指數函數演算法

1. 自然對數的運演算法則和公式

①loga(mn)=logam+logan；
②loga(m/n)=logam－logan；

③對logam中m的n次方有=nlogam；
如果a=e^m，則m為數a的自然對數，即lna=m，e=2.718281828…為自然對數
的底。定義：
若a^n=b(a>0且a≠1)
則n=log(a)(b)
基本性質：
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);
3、log(a)(m÷n)=log(a)(m)-log(a)(n);
4、log(a)(m^n)=nlog(a)(m)
5、log(a^n)m=1/nlog(a)(m)
推導：
1、因為n=log(a)(b)，代入則a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、mn=m×n
由基本性質1(換掉m和n)
a^[log(a)(mn)]
=
a^[log(a)(m)]×a^[log(a)(n)]
由指數的性質
a^[log(a)(mn)]
=
a^{[log(a)(m)]
+
[log(a)(n)]}
又因為指數函數是單調函數，所以
log(a)(mn)
=
log(a)(m)
+
log(a)(n)
3、與（2）類似處理
mn=m÷n
由基本性質1(換掉m和n)
a^[log(a)(m÷n)]
=
a^[log(a)(m)]÷a^[log(a)(n)]
由指數的性質
a^[log(a)(m÷n)]
=
a^{[log(a)(m)]
-
[log(a)(n)]}
又因為指數函數是單調函數，所以
log(a)(m÷n)
=
log(a)(m)
-
log(a)(n)
4、與（2）類似處理
m^n=m^n
由基本性質1(換掉m)
a^[log(a)(m^n)]
=
{a^[log(a)(m)]}^n
由指數的性質
a^[log(a)(m^n)]
=
a^{[log(a)(m)]*n}
又因為指數函數是單調函數，所以
log(a)(m^n)=nlog(a)(m)
基本性質4推廣
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推導如下：
由換底公式（換底公式見下面）[lnx是log(e)(x)，e稱作自然對數的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
換底公式的推導：
設e^x=b^m,e^y=a^n
則log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性質4可得
log(a^n)(b^m)
=
[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]
=
(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由換底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

2. 計算下列指數函數，有沒有什麼簡單演算法如果有求個過程。

學過導數嗎？

3. 復變指數函數的計算方法問題

復冪函數（指數為實整數）
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直接運用復數的加減乘除即可~

例子：（使用方法就是簡單計算——運算同實數）
先將復數化為指數形式，再進行指數運算~
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復指數函數
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可利用e的指數乘法展開，進而使用歐拉公式展開計算~（具體方法具體討論，僅常用基本思路）
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例子：（多使用展開方法來計算~）
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補充：指數函數具有周期性——體現在歐拉展開的三角函數中
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復三角函數
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正弦計算的展開式：
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餘弦計算的展開式：
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例子：
（需要將正弦函數適當的展開，在使用公式轉換為e指數求解）
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反三角函數
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直接上公式：

List item
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以上兩個形式中可以看出有Ln成分——具有多值性
（不熟悉復對數函數·可點擊前往）
例子：
（先取反三角的三角值，再使用復三角函數公式——接著進行替換、配方來簡化——最後進行反(對數)函數處理~）
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復反雙曲函數
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雙曲函數與三角函數的關系：
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正雙曲函數展開式：
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反雙曲函數展開式：
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例子：
（利用復三角與復雙曲的關系，進而轉化到三角形式，利用求解三角的方法解答——可能有時需要展開化簡~）
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復根式函數
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應該考慮復數開根號的多值性——周期性：
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例子：
（轉化指數形式，將復數轉換成——模*e指數的形式）
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復對數函數
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計算方式：(補充，由於Arg為輻角，所以存在2kΠ，即多值情況)
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復對數函數的運算規則：

List item
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運算誤區：

不能將Ln(Z^z)中的指數z直接提到Ln的前邊
例子：
（不能直接如同實數那樣提取指數等操作，而是要先將復數部分轉換成指數形式——再利用復對數的加減乘除規則來運算——實數Ln等價於實數ln ）
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一般復冪函數（指數為復數）
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計算時需要進行自然指數變換：
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這時候需要考慮Lnz的多值性——不

4. 對數和指數的轉換公式是什麼

公式如下：

對數函數的一般形式為 y=logax，它實際上就是指數函數的反函數（圖象關於直線y=x對稱的兩函數互為反函數），可表示為x=a^y，因此指數函數里對於a存在規定——a>0且a≠1，對於不同大小a會形成不同的函數圖形：關於X軸對稱、當a>1時，a越大，圖像越靠近x軸、當0<a<1時，a越小，圖像越靠近x軸。

對數的應用：

對數在數學內外有許多應用，這些事件中的一些與尺度不變性的概念有關，例如，鸚鵡螺的殼的每個室是下一個的大致副本，由常數因子縮放，這引起了對數螺旋，Benford關於領先數字分配的定律也可以通過尺度不變性來解釋，對數也與自相似性相關。

對數演算法出現在演算法分析中，通過將演算法分解為兩個類似的較小問題並修補其解決方案來解決問題，自相似幾何形狀的尺寸，即其部分類似於整體圖像的形狀也基於對數，對數刻度對於量化與其絕對差異相反的值的相對變化是有用的。

5. 數學中指數的指什麼意思

指數是冪運算aⁿ(a≠0)中的一個參數，a為底數，n為指數，指數位於底數的右上角，冪運算表示指數個底數相乘。當n是一個正整數，aⁿ表示n個a連乘。當n=0時，aⁿ=1。

例如：2³，其中3就是指數，2為底數。

(5)指數函數演算法擴展閱讀：

指數的性質

（1） 指數函數的定義域為所有實數的集合，這里的前提是a大於0且不等於1，對於a不大於0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮， 同時a等於0一般也不考慮。

（2） 指數函數的值域為大於0的實數集合。

（3） 函數圖形都是下凹的。

（4） a大於1，則指數函數單調遞增；a小於1大於0，則單調遞減。

（5） 函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸,永不相交。

（6） 函數總是通過定點（0，1）。

（7）指數函數無界。

（8） 指數函數既不是奇函數也不是偶函數。

6. 指數函數的值域

一．觀察法
通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。
例1求函數y=3+√(2－3x) 的值域。
點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算術平方根的性質，知√(2－3x)≥0，
故3+√(2－3x)≥3。
∴函數的知域為 .
點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，（2）值的非負性。
本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。
二．反函數法
當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。
例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。
點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。
解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。
點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

三．配方法
當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域
例3：求函數y=√(－x2+x+2)的值域。
點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]
∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]
點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。
四．判別式法
若可化為關於某變數的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。
例4求函數y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
點撥：將原函數轉化為自變數的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。
解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）
當y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3
當y=2時,方程(＊)無解。∴函數的值域為2＜y≤10/3。
點評：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。
五．最值法
對於閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。
點撥：根據已知條件求出自變數x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。
解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。
當x=-1時，z=－5；當x=3/2時，z=15/4。
∴函數z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。
點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數的值域。
六．圖象法
通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。
例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
點撥：根據絕對值的意義，去掉符號後轉化為分段函數，作出其圖象。
解：原函數化為 －2x+1 (x≤1)
y= 3 (-1<x≤2)
2x-1(x>2)
它的圖象如圖所示。
顯然函數值y≥3,所以，函數值域[3，＋∞]。
點評：分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象
求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。
求函數值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。
七．單調法
利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。
例1求函數y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
點撥：由已知的函數是復合函數，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。
解：設f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定義域為x≤1/3上也為增函數，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數值域為｛y|y≤4/3｝。
點評：利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函數的增減性，求出其函數在區間端點的函數值，進而可確定函數的值域。
八．換元法
以新變數代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變數為自變數的函數形式，進而求出值域。
例2求函數y=x-3+√2x+1 的值域。
點撥：通過換元將原函數轉化為某個變數的二次函數，利用二次函數的最值，確定原函數的值域。
解：設t=√2x+1 （t≥0）,則
x=1/2(t2-1)。
於是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以，原函數的值域為｛y|y≥－7/2｝。
點評：將無理函數或二次型的函數轉化為二次函數，通過求出二次函數的最值，從而確定出原函數的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。
練習：求函數y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
九．構造法
根據函數的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。
例3求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。
點撥：將原函數變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函數的值域。
解：原函數變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位
正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,
KC=√(x+2)2+1 。
由三角形三邊關系知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共
線時取等號。
∴原函數的知域為｛y|y≥5｝。
點評：對於形如函數y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數)，均可通過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明了、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。
十．比例法
對於一類含條件的函數的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函數，進而求出原函數的值域。
例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域。
點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設置參數，代入原函數。
解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
當k=－3/5時，x=3/5,y=－4/5時，zmin=1。
函數的值域為｛z|z≥1｝.
點評：本題是多元函數關系，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，通過設參數，可將原函數轉化為單函數的形式，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創新意識。
十一．利用多項式的除法
例5求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。
點撥：將原分式函數，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
∴函數y的值域為y≠3的一切實數。
點評：對於形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數均可利用這種方法。
十二．不等式法
例6求函數Y=3x/(3x+1)的值域。
點撥：先求出原函數的反函數，根據自變數的取值范圍，構造不等式。
解：易求得原函數的反函數為y=log3[x/(1-x)],
由對數函數的定義知 x/(1-x)＞0
1-x≠0
解得，0＜x<1。
∴函數的值域（0，1）。
點評：考查函數自變數的取值范圍構造不等式（組）或構造重要不等式，求出函數定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應用非常廣泛。是數學解題的方法之一。

7. 指數函數的遺傳演算法的問題

指數函數的遺傳演算法可以這樣來考慮。

1、用最小估計原則建立自定義函數y=func(x)，即min（x-xi）²

2、用ga遺傳演算法函數求得擬合系數

fitnessfcn=@func;

nvars=2;

k=ga(fitnessfcn,nvars) %擬合系數

3、y擬合值與y試驗值比較，當兩者比較接近，說明擬合是合理的。也可以用決定系數R²來判斷。

4、求解結果

y=k0*(1-exp(-k1*t))

k 0= 10.020277259203;k 1=0.22885255916614

8. 求指數函數演算法公式

9. 指數相同，底數怎麼計算

底數不同，指數相同的整式乘法演算法的代數意義：指數相同，底數相乘。

例如：a^n * b^n = (a*b)^n

冪運算（指數運算）是一種關於冪的數學運算。同底數冪相乘，底數不變，指數相加；同底數冪相除，底數不變，指數相減。冪的冪，底數不變，指數相乘。下面a≠0。

(9)指數函數演算法擴展閱讀：

在某種情況下(基數>0，且不為1)，指數運算中的指數可以通過對數運算求解得到。

冪（n^m）中的n，或者對數（x=logaN）中的a（a>0且a不等於1）。

在指數函數的定義表達式中，在a^x前的系數必須是數1，自變數x必須在指數的位置上，且不能是x的其他表達式，否則，就不是指數函數。

當a>1時，指數函數對於x的負數值非常平坦，對於x的正數值迅速攀升，在 x等於0的時候，y等於1。當0<a<1時，指數函數對於x的負數值迅速攀升，對於x的正數值非常平坦，在x等於0的時候，y等於1。

10. 底數不同指數相同的乘法怎麼做

底數不同，指數相同的整式乘法演算法：a^n×b^n=(a×b)^n

這種運算稱為冪運算。

例如：

1、2^3×3^3=（2×3）^3=216

2、2^2×3^2=（2×3）^2=36

3、2^4×3^4=（2×3）^4=1296

除此之外還有底數相同指數不同的乘法運算：n^a×n^b=n^(a+b)

例如：

1、2^3×2^4=2^(3+4)=128

(10)指數函數演算法擴展閱讀：

一般地，形如以指數為自變數，底數為大於0且不等於1的常量的函數稱為指數函數，它是初等函數中的一種。

發展歷程

指數與冪的概念的形成是相當曲折和緩慢的指數符號( Sign of power) 的種類繁多，且記法多樣化。

我國古代「冪」字至少有十各不同的寫法。

劉徽為《九章算術》作注，在《方田》章求矩形面積法則中寫道：「此積謂田冪，凡廣從相乘謂之冪( 長和寬相乘的積叫作冪) 。」這是第一次在數學文獻上出現冪。

參考資料來源：網路-指數