曲線演算法
#!/usr/bin/envpython#-*-coding:utf-8-*-########################Info:CurveSimplify#Version1.0#Author:AlexPan#Date:2017-07-11#########################DataTypeuintType=np.uint8
floatType=np.float32##-----------------------------------------------------------------------------------##GetDistanceBetweenpointand[line_start-line_end]LinedefgetPoint2LineDistance(point,line_start,line_end):
#Exception
ifnotisinstance(point,np.ndarray)ornotisinstance(line_start,np.ndarray)ornotisinstance(line_end,np.ndarray):raiseTypeError('AllpointsMUSTbenumpy.ndarray!')elifpoint.ndim!=1orpoint.shape!=line_start.shapeorpoint.shape!=line_end.shape:raiseValueError('!')elif(line_start==line_end).all():raiseException('line_startistheSAMEasline_end!')returnnp.sqrt(np.sum(np.square(point-line_start))-np.square(np.sum((line_end-line_start)*(point-line_start)))/np.sum(np.square(line_end-line_start),dtype=floatType))##-----------------------------------------------------------------------------------##Constrcuctnp.linspaceArraybetweenraw_array[index_start]andraw_array[index_end]defgetLinspaceArray(raw_array,index_start,index_end):
#Exception
ifnotisinstance(raw_array,np.ndarray):raiseTypeError('raw_arrayMUSTbenumpy.ndarray!')elifindex_start<0orindex_end>raw_array.shape[0]orindex_start>index_end:raiseValueError('index_startorindex_endINVALID!')#ReconstructArraybynp.linspaceBasedonkeyIndexes
linspaceArray=np.linspace(raw_array[index_start][0],raw_array[index_end][0],num=index_end-index_start+1,endpoint=True,dtype=floatType)foriinxrange(1,raw_array.shape[1]):
linspaceArray=np.row_stack((linspaceArray,np.linspace(raw_array[index_start][i],raw_array[index_end][i],num=index_end-index_start+1,endpoint=True,dtype=floatType)))returnnp.transpose(linspaceArray)##-----------------------------------------------------------------------------------##(array_A,array_B):
#Exception
ifnotisinstance(array_A,np.ndarray)ornotisinstance(array_B,np.ndarray):raiseTypeError('array_Aandarray_BMUSTbenumpy.ndarray!')elifarray_A.shape!=array_B.shape:raiseValueError('array_Aandarray_BdimensionsNOTmatched!')#Vector
ifarray_A.ndim==array_B.ndim==1:returnnp.sqrt(np.sum(np.square(array_A-array_B)))#Array
error_array=array_A-array_B
error_list=[np.sqrt(np.sum(np.square(error)))forerrorinerror_array]returnfloat(sum(error_list))/len(error_list)##-----------------------------------------------------------------------------------##(poses_array,max_key=10,error_threshold=0.05):
#Exception
ifnotisinstance(poses_array,np.ndarray):raiseTypeError('poses_arrayMUSTbenumpy.ndarray!')#Initialize
N_poses,M_poses=poses_array.shape
keyIndexes=[0,N_poses-1]
reconstructArray=getLinspaceArray(raw_array=poses_array,index_start=keyIndexes[0],index_end=keyIndexes[-1])#Divide
flagContinue=True
whileflagContinue:
keyIndexes.sort()
keyDeltas=[(keyIndexes[i],keyIndexes[i+1])foriinxrange(len(keyIndexes)-1)]forkeyStart,keyEndinkeyDeltas:
distanceList=[getPoint2LineDistance(point=poses_array[i],line_start=poses_array[keyStart],line_end=poses_array[keyEnd])foriinxrange(keyStart+1,keyEnd)]
keyNew=keyStart+distanceList.index(max(distanceList))+1
keyIndexes.append(keyNew)#Reconstruct[keyStart-keyNew]&[keyNew-keyEnd]
reconstructArray[keyStart:keyNew+1]=getLinspaceArray(raw_array=poses_array,index_start=keyStart,index_end=keyNew)
reconstructArray[keyNew:keyEnd+1]=getLinspaceArray(raw_array=poses_array,index_start=keyNew,index_end=keyEnd)
reconstructError=computeReconstructError(poses_array,reconstructArray)#PrintScreen
printcolored('keyNum:','magenta'),len(keyIndexes)print'recError:',colored(str(reconstructError),'white')#ipdb.set_trace()
#EndCondition:KeyNumorReconstructError
iflen(keyIndexes)==max_keyorreconstructError<error_threshold:
flagContinue=False
break
keyIndexes.sort()returnkeyIndexes,reconstructError
2. 數學建模中s型曲線定義（代數表達式）是什麼，如何使用
世界近代三大數學難題之一四色猜想
四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：「看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。」這個結論能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。
1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數學家德.摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，於是寫信向自己的好友、著名數學家哈密爾頓爵士請教。哈密爾頓接到摩爾根的信後，對四色問題進行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色 猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰 。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認為四色猜想從此也就解決了。
11年後，即1890年，數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。後來，越來越多的數學家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目, 實是一個可與費馬猜想相媲美的難題：先輩數學大師們的努力，為後世的數學家揭示四色猜想之謎鋪平了道路。
進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎上引進了一些新技巧，美國數學家富蘭克林於1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨後又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界。它不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且有可能成為數學史上一系列新思維的起點。不過也有不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。
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世界近代三大數學難題之一 費馬最後定理
被公認執世界報紙牛耳地位地位的紐約時報於1993年6月24日在其一版頭題刊登了一則有
關數學難題得以解決的消息，那則消息的標題是「在陳年數學困局中，終於有人呼叫『
我找到了』」。時報一版的開始文章中還附了一張留著長發、穿著中古世紀歐洲學袍的
男人照片。這個古意盎然的男人，就是法國的數學家費馬（Pierre de Fermat）（費馬
小傳請參考附錄）。費馬是十七世紀最卓越的數學家之一，他在數學許多領域中都有極
大的貢獻，因為他的本行是專業的律師，為了表彰他的數學造詣，世人冠以「業余王子
」之美稱，在三百六十多年前的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘數學家戴奧芬多斯的
數學書時，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個看起來很簡單的定理這個定理的內
容是有關一個方程式 x2 + y2 =z2的正整數解的問題，當n=2時就是我們所熟知的畢氏定
理（中國古代又稱勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之
兩股，也就是一個直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和，這個方程式當然有
整數解（其實有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13…
等等。
費馬聲稱當n>2時，就找不到滿足xn +yn = zn的整數解，例如：方程式x3 +y3=z3就無法
找到整數解。
當時費馬並沒有說明原因，他只是留下這個敘述並且也說他已經發現這個定理的證明妙
法，只是書頁的空白處不夠無法寫下。始作俑者的費馬也因此留下了千古的難題，三百
多年來無數的數學家嘗試要去解決這個難題卻都徒勞無功。這個號稱世紀難題的費馬最
後定理也就成了數學界的心頭大患，極欲解之而後快。
十九世紀時法國的法蘭西斯數學院曾經在一八一五年和一八六0年兩度懸賞金質獎章和
三百法郎給任何解決此一難題的人，可惜都沒有人能夠領到獎賞。德國的數學家佛爾夫
斯克爾（P?Wolfskehl）在1908年提供十萬馬克，給能夠證明費馬最後定理是正確的人，
有效期間為100年。其間由於經濟大蕭條的原因，此筆獎額已貶值至七千五百馬克，雖然
如此仍然吸引不少的「數學痴」。
二十世紀電腦發展以後，許多數學家用電腦計算可以證明這個定理當n為很大時是成立的
，1983年電腦專家斯洛文斯基藉助電腦運行5782秒證明當n為286243-1時費馬定理是正確
的（注286243-1為一天文數字，大約為25960位數）。
雖然如此，數學家還沒有找到一個普遍性的證明。不過這個三百多年的數學懸案終於解
決了，這個數學難題是由英國的數學家威利斯（Andrew Wiles）所解決。其實威利斯是
利用二十世紀過去三十年來抽象數學發展的結果加以證明。
五0年代日本數學家谷山豐首先提出一個有關橢圓曲現的猜想，後來由另一位數學家志
村五郎加以發揚光大，當時沒有人認為這個猜想與費馬定理有任何關聯。在八0年代德
國數學家佛列將谷山豐的猜想與費馬定理扯在一起，而威利斯所做的正是根據這個關聯
論證出一種形式的谷山豐猜想是正確的，進而推出費馬最後定理也是正確的。這個結論
由威利斯在1993年的6月21日於美國劍橋大學牛頓數學研究所的研討會正式發表，這個報
告馬上震驚整個數學界，就是數學門牆外的社會大眾也寄以無限的關注。不過威利斯的
證明馬上被檢驗出有少許的瑕疵，於是威利斯與他的學生又花了十四個月的時間再加以
修正。1994年9月19日他們終於交出完整無瑕的解答，數學界的夢魘終於結束。1997年6
月，威利斯在德國哥庭根大學領取了佛爾夫斯克爾獎。當年的十萬法克約為兩百萬美金
，不過威利斯領到時，只值五萬美金左右，但威利斯已經名列青史，永垂不朽了。
要證明費馬最後定理是正確的
（即xn + yn = zn 對n33 均無正整數解）
只需證 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P為奇質數)，都沒有整數解。
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世界近代三大數學難題之一 哥德巴赫猜想
哥德巴赫是德國一位中學教師，也是一位著名的數學家，生於1690年，1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。1742年，哥德巴赫在教學中發現，每個不小於6的偶數都是兩個素數(只能被和它本身整除的數)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。 1742年6月7日，哥德巴赫寫信將這個問題告訴給義大利大數學家歐拉，並請他幫助作出證明。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數學家都不能證明，這個猜想便引起了許多數學家的注意。他們對一個個偶數開始進行驗算，一直算到3．3億，都表明猜想是正確的。但是對於更大的數目，猜想也應是對的，然而不能作出證明。歐拉一直到死也沒有對此作出證明。從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的「明珠」。到了20世紀20年代，才有人開始向它靠近。1920年、挪威數學家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個結論：每一個比大的偶數都可以表示為(99)。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們於是從(9十9)開始，逐步減少每個數里所含質數因子的個數，直到最後使每個數里都是一個質數為止，這樣就證明了「哥德巴赫」。 1924年，數學家拉德馬哈爾證明了(7＋7)；1932年，數學家愛斯爾曼證明了(6＋6)；1938年，數學家布赫斯塔勃證明了(5十5)，1940年，他又證明了(4＋4)；1956年，數學家維諾格拉多夫證明了(3＋3)；1958年，我國數學家王元證明了(2十3)。隨後，我國年輕的數學家陳景潤也投入到對哥德巴赫猜想的研究之中，經過10年的刻苦鑽研，終於在前人研究的基礎上取得重大的突破，率先證明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最後一步(1＋1)了。陳景潤的論文於1973年發表在中國科學院的《科學通報》第17期上，這一成果受到國際數學界的重視，從而使中國的數論研究躍居世界領先地位，陳景潤的有關理論被稱為「陳氏定理」。1996年3月下旬，當陳景潤即將摘下數學王冠上的這顆明珠，「在距離哥德巴赫猜想(1＋1)的光輝頂峰只有颶尺之遙時，他卻體力不支倒下去了……」在他身後，將會有更多的人去攀登這座高峰。
一 數學基礎問題。
1、 數是什麼？
2、 四則運算是什麼？
3、 加法和乘法為什麼符合交換律，結合律，分配律？
4、 幾何圖形是什麼？
二 幾個未解的題。
1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=?
更一般地：
當k為奇數時 求
(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=?
背景：
歐拉求出：
(1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6
並且當k為偶數時的表達式。
2、e+π的超越性
背景
此題為希爾伯特第7問題中的一個特例。
已經證明了e^π的超越性，卻至今未有人證明e+π的超越性。
3、素數問題。
證明：
ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + …
(s屬於復數域)
所定義的函數ζ(s)的零點，除負整實數外，全都具有實部1/2。
背景：
此即黎曼猜想。也就是希爾伯特第8問題。
美國數學家用計算機算了ζ(s)函數前300萬個零點確實符合猜想。
希爾伯特認為黎曼猜想的解決能夠使我們嚴格地去解決歌德巴赫猜想（任一偶數可以分解為兩素數之和）和孿生素數猜想（存在無窮多相差為2的素數）。
引申的問題是：素數的表達公式？素數的本質是什麼？
4、 存在奇完全數嗎？
背景：
所謂完全數，就是等於其因子的和的數。
前三個完全數是：
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
目前已知的32個完全數全部是偶數。
1973年得到的結論是如果n為奇完全數，則：
n>10^50
5、 除了8=2^3,9=3^2外，再沒有兩個連續的整數可表為其他正整數的方冪了嗎？
背景：
這是卡塔蘭猜想（1842）。
1962年我國數學家柯召獨立證明了不存在連續三個整數可表為其它正整數的方冪。
1976年，荷蘭數學家證明了大於某個數的任何兩個正整數冪都不連續。因此只要檢查小於這個數的任意正整數冪是否有連續的就行了。
但是，由於這個數太大，有500多位，已超出計算機的計算范圍。
所以，這個猜想幾乎是正確的，但是至今無人能夠證實。
6、 任給一個正整數n，如果n為偶數，就將它變為n/2,如果除後變為奇數，則將它乘3加1（即3n+1）。不斷重復這樣的運算，經過有限步後，一定可以得到1嗎？
背景：
這角古猜想（1930）。
人們通過大量的驗算，從來沒有發現反例，但沒有人能證明。
三 希爾伯特23問題里尚未解決的問題。
1、問題1連續統假設。
全體正整數（被稱為可數集）的基數 和實數集合（被稱為連續統）的基數c之間沒有其它基數。
背景：1938年奧地利數學家哥德爾證明此假設在集合論公理系統，即策莫羅-佛朗克爾公理系統里，不可證偽。
1963年美國數學家柯恩證明在該公理系統，不能證明此假設是對的。
所以，至今未有人知道，此假設到底是對還是錯。
2、問題2 算術公理相容性。
背景：哥德爾證明了算術系統的不完備，使希爾伯特的用元數學證明算術公理系統的無矛盾性的想法破滅。
3、 問題7 某些數的無理性和超越性。
見上面 二 的 2
5、 問題 8 素數問題。
見上面 二 的 3
6、 問題 11 系數為任意代數數的二次型。
背景：德國和法國數學家在60年代曾取得重大進展。
7、 問題 12 阿貝爾域上的克羅內克定理在任意代數有理域上的推廣。
背景：此問題只有些零散的結果，離徹底解決還十分遙遠。
8、 問題13 僅用二元函數解一般7次代數方程的不可能性。
背景：1957蘇聯數學家解決了連續函數情形。如要求是解析函數則此問題尚未完全解決。
9、 問題15 舒伯特計數演算的嚴格基礎。
背景： 代數簌交點的個數問題。和代數幾何學有關。
10、 問題 16 代數曲線和曲面的拓撲。
要求代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。和微分方程的極限環的最多個數和相對位置。
11、 問題 18 用全等多面體來構造空間。
無限個相等的給定形式的多面體最緊密的排列問題，現在仍未解決。
12、 問題 20 一般邊值問題。
偏微分方程的邊值問題，正在蓬勃發展。
13、 問題 23 變分法的進一步發展。
四 千禧七大難題
2000年美國克雷數學促進研究所提出。為了紀念百年前希爾伯特提出的23問題。每一道題的賞金均為百萬美金。
1、 黎曼猜想。
見 二 的 3
透過此猜想，數學家認為可以解決素數分布之謎。
這個問題是希爾伯特23個問題中還沒有解決的問題。透過研究黎曼猜想數
學家們認為除了能解開質數分布之謎外，對於解析數論、函數理論、
橢圓函數論、群論、質數檢驗等都將會有實質的影響。
2、楊-密爾斯理論與質量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap
Hypothesis)
西元1954 年楊振寧與密爾斯提出楊-密爾斯規范理論，楊振寧由
數學開始，提出一個具有規范性的理論架構，後來逐漸發展成為量子
物理之重要理論，也使得他成為近代物理奠基的重要人物。
楊振寧與密爾斯提出的理論中會產生傳送作用力的粒子，而他們
碰到的困難是這個粒子的質量的問題。他們從數學上所推導的結果
是，這個粒子具有電荷但沒有質量。然而，困難的是如果這一有電荷
的粒子是沒有質量的，那麼為什麼沒有任何實驗證據呢？而如果假定
該粒子有質量，規范對稱性就會被破壞。一般物理學家是相信有質
量，因此如何填補這個漏洞就是相當具挑戰性的數學問題。
3、P 問題對NP 問題(The P Versus NP Problems)
隨著計算尺寸的增大，計算時間會以多項式方式增加的型式的問題叫做「P 問題」。
P 問題的P 是Polynomial Time(多項式時間)的頭一個字母。已
知尺寸為n，如果能決定計算時間在cnd (c 、d 為正實數) 時間以下
就可以或不行時，我們就稱之為「多項式時間決定法」。而能用這個
演算法解的問題就是P 問題。反之若有其他因素，例如第六感參與進來
的演算法就叫做「非決定性演算法」，這類的問題就是「NP 問題」，NP 是
Non deterministic Polynomial time (非決定性多項式時間)的縮寫。
由定義來說，P 問題是NP 問題的一部份。但是否NP 問題裡面有
些不屬於P 問題等級的東西呢？或者NP 問題終究也成為P 問題？這
就是相當著名的PNP 問題。
4、.納維爾–史托克方程（Navier–Stokes Equations）
因為尤拉方程太過簡化所以尋求作修正，在修正的過程中產生了
新的結果。法國工程師納維爾及英國數學家史托克經過了嚴格的數學
推導，將黏性項也考慮進去得到的就是納維爾–史托克方程。
自從西元1943 年法國數學家勒雷（Leray）證明了納維爾–史托
克方程的全時間弱解(global weak solution)之後，人們一直想知道
的是此解是否唯一？得到的結果是：如果事先假設納維爾–史托克方
程的解是強解(strong solution)，則解是唯一。所以此問題變成:弱解與強解之間的差距有多大，有沒有可能弱解會等於強解？換句話說，是不是能得到納維爾–史托克方程的全時間平滑解？再者就是證
明其解在有限時間內會爆掉(blow up in finite time)。
解決此問題不僅對數學還有對物理與航太工程有貢獻，特別是亂
流(turbulence)都會有決定性的影響，另外納維爾–史托克方程與奧
地利偉大物理學家波茲曼的波茲曼方程也有密切的關系，研究納維
爾–史托克（尤拉）方程與波茲曼方程（Boltzmann Equations）兩
者之關系的學問叫做流體極限(hydrodynamics limit)，由此可見納
維爾–史托克方程本身有非常豐富之內涵。
5.龐加萊臆測(Poincare Conjecture)
龐加萊臆測是拓樸學的大問題。用數學界的行話來說：單連通的
三維閉流形與三維球面同胚。
從數學的意義上說這是一個看似簡單卻又非
常困難的問題，自龐加萊在西元1904 年提出之
後，吸引許多優秀的數學家投入這個研究主題。
龐加萊（圖4）臆測提出不久，數學們自然的將
之推廣到高維空間(n4)，我們稱之為廣義龐加萊臆測：單連通的
≥
n(n4)維閉流形，如果與n
≥ 維球面有相同的基本群(fundamental group)則必與n維球面同胚。
經過近60 年後，西元1961 年，美國數學家斯麥爾（Smale）以
巧妙的方法，他忽略三維、四維的困難，直接證明五維(n5)以上的
≥
廣義龐加萊臆測，他因此獲得西元1966 年的費爾茲獎。經過20年之
後，另一個美國數學家佛瑞曼（Freedman）則證明了四維的龐加萊臆
測，並於西元1986年因為這個成就獲得費爾茲獎。但是對於我們真
正居住的三維空間(n3)，在當時仍然是一個未解之謎。
=
一直到西元2003 年4 月，俄羅斯數學家斐雷曼（Perelman）於
麻省理工學院做了三場演講，在會中他回答了許多數學家的疑問，許
多跡象顯示斐雷曼可能已經破解龐加萊臆測。數天後「紐約時報」首
次以「俄國人解決了著名的數學問題」為題向公眾披露此一消息。同
日深具影響力的數學網站MathWorld 刊出的頭條文章為「龐加萊臆測
被證明了，這次是真的！」[14]。
數學家們的審查將到2005年才能完成，到目前為止，尚未發現
斐雷曼無法領取克雷數學研究所之百萬美金的漏洞。
6.白之與斯溫納頓-戴爾臆測（Birch and Swinnerton-Dyer
Conjecture）
一般的橢圓曲線方程式 y^2=x^3+ax+b ，在計算橢圓之弧長時
就會遇見這種曲線。自50 年代以來，數學家便發現橢圓曲線與數論、
幾何、密碼學等有著密切的關系。例如：懷爾斯（Wiles）證明費馬
最後定理，其中一個關鍵步驟就是用到橢圓曲線與模形式(molarform)之關系－即谷山-志村猜想，白之與斯溫納頓-戴爾臆測就是與
橢圓曲線有關。
60年代英國劍橋大學的白之與斯溫納頓-戴爾利用電腦計算一些
多項式方程式的有理數解。通常會有無窮多解，然而要如何計算無限
呢？其解法是先分類，典型的數學方法是同餘(congruence)這個觀念
並藉此得同餘類(congruence class)即被一個數除之後的余數，無窮
多個數不可能每個都要。數學家自然的選擇了質數，所以這個問題與
黎曼猜想之Zeta 函數有關。經由長時間大量的計算與資料收集，他
們觀察出一些規律與模式，因而提出這個猜測。他們從電腦計算之結
果斷言：橢圓曲線會有無窮多個有理點，若且唯若附於曲線上面的
Zeta 函數ζ (s) = 時取值為0，即ζ (1)
；當s1= 0
7.霍奇臆測(Hodge Conjecture)
「任意在非奇異投影代數曲體上的調和微分形式，都是代數圓之
上同調類的有理組合。」
最後的這個難題，雖不是千禧七大難題中最困難的問題，但卻可
能是最不容易被一般人所了解的。因為其中有太多高深專業而且抽象
參考資料：《數學的100個基本問題》《數學與文化》《希爾伯特23個數學問題回顧》
3. 擬合貝塞爾曲線演算法 （50分）
這里有篇文章是演算法的C實現
http://hi..com/roooy/blog/item/5336d7dee09f9e50ccbf1a01.html
4. 擬合貝塞爾曲線演算法
是用貝塞爾曲線擬合。參考WinSDK中PolyBezierTo函數。 /* *by Z */ int CalcCtrlPoint(POINT P0,POINT P1,POINT P2,POINT *C)//C為P1與P2之間
5. 怎麼樣把曲線直線化要去有演算法
.比如一個圓，可以讓他內接正n變形，n越大 就相當於把圓（曲線）直線化。而對於比如二次函數
是沒辦法的。你問的不太明確。 如果是求曲線長度，比如圓，就用細線圍住它，然後把線拉直，測量就可以了。也算曲線直線化- -
6. 求photoshop中曲線調整裡面的曲線效果的演算法。謝謝
用的是B樣條曲線插值演算法，邊界條件為自然邊界。我剛剛驗證過。