模而且互質，那末該信息無需私鑰就可得到恢復。設P為信息明文，兩個加密密鑰為e1和e2，公共模數是n，則：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密碼分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。

因為e1和e2互質，故用Euclidean演算法能找到r和s，滿足：

r * e1 + s * e2 = 1

假設r為負數，需再用Euclidean演算法計算C1^(-1)，則

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

另外，還有其它幾種利用公共模數攻擊的方法。總之，如果知道給定模數的一對e和d，一是有利於攻擊者分解模數，一是有利於攻擊者計算出其它成對的e』和 d』，而無需分解模數。解決辦法只有一個，那就是不要共享模數n。

RSA的小指數攻擊。 有一種提高 RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會使加密變得易於實現，速度有
所提高。但這樣作是不安全的，對付辦法就是e和d都取較大的值。

RSA演算法是第一個能同時用於加密和數字簽名的演算法，也易於理解和操作。RSA是被研究得最廣泛的公鑰演算法，從提出到現在已近二十年，經歷了各種攻擊的考驗，逐漸為人們接受，普遍認為是目前最優秀的公鑰方案之一。RSA的安全性依賴於大數的因子分解，但並沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數分解難度等價。即RSA的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性能如何，而且密碼學界多數人士傾向於因子分解不是NPC問題。 RSA的缺點主要有：A)產生密鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，因而難以做到一次一密。B)分組長度太大，為保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運算代價很高，尤其是速度較慢，較對稱密碼演算法慢幾個數量級；且隨著大數分解技術的發展，這個長度還在增加，不利於數據格式的標准化。目前，SET( Secure Electronic Transaction )協議中要求CA採用比特長的密鑰，其他實體使用比特的密鑰。

② 請較為詳細地描述rsa加密演算法的全過程

RSA演算法非常簡單，概述如下：
找兩素數p和q
取n=p*q
取t=(p-1)*(q-1)
取任何一個數e,要求滿足e<t並且e與t互素（就是最大公因數為1）
取d*e%t==1

這樣最終得到三個數： n d e

設消息為數M (M <n)
設c=(M**d)%n就得到了加密後的消息c
設m=(c**e)%n則 m == M，從而完成對c的解密。
註：**表示次方,上面兩式中的d和e可以互換。

在對稱加密中：
n d兩個數構成公鑰，可以告訴別人；
n e兩個數構成私鑰，e自己保留，不讓任何人知道。
給別人發送的信息使用e加密，只要別人能用d解開就證明信息是由你發送的，構成了簽名機制。
別人給你發送信息時使用d加密，這樣只有擁有e的你能夠對其解密。

rsa的安全性在於對於一個大數n，沒有有效的方法能夠將其分解
從而在已知n d的情況下無法獲得e；同樣在已知n e的情況下無法
求得d。

rsa簡潔幽雅，但計算速度比較慢，通常加密中並不是直接使用rsa 來對所有的信息進行加密，
最常見的情況是隨機產生一個對稱加密的密鑰，然後使用對稱加密演算法對信息加密，之後用
RSA對剛才的加密密鑰進行加密。

最後需要說明的是，當前小於1024位的N已經被證明是不安全的
自己使用中不要使用小於1024位的RSA，最好使用2048位的。

③ RSA演算法的實現

RSA畢業設計論文
http://wenku..com/view/8b1804c42cc58bd63186bd77.html

④ rsa演算法原理

RSA演算法是最常用的非對稱加密演算法，它既能用於加密，也能用於數字簽名。RSA的安全基於大數分解的難度。其公鑰和私鑰是一對大素數（100到200位十進制數或更大）的函數。從一個公鑰和密文恢復出明文的難度，等價於分解兩個大素數之積。

我們可以通過一個簡單的例子來理解RSA的工作原理。為了便於計算。在以下實例中只選取小數值的素數p,q,以及e，假設用戶A需要將明文「key」通過RSA加密後傳遞給用戶B，過程如下：設計公私密鑰(e,n)和(d,n)。

令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取e=3，（3與20互質）則e×d≡1 mod f(n)，即3×d≡1 mod 20。通過試算我們找到，當d=7時，e×d≡1 mod f(n)同餘等式成立。因此，可令d=7。從而我們可以設計出一對公私密鑰，加密密鑰（公鑰）為：KU =(e,n)=(3,33)，解密密鑰（私鑰）為：KR =(d,n)=(7,33)。

英文數字化。將明文信息數字化，並將每塊兩個數字分組。假定明文英文字母編碼表為按字母順序排列數值。則得到分組後的key的明文信息為：11，05，25。

明文加密。用戶加密密鑰(3,33) 將數字化明文分組信息加密成密文。由C≡Me(mod n)得：
C1(密文)≡M1（明文）^e (mod n) == 11≡11^3 mod 33 ;
C2(密文)≡M2（明文）^e (mod n) == 26≡05^3 mod 33;
C3(密文)≡M3（明文）^e (mod n) == 16≡25^3 mod 33;
所以密文為11.26.16。

密文解密。用戶B收到密文，若將其解密，只需要計算，即：
M1(明文)≡C1（密文）^d (mod n) == 11≡11^7 mod 33;
M2(明文)≡C2（密文）^d (mod n) == 05≡26^7 mod 33;
M3(明文)≡C3（密文）^d (mod n) == 25≡16^7 mod 33;
轉成明文11.05.25。根據上面的編碼表將其轉換為英文，我們又得到了恢復後的原文「key」。

當然，實際運用要比這復雜得多，由於RSA演算法的公鑰私鑰的長度（模長度）要到1024位甚至2048位才能保證安全，因此，p、q、e的選取、公鑰私鑰的生成，加密解密模指數運算都有一定的計算程序，需要仰仗計算機高速完成。

⑤ 一個RSA演算法的加密運算，需要完整的演算過程。

我來回答你可以閉帖了，呵呵
看你題目的意思就是打算把republic這個詞按照你的方法裝換成數字例如是：X
p=3，q=11
n=p*q=33
t=(p-1)*(q-1)=20
取任何一個數e,要求滿足e<t並且e與t互素（就是最大公因數為1）
我們可以取e=7
要求d*e%t==1（D*e除以t取余等於1），我們可以找到D=3
此時我們就有了三個數
n=33
d=3 公鑰
e=7 私鑰

設消息為數M (M <n)
設c=(M**d)%n就得到了加密後的消息c
設m=(c**e)%n則 m == M，從而完成對c的解密。
註：**表示次方,上面兩式中的d和e可以互換。

我們可以對republic詞按照你的方法裝換成數字：X一位一位的加密。
加入X的第一位是6（別的同理）
則：M = 6
加密時：（c為加密後的數字）
c=(M**d)%n=(6^3)%33=216%33=18(商6餘18)，則6加密後就是18了
解密時：
設m=(c**e)%n則 m == M，
(18^7)%33=612220032%33=6(商18552122餘6）
到此加密解密完成。
至於怎麼把republic裝換成X，把X裝分成多少部分進行分批加密，你可以自己決定。但是加密的數字M 需要小於n

如果需要給你寫個程序，留個Email，我空的時候寫個發給你。

我個人給你個方法，因為n=33 >26（26個英文字母）,所以可以把republic分成一個字母一個字母的加密。
按你的分發 REP 就分成數字
18 05 16
加密
(18^3)%33=5832%33= 24
(05^3)%33=125%33= 26
(16^3)%33=%33= 4
所以加密後就是
24 26 04 轉換成字母就是 XZD
解密
(24^7)%33=4586471424%33=18
(26^7)%33=8031810176%33=05
(4^7)%33=16384%33=16
又變成 18 05 16 轉換成字母就是 REP
是不是很簡單啊~~

我如果不懂。空間裡面有片文章，你可以看看，就知道我上面講的那些是什麼意思了。

RSA演算法舉例說明
http://hi..com/lsgo/blog/item/5fd0da24d495666834a80fb8.html

⑥ RSA演算法的介紹

RSA公鑰加密演算法是1977年由羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。1987年首次公布，當時他們三人都在麻省理工學院工作。RSA就是他們三人姓氏開頭字母拼在一起組成的。RSA是目前最有影響力的公鑰加密演算法，它能夠抵抗到目前為止已知的絕大多數密碼攻擊，已被ISO推薦為公鑰數據加密標准。今天只有短的RSA鑰匙才可能被強力方式解破。到2008年為止，世界上還沒有任何可靠的攻擊RSA演算法的方式。只要其鑰匙的長度足夠長，用RSA加密的信息實際上是不能被解破的。但在分布式計算和量子計算機理論日趨成熟的今天，RSA加密安全性受到了挑戰。RSA演算法基於一個十分簡單的數論事實：將兩個大素數相乘十分容易，但是想要對其乘積進行因式分解卻極其困難，因此可以將乘積公開作為加密密鑰。

⑦ 解釋RSA演算法

RSA演算法是最簡單的一種可以公開公鑰的演算法,解釋起來比較麻煩,你可以直接到這里來看RSA的詳細介紹.
來自網路:
http://bk..com/view/7520.htm

⑧ RSA加密演算法的實現 實驗報告 郵箱：[email protected]

rem Simple RSA Program
rem (c) W.Buchanan
rem Jan 2002

Function check_prime(ByVal val As Long) As Boolean
Dim primes
primes = Array(1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397)
check_prime = False

For i = 0 To 78
If (val = primes(i)) Then
prime = True
End If
Next i
check_prime = prime
End Function

Function decrypt(ByVal c, ByVal n, ByVal d As Long)

Dim i, g, f As Long

On Error GoTo errorhandler

If (d Mod 2 = 0) Then
g = 1
Else
g = c
End If

For i = 1 To d / 2

f = c * c Mod n
g = f * g Mod n
Next i
decrypt = g

Exit Function
errorhandler:
Select Case Err.Number ' Evaluate error number.
Case 6
status.Text = "Calculation overflow, please select smaller values"
Case Else
status.Text = "Calculation error"
End Select

End Function

Function getD(ByVal e As Long, ByVal PHI As Long) As Long
Dim u(3) As Long
Dim v(3) As Long
Dim q, temp1, temp2, temp3 As Long

u(0) = 1
u(1) = 0
u(2) = PHI
v(0) = 0
v(1) = 1
v(2) = e

While (v(2) <> 0)
q = Int(u(2) / v(2))
temp1 = u(0) - q * v(0)
temp2 = u(1) - q * v(1)
temp3 = u(2) - q * v(2)
u(0) = v(0)
u(1) = v(1)
u(2) = v(2)
v(0) = temp1
v(1) = temp2
v(2) = temp3
Wend
If (u(1) < 0) Then
getD = (u(1) + PHI)
Else
getD = u(1)
End If
End Function

Function getE(ByVal PHI As Long) As Long
Dim great, e As Long

great = 0
e = 2

While (great <> 1)
e = e + 1
great = get_common_denom(e, PHI)
Wend
getE = e
End Function

Function get_common_denom(ByVal e As Long, ByVal PHI As Long)
Dim great, temp, a As Long

If (e > PHI) Then
While (e Mod PHI <> 0)
temp = e Mod PHI
e = PHI
PHI = temp
Wend
great = PHI
Else
While (PHI Mod e <> 0)
a = PHI Mod e
PHI = e
e = a
Wend
great = e
End If
get_common_denom = great
End Function

Private Sub show_primes()
status.Text = "1"
no_primes = 1
For i = 2 To 400
prime = True
For j = 2 To (i / 2)
If ((i Mod j) = 0) Then
prime = False
End If
Next j

If (prime = True) Then
no_primes = no_primes + 1
status.Text = status.Text + ", " + Str(i)
End If
Next i
status.Text = status.Text + vbCrLf + "Number of primes found:" + Str(no_primes)
End Sub

Private Sub Command1_Click()
Dim p, q, n, e, PHI, d, m, c As Long

p = Text1.Text
q = Text2.Text
If (check_prime(p) = False) Then
status.Text = "p is not a prime or is too large, please re-enter"
ElseIf (check_prime(q) = False) Then
status.Text = "q is not a prime or is too large, please re-enter"
Else
n = p * q
Text3.Text = n

PHI = (p - 1) * (q - 1)
e = getE((PHI))
d = getD((e), (PHI))
Text4.Text = PHI
Text5.Text = d
Text6.Text = e
m = Text7.Text

c = (m ^ e) Mod n
Text8.Text = c
m = decrypt(c, n, d)
Text9.Text = m
Label12.Caption = "Decrypt key =<" + Str(d) + "," + Str(n) + ">"
Label13.Caption = "Encrypt key =<" + Str(e) + "," + Str(n) + ">"
End If
End Sub

Private Sub Command2_Click()
End
End Sub

Private Sub Command3_Click()
frmBrowser.Show
End Sub

Private Sub Command4_Click()
Call show_primes
End Sub