levinson演算法

Ⅰ 求線性預測自相關法Levinson-Durbin演算法或協方差法的C或C++實現

Syntax
r = rlevinson(a,efinal)
[r,u] = rlevinson(a,efinal)
[r,u,k] = rlevinson(a,efinal)
[r,u,k,e] = rlevinson(a,efinal)

Description
The reverse Levinson-Durbin recursion implements the step-down algorithm for solving the following symmetric Toeplitz system of linear equations for r, where r = [r(1) L r(p+1)] and r(i)* denotes the complex conjugate of r(i).

r = rlevinson(a,efinal) solves the above system of equations for r given vector a, where a = [1 a(2) L a(p+1)]. In linear prediction applications, r represents the autocorrelation sequence of the input to the prediction error filter, where r(1) is the zero-lag element. The figure below shows the typical filter of this type, where H(z) is the optimal linear predictor, x(n) is the input signal, is the predicted signal, and e(n) is the prediction error.

Input vector a represents the polynomial coefficients of this prediction error filter in descending powers of z.

The filter must be minimum phase to generate a valid autocorrelation sequence. efinal is the scalar prediction error power, which is equal to the variance of the prediction error signal, σ2(e).

[r,u] = rlevinson(a,efinal) returns upper triangular matrix U from the UDU* decomposition

where

and E is a diagonal matrix with elements returned in output e (see below). This decomposition permits the efficient evaluation of the inverse of the autocorrelation matrix, R-1.

Output matrix u contains the prediction filter polynomial, a, from each iteration of the reverse Levinson-Durbin recursion

where ai(j) is the jth coefficient of the ith order prediction filter polynomial (i.e., step i in the recursion). For example, the 5th order prediction filter polynomial is

a5 = u(5:-1:1,5)'
Note that u(p+1:-1:1,p+1)' is the input polynomial coefficient vector a.

[r,u,k] = rlevinson(a,efinal) returns a vector k of length (p+1) containing the reflection coefficients. The reflection coefficients are the conjugates of the values in the first row of u.

k = conj(u(1,2:end))
[r,u,k,e] = rlevinson(a,efinal) returns a vector of length p+1 containing the prediction errors from each iteration of the reverse Levinson-Durbin recursion: e(1) is the prediction error from the first-order model, e(2) is the prediction error from the second-order model, and so on.

These prediction error values form the diagonal of the matrix E in the UDU* decomposition of R-1.

Ⅱ 什麼是Levinson演算法

計算機方面的

Ⅲ AR模型的穩定性

AR（p）模型穩定的充分必要條件是H（z）的極點（即A（z）的根）都在單位圓內。如果Yule-Walker方程的系數矩陣是正定的，則其解a_k（k=1，2，…，p）所構成的A（z）的根都在單位圓內。在用Levinson演算法進行遞推計算的過程中，還可得到各階AR模型激勵信號的方差

（k=1，2，…，p），它們都應當是大於零的，即

。根據式（4-25）可知，必有｜γ_k+1｜＜1和

（k=1，2，…，p）。這就是說，在Levinson演算法遞推計算過程中，如果有

＜

或，｜γ_k+1｜＜1，則AR（p）模型一定是穩定的。反之，穩定的AR（p）模型將具有以下性質：

（1）H（z）的全部極點或A（z）的所有根都在單位圓內。

（2）自相關矩陣是正定的。

（3）激勵信號的方差（能量）隨階次增加而遞減，即

。

（4）反射系數的模恆小於1，即，γ_k＜1，k=1，2，…，p。

但在實際應用中，Levinson演算法的已知數據（自相關值）是由x_N（n）來估計的，有限字長效應有可能造成大的誤差，致使估計出來的AR（p）參數所構成的A（z）的根跑到單位圓上或外，從而使模型失去穩定。在遞推計算過程中如果出現這種情況，將導致

或，｜γ_k｜≥1，即停止遞推計算。

若將式（4-22）中的自相關矩陣R定為

地球物理信息處理基礎

並記其行列式的值為detR_p+1。矩陣R_p+1與AR（p）模型穩定性的關系有以下三個結論。

結論1：如果R_p+1是正定的，那麼，由Yule-Walker方程解出的a_k（k=1，2，…，p）構成的p階AR模型是穩定的，且是唯一的。也即A（z）的零點都在單位圓內。此性質為AR模型的最小相位性質。

結論2：若x（n）由p個復正弦波組成，即

地球物理信息處理基礎

式中：C_k、ω_k為常數；φ_k是在（-π，π）內均勻分布的零均值隨機變數；x（n）的自相關函數為

地球物理信息處理基礎

則由前p+1個值r_xx（0）、r_xx（1）、…、r_xx（p）組成的自相關矩陣R_p+1是奇異的，而R₁、R₂、…、R_p是正定的，即

det R_p+1=0，det R_k＞0 k=1，2，…，p （4-55）

結論2說明，一般情況下，若x（n）由復正弦波組成，R_M是其M×M的自相關矩陣，那麼，當M＞p時，R_M的秩最大為p，即rankR_M=p，但若x（n）由p個實正弦波組成，則R_M的秩最大為2p。

結論3：若x（n）由p個正弦波組成（實的或復的），則x（n）是完全可以預測的，即預測誤差為零。

結論2給出了R_p+1何時奇異、何時正定的條件，它和結論3一起揭示了正弦信號的某些性質。特別需要指出的是：用AR模型對純正弦信號建模是不合適的，可能會出現自相關矩陣為奇異的情況。但是，在信號處理中經常要用正弦信號作為實驗信號以檢驗某個演算法或系統的性能。為了克服自相關矩陣奇異的情況，最常用的方法是給正弦信號加上白雜訊，這樣det R_p+1不會等於零。

Ⅳ 減少雜訊的匹配濾波演算法

（1）傳統匹配濾波演算法

Rickett et al.（2001）給出了匹配濾波簡要的公式及運算元長度設計標准，本節給出了更為詳細的匹配 濾波公式，並給出推導公式基本條件和結果。

設同一地區不同時期Y1，Y2得到的地震數據分別為G^Y1（t），G^Y2（t），取Y1年份的地震記錄為參

考地震道，使Y2年份相應的地震記錄與之匹配。選取歸一化運算元p使得目標泛函：

海上時移地震油藏監測技術

極小。最終得到關於求解匹配濾波器｛P（m），m＝1，2，…，L｝的L個方程的方程組：

海上時移地震油藏監測技術

為意義更明確，對上面的公式進一步簡化，令

海上時移地震油藏監測技術

上兩式中：R_Y2Y2（m－n）為時間延遲為m－n的時期Y2地震記錄在設計窗口中的自相關；R_Y1Y2（n）為時間延遲為n的時期Y1與時期Y2地震記錄在設計窗口中的互相關，於是方程（4.8）可以進一步寫成：

海上時移地震油藏監測技術

求解方程組（4.11）得到匹配濾波器運算元｛P（m），m＝1，2，…，L｝，用

海上時移地震油藏監測技術

校正相應的地震剖面。通過實際數據處理結果驗證了上述推導的正確性和方法的有效性。

方程（4.11）寫成矩陣形式：

海上時移地震油藏監測技術

式中：M為時期Y2地震記錄在設計窗口中的自相關序列組成的Toeplitz矩陣，R為時期Y1與時期Y2地 震記錄在設計窗口中的互相關序列向量。求解方程（4.13）可採用Levinson遞推演算法，計算效率高。

為了減少噪音的影響，通常引入阻尼項，方程（4.13）變為

海上時移地震油藏監測技術

式中：μ為很小的數，通常為可設為0.01或0.001。

實際應用中，可以發現式（4.13）受雜訊的影響很大，不穩定。雖然加入阻尼項後結果有所改善，但 如何選取合適阻尼因子又是一個難題。為此推導新的匹配濾波表達形式，尋求更穩健的求解方法。

（2）新匹配濾波公式

同樣設同一地區不同時期Y1，Y2得到的地震數據分別為G^Y1（t），G^Y2（t），取Y1年份的地震記錄 為參考地震道，使Y2年份相應的地震記錄與之匹配。則匹配過程可描述為

海上時移地震油藏監測技術

其中M為G^Y2組成的褶積矩陣。如果設地震道的采樣點數為n，設計濾波器f長度為m，M則為（2×n－1）×m矩陣，為保持矩陣維數相同，一種方法是將G^Y1後面補零為（2×n－1）×1向量，另一種方法是取 矩陣M的前n×m項。如果採用第一種方法，可以驗證得到的公式與（4.13）式相同。在此採用後一種方 法，得到新的匹配濾波方程。只要設計濾波器f足夠長，總能滿足能量差e（f）最小，根據范數定義：

海上時移地震油藏監測技術

求解能量差e（f）最小問題可轉化為

海上時移地震油藏監測技術

即對濾波因子向量求導，最終可歸結為求解線性方程：

海上時移地震油藏監測技術

如果記A＝M^TM，b＝M^TG^Y1，方程（4.18）轉化為

海上時移地震油藏監測技術

（4.19）式形式上與（4.13）式類似，內容不同，不再是Toeplitz矩陣，因此不能應用Levinson遞推演算法求解。因此，引入奇異值分解方法求解方程（4.19）。

（3）基於奇異值分解的匹配濾波演算法

矩陣的奇異值分解，是矩陣計算中一套很有用的技術。它可以有效地處理系數矩陣是奇異的或者接 近奇異的方程組。對於矩陣A，如果A∈R^m×n，並且A的秩為r，總有

海上時移地震油藏監測技術

其中， V為正交陣。 ，並且 為A 的奇異值。

公式（4.20）即為矩陣A的奇異值分解，根據正交矩陣的性質：

海上時移地震油藏監測技術

很容易表示出矩陣A的逆矩陣

海上時移地震油藏監測技術

將式（4.22）帶入式（4.19）中，得到濾波因子的表達式為

海上時移地震油藏監測技術

實際計算中，當A是奇異陣出現奇異值，或A接近奇異或病態矩陣時，（4.23）式的計算過程就無法進行。這時可將出現的奇異項 （σ_k是零，或者數值很小）簡單地替換成零或很小的常數，通過這種方法能得 到方程穩定的解。

對於實際含有雜訊的信號，信號能量主要分布在奇異值大的分量上，因此去除小奇異值同時能消除 雜訊影響。通常可選取某一能量百分比的奇異值作為去除的閾值，以這種方式既能克服A接近奇異或病 態矩陣的影響，又能減小雜訊的影響，使濾波因子穩健。

（4）模擬數據驗證

模擬得到一組存在時間、振幅、頻率、相位差異的信號，作為基測線與監測測線地震道，對監測測 線地震道加入不同比例的隨機雜訊，組成驗正演算法有效性的數據體，如圖4.10所示。分別用傳統的匹配 濾波方法和重新推導的基於奇異值分解的匹配濾波方法進行匹配處理，比較匹配後基測線與監測測線振 幅差異，結果見圖4.11和圖4.12。可以看出，傳統匹配濾波公式的計算結果受雜訊的影響很大，而基於 奇異值分解的匹配濾波方法具有很好的抗雜訊能力。

圖4.10 模擬地震記錄（從上至下依次為加入0％，10％，20％，30％雜訊的信號）

圖4.11 傳統方法匹配結果

圖4.12 基於奇異值分解方法匹配結果

（5）實際數據驗證

選擇一塊同一地區兩次不同時間測得的兩條二維測線；選取油藏上方時間長度為300ms的窗口作為 濾波因子設計窗口，並以抽取其中139道構成驗證互均衡演算法的數據體（圖4.13，圖4.14）。分別採用 傳統匹配濾波公式與基於奇異值分解的匹配濾波兩種方法進行校正。比較差異剖面的平均能量，結果見 圖4.15。從圖中可知基於奇異值分解的匹配濾波方法具有更好的抗雜訊能力，匹配誤差遠小於傳統匹配 濾波。

圖4.13 某地區時間1地震記錄

圖4.14 某地區時間2地震記錄

圖4.15 兩種匹配方法結果誤差能量對比圖

本節推導了新的匹配濾波方程，提出基於奇異值分解的匹配濾波演算法，理論和實際數據都驗證了該 方法有效性。這里從計算精度上比較兩種匹配濾波演算法，實際處理時移地震數據時還要考慮計算時間，此時尋求快速的奇異值分解演算法是一種提高處理效率的方式，另外針對不同信噪比，將傳統匹配濾波算 法與基於奇異值分解的匹配濾波演算法結合應用同樣是一種很好的方式。總之，基於奇異值分解的匹配濾 波提高了匹配精度，有利於為時移地震解釋提供一致性更好的地震資料。

Ⅳ 現代數字信號處理的目錄

第一章 基礎知識
1.1 隨機矢量
1.2 相關抵消
1.3 Gram-schidt正變化
1.3.1 基本定義
1.3.2 正交投影定理和Gram-schidt正變化
1.4 偏相關系數
1.5 功率譜和周期圖
1.6 譜分解
1.6.1 最小相位序列
1.6.2 部分能量和最小時延
1.6.3 自相關函數的不變性
1.6.4 最小時延性質
1.6.5 最小相位性質
1.6.6 譜分解定理
1.7 信號的參數模型
習題
參考文獻
第二章 維納濾波和卡爾曼濾波
2.1 維納濾波的標准方程
2.2 維納-霍夫方程的求解
2.2.1 FIR維納濾波器
2.2.2 非因果IIR維納濾波器
2.2.3 因果IIR維納濾波器
2.3 維納濾波的均方誤差
2.4 因果IIR維納濾波器的設計與計算
2.5 標量卡爾曼濾波器
2.6 矢量卡爾曼濾波器
2.6.1 信號矢量和數據矢量
2.6.2 矢量卡爾曼濾波器的遞推計算公式
2.7 維納濾波和卡爾曼濾波的計算和應用舉例
2.7.1 維納濾波器
2.7.2 卡爾曼濾波器
復習思考題
習題
參考文獻
第三章 自適應濾波器
3.1 自適應濾波原理
3.2 自適應線性組合器
3.3 均方誤差性能曲面
3.4 二次性能曲面的基本性質
3.5 最陡下降法
3.6 學習曲線和收斂速度
3.7 自適應的最小均方(LMS)演算法
3.8 權矢量雜訊
3.9 失調量
3.10 自適應的遞歸最小二乘方(RLS)演算法
3.11 IIR遞推結構自適應濾波器的LMS演算法
3.12 自適應濾波器計算舉例
3.13 自適應濾波器的數字實現
3.13.1 LMS演算法自適應濾波器的直接實現
3.13.2 分布運算自適應濾波器
3.13.3 余數制自適應濾波器
3.14 最小二乘自適應濾波器
3.14.1 最小二乘濾波器的矢量空間分析
3.14.2 投影矩陣和正交投影矩陣
3.14.3 時間更新
3.15 最小二乘格形(LSL)自適應演算法
3.15.1 前向預測和後向預測
3.15.2 預測誤差濾波器的格形結構
3.15.3 LSL自適應演算法
3.15.4 LSL自適應演算法的性能
3.16 快速橫向濾波(FTF)自適應演算法
3.16.1 FTF演算法涉及到的4個橫向濾波器
3.16.2 橫向濾波運算元的時間更新
3.16.3 FTF自適應演算法中的時間更新關系
3.16.4 FTF自適應演算法流程
3.16.5 FTF自適應演算法的性能
3.16.6 FTF演算法計算量的進一步減少
3.17 自適應濾波器的應用
3.17.1 自適應系統模擬和辨識
3.17.2 自適應逆濾波
3.17.3 自適應干擾抵消
3.17.4 自適應預測
復習思考題
習題
參考文獻
第四章 功率譜估計的現代方法
4.1 從經典譜估計到現代譜估計
4.2 譜估計的參數模型方法
4.3 AR模型的Yule—Walker方程
4.4 Levinson—Durbin演算法
4.5 AR模型的穩定性及其階的確定
4.6 AR譜估計的性質
4.6.1 AR譜估計隱含著自相關函數的外推
4.6.2 AR譜估計與最大熵譜估計等效
4.6.3 AR譜估計與線性預測譜估計等效
4.6.4 AR譜估計等效於最佳白化處理
4.6.5 AR譜估計的界
4.7 格形濾波器
4.8 AR模型參數提取方法
4.8.1 Yule—Walker法
4.8.2 協方差法
4.8.3 Burg法
4.9 AR譜估計的異常現象及其補救措施
4.9.1 虛假譜峰
4.9.2 譜線分裂
4.9.3 雜訊對AR譜估計的影響
4.10 MA和ARMA模型譜估計
4.10.1 MA模型譜估計
4.10.2 ARMA模型譜估計
4.11 白雜訊中正弦波頻率的估計
4.11.1 最大似然法
4.11.2 修正協方差AR譜估計方法
4.11.3 特徵分解頻率估計
4.11.4 信號子空間頻率估計
4.11.5 雜訊子空問頻率估計
復習思考題
習題
參考文獻
第五章 同態信號處理
5.1 廣義疊加原理
5.2 乘法同態系統
5.3 卷積同態系統
5.4 復倒譜定義
5.4.1 復對數的多值性問題
5.4.2 X(z)的解析性問題
5.5 復倒譜的性質
5.6 復倒譜的計算方法
5.6.1 按復倒譜定義計算
5.6.2 最小相位序列的復倒譜的計算
5.6.3 復對數求導數計演算法
5.6.4 遞推計算方法
復習思考題
習題
參考文獻
第六章 高階譜分析
6.1 三階相關和雙譜的定義及其性質
6.2 累量和多譜的定義及其性質
6.2.1 隨機變數的累量
6.2.2 隨機過程的累量
6.2.3 多譜的定義
6.2.4 累量和多譜的性質
6.3 累量和多譜估計
6.4 基於高階譜的相位譜估計
6.5 基於高階譜的模型參數估計
6.5.1 AR模型參數估計
6.5.2 MA模型參數估計
6.5.3 ARMA模型參數估計
6.6 利用高階譜確定模型的階
6.7 多譜的應用
復習思考題
第七章 小波分析
第八章 神經網路信號處理
第四章附錄
第六章附錄
第七章附錄
第八章附錄
部分習題參考答案
索引

Ⅵ Yule-Walker法

用最小平方時間平均准則代替集合平均准則，有

地球物理信息處理基礎

式中：

；a_p0=1，由長度為p+1的預測誤差濾波器單位沖激響應序列（1，a_p1，a_p2，…a_pp）與長度為N的數據序列（x（0），x（1），…，x（N-1））進行卷積得到。故序列

的長度為N+p。在計算卷積過程中，在數據段x_N（n）的兩端，實際上添加了若干零采樣值，即x_N（n）的第一個數據x（0）進入濾波器，濾波器便輸出第一個誤差信號采樣值

（0）；直到只有x_N（n）的最後一個數據x（N-1）還留在濾波器中時，才輸出最後一個誤差信號采樣值

。這說明，數據x（n）（0≤n≤N-1）是通過對無窮長數據序列x（n）（-∞≤n≤∞）加窗函數截斷而得到的。將

代入式（4-74），得

地球物理信息處理基礎

對式（4-75）兩端求微分，並令其等於零，得

地球物理信息處理基礎

該式可記為

地球物理信息處理基礎

式中自相關序列

採用有偏估計

地球物理信息處理基礎

因此，用時間平均最小化准則同樣可以導出Yule-Walker方程組，利用Levinson-Durbin遞推演算法由k階模型參數求k+1階模型參數的計算公式（4-23）、（4-24）、（4-25）求出AR（p）模型參數，遞推計算直到k+1=p為止，將模型參數代入式（4-27），即可計算功率。不過方程組中的R要用

取代。采樣自相關矩陣

是正定的，因而能夠保證所得到的預測誤差濾波器是最小相位的，也就能保證反射系數的模值都小於1，這是使濾波器穩定的充要條件。圖4-8所示的是用自相關法計算

的原理。

地球物理信息處理基礎

Ⅶ 求杜賓演算法的matlab程序

matlab自帶有杜賓演算法的函數：levinson
有自帶的burg演算法函數：arburg,pburg

窗口打：doc spectrum.burg
就能查到Burg spectrum

在窗口打edit levinson
就能查看函數levinson的源代碼
其它類似

Ⅷ 現代數字信號處理及其應用的圖書目錄

第1章 離散時間信號與系統
1．1 離散時間信號與系統基礎
1．1．1 離散時間信號的定義與分類
1．1．2 離散時間信號的差分和累加
1．1．3 離散時間系統定義及LTI特性
1．1．4 LTI離散時間系統響應——卷積和
1．1．5 離散時間信號相關函數及卷積表示
1．2 離散時間信號與系統的傅里葉分析
1．2．1 復指數信號通過LTI系統的響應
1．2．2 離散時間信號的傅里葉級數和傅里葉變換
1．2．3 傅里葉變換的性質
1．2．4 離散時間系統頻率響應與理想濾波器
1．2．5 離散時間信號的DFT和FFT
1．3 離散時間信號的Z變換
1．3．1 Z變換的概念
1．3．2 Z變換的性質
1．3．3 離散時間系統的z域描述——系統函數
1．3．4 離散時間系統的方框圖和信號流圖表示
1．4 LTI離散時間系統性能描述
1．4．1 系統的記憶性
1．4．2 系統的因果性
1．4．3 系統的可逆性
1．4．4 系統的穩定性和最小相位系統
1．4．5 線性相位系統與系統的群時延
1．5 離散時間系統的格型結構
1．5．1 全零點濾波器的格型結構
1．5．2 全極點濾波器的格型結構
1．6 連續時間信號的離散化及其頻譜關系
1．7 離散時間實信號的復數表示
1．7．1 離散時間解析信號(預包絡)
1．7．2 離散時間希爾伯特變換
1．7．3 離散時間窄帶信號的復數表示(復包絡)
1．8 窄帶信號的正交解調與數字基帶信號
1．8．1 模擬正交解調與採集電路原理
1．8．2 數字正交解調與採集電路原理
1．8．3 基帶信號的隨機相位與載波同步
1．9 多相濾波與信道化處理
1．9．1 橫向濾波器的多相結構
1．9．2 信號的均勻信道化
1．9．3 基於多相濾波器組的信道化原理
習題
參考文獻
第2章 離散時間平穩隨機過程
2．1 離散時間平穩隨機過程基礎
2．1．1 離散時間隨機過程及其數字特徵
2．1．2 離散時間平穩隨機過程及其數字特徵
2．1．3 遍歷性與統計平均和時間平均
2．1．4 循環平穩性的概念
2．1．5 隨機過程間的獨立、正交、相關
2．2 平穩隨機過程的自相關矩陣及其性質
2．2．1 自相關矩陣的定義
2．2．2 自相關矩陣的基本性質
2．2．3 自相關矩陣的特徵值與特徵向量的性質
2．3 離散時間平穩隨機過程的功率譜密度
2．3．1 功率譜的定義
2．3．2 功率譜的性質
2．3．3 平穩隨機過程通過LTI離散時間系統的功率譜
2．4 離散時間平穩隨機過程的參數模型
2．4．1 Wold分解定理
2．4．2 平穩隨機過程的參數模型
2．5 隨機過程高階累積量和高階譜的概念
2．5．1 高階矩和高階累積量
2．5．2 高階累積量的性質
2．5．3 高階譜的概念
習題
參考文獻
第3章 功率譜估計和信號頻率估計方法
3．1 經典功率譜估計方法
3．1．1 BT法
3．1．2 周期圖法
3．1．3 經典功率譜估計性能討論
3．1．4 經典功率譜估計的改進
3．1．5 經典功率譜估計模擬實例及性能比較
3．2 平穩隨機過程的AR參數模型功率譜估計
3．2．1 AR參數模型的正則方程
3．2．2 AR參數模型的Levinson-Durbin迭代演算法
3．2．3 AR參數模型功率譜估計步驟及模擬實例
3．2．4 AR參數模型功率譜估計性能討論
3．3 MA參數模型和ARMA參數模型功率譜估計原理
3．3．1 MA參數模型的正則方程
3．3．2 ARMA參數模型的正則方程
3．4 MVDR信號頻率估計方法
3．4．1 預備知識：標量函數關於向量的導數和梯度的概念
3．4．2 MVDR濾波器原理
3．4．3 MVDR頻率估計演算法模擬實例
3．5 APES演算法
3．5．1 APES演算法原理
3．5．2 APES演算法模擬實例
3．6 基於相關矩陣特徵分解的信號頻率估計
3．6．1 信號子空間和雜訊子空間的概念
3．6．2 MUSIC演算法
3．6．3 Root-MUSIC演算法
3．6．4 Pisarenko諧波提取方法
3．6．5 ESPRIT演算法
3．6．6 信號源個數的確定方法
3．7 譜估計在電子偵察中的應用實例
3．7．1 常規通信信號的參數估計
3．7．2 跳頻信號的參數估計
習題
參考文獻
第4章 維納濾波原理及自適應演算法
4．1 自適應橫向濾波器及其學習過程
4．1．1 自適應橫向濾波器結構
4．1．2 自適應橫向濾波器的學習過程和工作過程
4．2 維納濾波原理
4．2．1 均方誤差准則及誤差性能面
4．2．2 維納-霍夫方程
4．2．3 正交原理
4．2．4 最小均方誤差
4．2．5 計算實例1：雜訊中的單頻信號估計
4．2．6 計算實例2：信道傳輸信號的估計
4．3 維納濾波器的最陡下降求解方法
4．3．1 維納濾波的最陡下降演算法
4．3．2 最陡下降演算法的收斂性
4．3．3 最陡下降演算法的學習曲線
4．3．4 最陡下降演算法模擬實例
4．4 LMS演算法
4．4．1 LMS演算法原理
4．4．2 LMS演算法權向量均值的收斂性
4．4．3 LMS演算法均方誤差的統計特性
4．4．4 LMS演算法模擬實例
4．4．5 幾種改進的LMS演算法簡介
4．5 多級維納濾波器理論
4．5．1 輸入向量滿秩變換的維納濾波
4．5．2 維納濾波器降階分解原理
4．5．3 維納濾波器的多級表示
4．5．4 基於輸入信號統計特性的權值計算步驟
4．5．5 一種阻塞矩陣的構造方法
4．5．6 基於觀測數據的權值遞推演算法
4．5．7 模擬計算實例
習題
參考文獻
第5章 維納濾波在信號處理中的應用
5．1 維納濾波在線性預測中的應用
5．1．1 線性預測器原理
5．1．2 線性預測與AR模型互為逆系統
5．1．3 基於線性預測器的AR模型功率譜估計
5．2 前後向線性預測及其格型濾波器結構
5．2．1 前後向線性預測器（FBLP）原理
5．2．2 FBLP的格型濾波器結構
5．2．3 Burg演算法及其在AR模型譜估計中的應用
5．2．4 Burg演算法功率譜估計模擬實驗
5．3 信道均衡
5．3．1 離散時間通信信道模型
5．3．2 迫零均衡濾波器
5．3．3 基於MMSE准則的FIR均衡濾波器
5．3．4 自適應均衡及模擬實例
5．4 語音信號的線性預測編碼
5．4．1 語音信號的產生
5．4．2 基於線性預測的語音信號處理
5．4．3 模擬實驗
習題
參考文獻
第6章 最小二乘估計理論及演算法
6．1 預備知識：線性方程組解的形式
6．1．1 線性方程組的唯一解
6．1．2 線性方程組的最小二乘解
6．1．3 線性方程組的最小范數解
6．2 最小二乘估計原理
6．2．1 最小二乘估計的確定性正則方程
6．2．2 LS估計的正交原理
6．2．3 投影矩陣的概念
6．2．4 LS估計的誤差平方和
6．2．5 最小二乘方法與維納濾波的關系
6．2．6 應用實例：基於LS估計的信道均衡原理
6．3 用奇異值分解求解最小二乘問題
6．3．1 矩陣的奇異值分解
6．3．2 奇異值分解與特徵值分解的關系
6．3．3 用奇異值分解求解確定性正則方程
6．3．4 奇異值分解迭代計算簡介
6．4 基於LS估計的FBLP原理及功率譜估計
6．4．1 FBLP的確定性正則方程
6．4．2 用奇異值分解實現AR模型功率譜估計
6．5 遞歸最小二乘（RLS）演算法
6．5．1 矩陣求逆引理
6．5．2 RLS演算法原理
6．5．3 自適應均衡模擬實驗
6．6 基於QR分解的遞歸最小二乘（QR-RLS）演算法原理
6．6．1 矩陣的QR分解
6．6．2 QR-RLS演算法
6．6．3 基於Givens旋轉的QR-RLS演算法
6．6．4 利用Givens旋轉直接得到估計誤差信號
6．6．5 QR-RLS演算法的systolic多處理器實現原理
習題
參考文獻
第7章 卡爾曼濾波
7．1 基於新息過程的遞歸最小均方誤差估計
7．1．1 標量新息過程及其性質
7．1．2 最小均方誤差估計的新息過程表示
7．1．3 向量新息過程及其性質
7．2 系統狀態方程和觀測方程的概念
7．3 卡爾曼濾波原理
7．3．1 狀態向量的最小均方誤差估計
7．3．2 新息過程的自相關矩陣
7．3．3 卡爾曼濾波增益矩陣
7．3．4 卡爾曼濾波的黎卡蒂方程
7．3．5 卡爾曼濾波計算步驟
7．4 卡爾曼濾波的統計性能
7．4．1 卡爾曼濾波的無偏性
7．4．2 卡爾曼濾波的最小均方誤差估計特性
7．5 卡爾曼濾波的推廣
7．5．1 標稱狀態線性化濾波
7．5．2 擴展卡爾曼濾波
7．6 卡爾曼濾波的應用
7．6．1 卡爾曼濾波在維納濾波中的應用
7．6．2 卡爾曼濾波在雷達目標跟蹤中的應用
7．6．3 α-β濾波的概念
7．6．4 卡爾曼濾波在交互多模型演算法中的應用
7．6．5 卡爾曼濾波在數據融合中的應用
習題
參考文獻
第8章 陣列信號處理與空域濾波
8．1 陣列接收信號模型
8．1．1 均勻線陣接收信號模型
8．1．2 任意陣列（共形陣）接收信號模型
8．1．3 均勻矩形陣接收信號模型
8．1．4 均勻圓陣接收信號模型
8．2 空間譜與DOA估計
8．3 基於MUSIC演算法的信號DOA估計方法
8．3．1 MUSIC演算法用於信號DOA估計
8．3．2 模擬實例
8．4 信號DOA估計的ESPRIT演算法
8．4．1 ESPRIT演算法用於信號DOA估計的原理
8．4．2 模擬實例
8．5 干涉儀測向原理
8．5．1 一維相位干涉儀測向原理
8．5．2 二維相位干涉儀
8．6 空域濾波與數字波束形成
8．6．1 空域濾波和陣方向圖
8．6．2 數字自適應干擾置零
8．7 基於MVDR演算法的DBF方法
8．7．1 MVDR波束形成器原理
8．7．2 QR分解SMI演算法
8．7．3 MVDR波束形成器實例
8．7．4 LCMV波束形成器簡介
8．7．5 LCMV波束形成器的維納濾波器結構
8．8 空域APES數字波束形成和DOA估計方法
8．8．1 前向SAPES波束形成器原理
8．8．2 模擬實例
8．9 多旁瓣對消數字自適應波束形成方法
8．9．1 多旁瓣對消數字波束形成原理
8．9．2 多旁瓣對消的最小二乘法求解
8．10 陣列信號處理中的其他問題
8．10．1 相關信號源問題
8．10．2 寬頻信號源問題
8．10．3 陣列校正與均衡問題
習題
參考文獻
第9章 盲信號處理
9．1 盲信號處理的基本概念
9．1．1 盲系統辨識與盲解卷積
9．1．2 信道盲均衡
9．1．3 盲源分離與獨立分量分析（ICA）
9．1．4 盲波束形成
9．2 Bussgang盲均衡原理
9．2．1 自適應盲均衡與Bussgang過程
9．2．2 Sato演算法
9．2．3 恆模演算法
9．2．4 判決引導演算法
9．3 SIMO信道模型及子空間盲辨識原理
9．3．1 SIMO信道模型
9．3．2 SIMO信道模型的Sylvester矩陣
9．3．3 SIMO信道的可辨識條件和模糊性
9．3．4 基於子空間的盲辨識演算法
9．4 SIMO信道的CR盲辨識原理及自適應演算法
9．4．1 CR演算法
9．4．2 多信道LMS演算法
9．5 基於陣列結構的盲波束形成
9．5．1 基於奇異值分解的降維預處理
9．5．2 基於ESPRIT演算法的盲波束形成
9．6 基於信號恆模特性的盲波束形成
9．6．1 SGD CMA演算法
9．6．2 RLS CMA演算法
9．6．3 解析恆模演算法簡介
習題
參考文獻
索引
常用符號表

Ⅸ Levinson-Durbin演算法

用線性方程組的常用解法（例如高斯消元法）求解式（4-22），需要的運算量數量級為p³。但若利用系數矩陣的對稱性和Toeplitz性質，則可得到一些高效演算法，Levinson-Durbin演算法就是其中最著名、應用最廣泛的一種，其運算量數量級為p²。這是一種按階次進行遞推的演算法，即首先以AR（0）和AR（1）模型參數作為初始條件，計算AR（2）模型參數；然後根據這些參數計算AR（3）模型參數，等等，一直到計算出AR（p）模型參數為止。這樣，當整個迭代計算結束後，不僅求得了所需要的p階AR模型的參數，而且還得到了所有各低階模型的參數。

Levinson演算法的關鍵是要推導出由AR（k）模型的參數計算AR（k+1）模型的參數的迭代計算公式。對式（4-22）分析可知，Yule-Walker方程的系數矩陣具有以下兩個特點：

（1）從0階開始逐漸增加階次，可看出，某階方程的系數矩陣包含了前面各階系數矩陣（作為其子矩陣）。

（2）系數矩陣先進行列倒序再進行行倒序（或先行倒序再列倒序）後矩陣不變。

設已求得k階Yule-Walker方程

地球物理信息處理基礎

的參數｛a_k，1，a_k，2，…，a_k，k，

｝，現求解k+1階Yule-Walker方程

地球物理信息處理基礎

為此，將k階方程的系數矩陣增加一列和增加一行，成為下列形式的「擴大方程」

地球物理信息處理基礎

擴大方程中的D_k由下式來確定

地球物理信息處理基礎

利用前述系數矩陣的第二個特點，將擴大方程的行倒序，同時列也倒序，得「預備方程」

地球物理信息處理基礎

將待求的k+1階Yule-Walker方程的解表示成「擴大方程」解和「預備方程」解的線性組合形式

地球物理信息處理基礎

或

a_k+1，i=a_k，i-γ_k+1a_k，k+1-i，i=1，2，…，k

式中γ_k+1是待定系數，稱為反射系數。用k+1階系數矩陣

地球物理信息處理基礎

去左乘上式各項，得到

地球物理信息處理基礎

由該式可求出

地球物理信息處理基礎

地球物理信息處理基礎

由擴大方程的第一個方程可求出

地球物理信息處理基礎

從上面的推導中可歸納出如下由k階模型參數求k+1階模型參數的計算公式：

地球物理信息處理基礎

a_k+1，i=a_k，i-γ_k+1a_k，k+1-i，i=1，2，…，k （4-24）

地球物理信息處理基礎

對於AR（p）模型，遞推計算直到k+1=p為止。將模型參數代入式（1-135），即可計算功率譜估計值：

地球物理信息處理基礎

若在-π＜ω≤π范圍內的N個等間隔頻率點上均勻采樣，則上式可寫成

地球物理信息處理基礎

若N＞p，則上式中在N-1＞i＞p時，應取a_p，i=0。

如果自相關函數值不是已知的，而只知道N個觀測數據x_N（n），n=0，1，…，N-1，首先要用式（4-5）由x_N（n）估計出自相關函數值，得

，m=0，1，…，p。然後再用Levin-son演算法根據

來計算AR（p）模型的參數。

為了書寫簡單，今後將k階AR模型系數或k階線性預測系數a_k，i寫成a_ki，而對於k+1階來說，為了下標明確，仍寫成a_k+1，i。

Ⅹ 一段萊文森演算法的程序，求知道的人給我介紹下是什麼形式的萊文森演算法，急急急！！！

這是用來求解濾波器因子的萊文森(Levinson)遞推演算法子程序.t[]是托布里茲(Toeplitz)矩陣元素,一般為某個信號的自相關,n是信號自相關的前n項;b[]是輸入信號與期望輸出的信號的互相關,一般也只取其前n項.至於為什麼都只取前n項,是和你所求的濾波器因子個數相等的.x[]就是所求的解,也即濾波器因子.而y[]和s[]都是中間數組.萊文森遞推演算法在求解較大的托布里茲矩陣時,速度比較快,但對舍入誤差不敏感.
僅供參考哈,具體可以查看有關信號處理,維納濾波的資料.