插板演算法

1. 插板法里比如C(18,2）是怎麼計算的

你好！
插板法就是在n個元素間的（n-1）個空中插入
若干個（b）個板，可以把n個元素分成（b+1）組的方法。
應用插板法必須滿足三個條件：
（1）
這n個元素必須互不相異
（2）
所分成的每一組至少分得一個元素
(3)分成的組別彼此相異。
C(m,n）=m(m-1)…(m-n+1)/n!=m!/(n!(m-n)!)所以C(18,2)=18*17/2*1=153
僅代表個人觀點，不喜勿噴，謝謝。

2. 插板法指的是什麼呢

插板法就是在n個元素間的（n-1）個空中插入若干個（b）個板，可以把n個元素分成（b+1）組的方法。

注意插板法的三要件：相同元素分配；所分組是不相同的；每組至少分到一個。

插板法的例題：

（1）將8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，要求每個盒子至少放一個球，一共有多少種方法？A.21 B.28 C.32 D.48

解析：8個球中間有7個空，分到3個盒子需要插兩塊板，插板法C（7 2）=21種，選A。

對於不滿足第三個條件即「每組至少一個」的情況，要先轉化為標准形式，再使用插板法。

（2）將8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，要求每個盒子至少放兩個球，一共有多少種方法？A.3 B.6 C.12 D.21

解析：先往每個盒子里提前放一個，還剩下5個；轉化為5個相同的球分到3個不同的盒子，每個盒子至少一個，插板法C，6種，選B

（3）將8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，一共有多少種方法？A.15 B.28 C.36 D.45

解析：此時因為每個盒子可以分0個，先讓每個盒子提供一個球給我們、分的時候再還回去；轉化為11個相同的球分到3個不同的盒子，每個盒子至少一個，插板法 C（10 2）=45種，選D

此時也可以根據八個球之間9個空，兩個板子插不同的空有C（9 2）=36種、插同一個空有C（9 1）=9種，36+9=45種；對比三種不同的考法，其實它們之間是存在密切聯系的。

8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，每個盒子至少放0個球，有C（10 2）種；

8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，有C（7 2）種；

8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，每個盒子至少放兩個球，有C（4 2）種；

3. 請問插板法 是什麼能一步一步地解析清楚嗎像老師一樣。

插板法就是在n個元素間的（n-1）個空中插入 若干個（b）個板，可以把n個元素分成（b+1）組的方法。

應用插板法必須滿足三個條件：

1. 這n個元素必須互不相異

2. 所分成的每一組至少分得一個元素

3. 分成的組別彼此相異

4. 小學奧數插板法c2 9=36怎麼算出來的

可以這樣理解，9個空位，插入2塊擋板，插第一塊時，共有9個空位可以選擇，插第二塊板時，只剩下8個空位可用，這就是9*8種=72種可能。然後因為第一塊板和第二塊板顛倒位置實際上還是同一種選擇，所以72種裡面有一半是重復的，所以是72/2=36種。

5. 插板法公式原理是什麼

板法就是在n個元素間的（n-1）個空中插入若干個（b）個板，可以把n個元素分成（b+1）組的方法。

應用插板法必須滿足三個條件：

（1）這n個元素必須互不相異。

（2）所分成的每一組至少分得一個元素。

（3）分成的組別彼此相異。

插板法的解題思路：

將n個相同的元素排成一行，n個元素之間出現了（n-1）個空檔，現在我們用（m-1）個「檔板」插入（n-1）個空檔中，就把n個元素隔成有序的m份。

每個組依次按組序號分到對應位置的幾個元素（可能是1個、2個、3個、4個），這樣不同的插入辦法就對應著n個相同的元素分到m組的一種分法，這種藉助於這樣的虛擬「檔板」分配元素的方法稱之為插板法。

6. 插板法的公式意義和演算法

插板法就是在n個元素間的（n-1）個空中插入 若干個（b）個板，可以把n個元素分成（b+1）組的方法。 應用插板法必須滿足三個條件： （1） 這n個元素必須互不相異 （2） 所分成的每一組至少分得一個元素 (3) 分成的組別彼此相異

7. 插板法公式。

插板法就是在n個元素間的（n-1）個空中插入 若干個（b）個板，可以把n個元素分成（b+1）組的方法。
應用插板法必須滿足三個條件：
（1） 這n個元素必須互不相異
（2） 所分成的每一組至少分得一個元素
(3) 分成的組別彼此相異
舉個很普通的例子來說明
把10個相同的小球放入3個不同的箱子，每個箱子至少一個，問有幾種情況？
問題的題干滿足 條件（1）（2），適用插板法，c9 2=36
下面通過幾道題目介紹下插板法的應用
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a 湊元素插板法 （有些題目滿足條件（1），不滿足條件（2），此時可適用此方法）
例1 ：把10個相同的小球放入3個不同的箱子，問有幾種情況？
3個箱子都可能取到空球，條件（2）不滿足，此時如果在3個箱子種各預先放入
1個小球，則問題就等價於把13個相同小球放入3個不同箱子，每個箱子至少一個，有幾種情況？
顯然就是 c12 2=66
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例2： 把10個相同小球放入3個不同箱子，第一個箱子至少1個，第二個箱子至少3個，第三個箱子可以放空球，有幾種情況？
我們可以在第二個箱子先放入10個小球中的2個，小球剩8個放3個箱子，然後在第三個箱子放入8個小球之外的1個小球，則問題轉化為 把9個相同小球放3不同箱子，每箱至少1個，幾種方法？ c8 2=28
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b 添板插板法
例3：把10個相同小球放入3個不同的箱子，問有幾種情況？
-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o表示10個小球，-表示空位
11個空位中取2個加入2塊板，第一組和第三組可以取到空的情況，第2組始終不能取空
此時 若在 第11個空位後加入第12塊板，設取到該板時，第二組取球為空
則每一組都可能取球為空 c12 2=66
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例4：有一類自然數，從第三個數字開始，每個數字都恰好是它前面兩個數字之和，直至不能再寫為止，如257，1459等等，這類數共有幾個？
因為前2位數字唯一對應了符合要求的一個數，只要求出前2位有幾種情況即可，設前兩位為ab
顯然a+b<=9 ,且a不為0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1代表9個1，-代表10個空位
我們可以在這9個空位中插入2個板，分成3組，第一組取到a個1，第二組取到b個1，但此時第二組始終不能取空，若多添加第10個空時，設取到該板時第二組取空，即b=0，所以一共有 c10 2=45
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例5：有一類自然數，從第四個數字開始，每個數字都恰好是它前面三個數字之和，直至不能再寫為止，如2349，1427等等，這類數共有幾個？
類似的，某數的前三位為abc，a+b+c<=9,a不為0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -
在9個空位種插如3板，分成4組，第一組取a個1，第二組取b個1，第三組取c個1，由於第二，第三組都不能取到空，所以添加2塊板
設取到第10個板時，第二組取空，即b=0；取到第11個板時，第三組取空，即c=0。所以一共有c11 3=165
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c 選板法
例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完為止，求有多少種不同吃法？
o - o - o - o - o - o - o - o - o - o o代表10個糖，-代表9塊板
10塊糖，9個空，插入9塊板，每個板都可以選擇放或是不放，相鄰兩個板間的糖一天吃掉
這樣一共就是 2^9= 512啦
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d 分類插板
例7： 小梅有15塊糖，如果每天至少吃3塊，吃完為止，那麼共有多少種不同的吃法？
此問題不能用插板法的原因在於沒有規定一定要吃幾天，因此我們需要對吃的天數進行分類討論
最多吃5天，最少吃1天
1： 吃1天或是5天，各一種吃法 一共2種情況
2：吃2天，每天預先吃2塊，即問11塊糖，每天至少吃1塊，吃2天，幾種情況？ c10 1=10
3：吃3天，每天預先吃2塊，即問9塊糖，每天至少1塊，吃3天? c8 2=28
4：吃4天，每天預先吃2塊，即問7塊糖，每天至少1塊，吃4天？c6 3=20
所以一共是 2+10+28+20=60 種
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e 二次插板法
例8 ：在一張節目單中原有6個節目，若保持這些節目相對次序不變，再添加3個節目，共有幾種情況？
-o - o - o - o - o - o - 三個節目abc
可以用一個節目去插7個空位，再用第二個節目去插8個空位，用最後個節目去插9個空位
所以一共是 c7 1×c8 1×c9 1=504種

8. 插板法排列組合是什麼

插板法排列組合是對屬於相同元素(或者說相同的東西)分配問題，這些元素之間不可分辨(或說對元素限制很弱)，一般只要求不等於零，只對分成的份數有要求。如對相同的球裝入到可以分辨的盒子中，而求裝入方法數的問題，常用插板法。

從給定個數的元素中取出指定個數的元素進行排序。組合則是指從給定個數的元素中僅僅取出指定個數的元素，不考慮排序。排列組合的中心問題是研究給定要求的排列和組合可能出現的情況總數。

(8)插板演算法擴展閱讀

在形成與形密切相關的各種數學分支的過程中，如幾何學、拓撲學以至范疇論的形成與發展，逐步地從形的多樣性也發現了數形的多樣性，產生了各種數形的技巧。

近代的集合論、數理邏輯等反映了潛在的數與形之間的結合。而現代的代數拓撲和代數幾何等則將數與形密切地聯系在一起了。這些，對於以數的技巧為中心課題的近代組合學的形成與發展都產生了而且還將會繼續產生深刻的影響。

9. 插板法公式怎麼理解

插板法公式理解思路為：將 n 個相同的元素排成一行， n 個元素之間出現了（ n-1 ）個空檔，現在我們用（ m-1 ）個 「檔板 」插入（ n-1 ）個空檔中，就把 n 個元素隔成有序的 m 份，每個組依次按組序號分到對應位置的幾個元素（可能是 1 個、2 個、 3 個、 4 個、 ….）。

這樣不同的插入辦法就對應著 n 個相同的元素分到 m 組的一種分法，這種藉助於這樣的虛擬 「檔板 」分配元素的方法稱之為插板法。

例題：共有 10 完全相同的球分到 7 個班裡，每個班至少要分到一個球，問有幾種不同分法。

解析：我們可以將 10 個相同的球排成一行， 10 個球之間出現了 9 個空隙，現在我們用 6 個檔板 」插入這 9個空隙中，就 「把 10 個球隔成有序的 7 份，每個班級依次按班級序號分到對應位置的幾個球，這樣，藉助於虛擬 「檔板 」就可以把 10 個球分到了 7 個班中。

插板法基本題型的變形

（1）變形1：有 n 個相同的元素，要求分到 m 組中，問有多少種不同的分法。

解題思路：這種問題是允許有些組中分到的元素為 「0」，也就是組中可以為空的。對於這樣的題，我們就首先將每組都填上 1 個，這樣所要元素總數就 m 個，問題也就是轉變成將（ n+m ）個元素分到 m 組，並且每組至少分到一個的問題，也就可以用插板法來解決。

例題：有 8 個相同的球放到三個不同的盒子里，共有（ ）種不同方法 。

解答：題目允許盒子有空，則需要每個組添加 1 個，則球的總數為 8+3 ×1=11，此題就有 C（10 ，2） =45（種）分法了。

10. 插板法指的是什麼

插板法就是在n個元素間的（n-1）個空中插入 若干個（b）個板，可以把n個元素分成（b+1）組的方法。

應用插板法必須滿足三個條件：

這n個元素必須互不相異。

所分成的每一組至少分得一個元素。

分成的組別彼此相異。

排列組合問題——插板法。

元素分組又分為相同元素分組和不相同元素分組這兩類問題。對於相同元素分組來說，如果是相同元素分到相同的組里，問題就變的沒有意義，公考中也不會涉及到。那麼對於相同元素分到不同的組里，一般我們就用插板法來解決。