多數演算法

Ⅰ 數據挖掘十大經典演算法及各自優勢

數據挖掘十大經典演算法及各自優勢

不僅僅是選中的十大演算法，其實參加評選的18種演算法，實際上隨便拿出一種來都可以稱得上是經典演算法，它們在數據挖掘領域都產生了極為深遠的影響。
1. C4.5
C4.5演算法是機器學習演算法中的一種分類決策樹演算法,其核心演算法是ID3演算法. C4.5演算法繼承了ID3演算法的優點，並在以下幾方面對ID3演算法進行了改進：
1) 用信息增益率來選擇屬性，克服了用信息增益選擇屬性時偏向選擇取值多的屬性的不足；2) 在樹構造過程中進行剪枝；3) 能夠完成對連續屬性的離散化處理；4) 能夠對不完整數據進行處理。
C4.5演算法有如下優點：產生的分類規則易於理解，准確率較高。其缺點是：在構造樹的過程中，需要對數據集進行多次的順序掃描和排序，因而導致演算法的低效。
2. The k-means algorithm 即K-Means演算法
k-means algorithm演算法是一個聚類演算法，把n的對象根據他們的屬性分為k個分割，k < n。它與處理混合正態分布的最大期望演算法很相似，因為他們都試圖找到數據中自然聚類的中心。它假設對象屬性來自於空間向量，並且目標是使各個群組內部的均 方誤差總和最小。
3. Support vector machines
支持向量機，英文為Support Vector Machine，簡稱SV機（論文中一般簡稱SVM）。它是一種監督式學習的方法，它廣泛的應用於統計分類以及回歸分析中。支持向量機將向量映射到一個更 高維的空間里，在這個空間里建立有一個最大間隔超平面。在分開數據的超平面的兩邊建有兩個互相平行的超平面。分隔超平面使兩個平行超平面的距離最大化。假 定平行超平面間的距離或差距越大，分類器的總誤差越小。一個極好的指南是C.J.C Burges的《模式識別支持向量機指南》。van der Walt 和 Barnard 將支持向量機和其他分類器進行了比較。
4. The Apriori algorithm
Apriori演算法是一種最有影響的挖掘布爾關聯規則頻繁項集的演算法。其核心是基於兩階段頻集思想的遞推演算法。該關聯規則在分類上屬於單維、單層、布爾關聯規則。在這里，所有支持度大於最小支持度的項集稱為頻繁項集，簡稱頻集。
5. 最大期望(EM)演算法
在統計計算中，最大期望（EM，Expectation–Maximization）演算法是在概率（probabilistic）模型中尋找參數最大似然 估計的演算法，其中概率模型依賴於無法觀測的隱藏變數（Latent Variabl）。最大期望經常用在機器學習和計算機視覺的數據集聚（Data Clustering）領域。
6. PageRank
PageRank是Google演算法的重要內容。2001年9月被授予美國專利，專利人是Google創始人之一拉里·佩奇（Larry Page）。因此，PageRank里的page不是指網頁，而是指佩奇，即這個等級方法是以佩奇來命名的。
PageRank根據網站的外部鏈接和內部鏈接的數量和質量倆衡量網站的價值。PageRank背後的概念是，每個到頁面的鏈接都是對該頁面的一次投票， 被鏈接的越多，就意味著被其他網站投票越多。這個就是所謂的「鏈接流行度」——衡量多少人願意將他們的網站和你的網站掛鉤。PageRank這個概念引自 學術中一篇論文的被引述的頻度——即被別人引述的次數越多，一般判斷這篇論文的權威性就越高。
7. AdaBoost
Adaboost是一種迭代演算法，其核心思想是針對同一個訓練集訓練不同的分類器(弱分類器)，然後把這些弱分類器集合起來，構成一個更強的最終分類器 (強分類器)。其演算法本身是通過改變數據分布來實現的，它根據每次訓練集之中每個樣本的分類是否正確，以及上次的總體分類的准確率，來確定每個樣本的權 值。將修改過權值的新數據集送給下層分類器進行訓練，最後將每次訓練得到的分類器最後融合起來，作為最後的決策分類器。
8. kNN: k-nearest neighbor classification
K最近鄰(k-Nearest Neighbor，KNN)分類演算法，是一個理論上比較成熟的方法，也是最簡單的機器學習演算法之一。該方法的思路是：如果一個樣本在特徵空間中的k個最相似(即特徵空間中最鄰近)的樣本中的大多數屬於某一個類別，則該樣本也屬於這個類別。
9. Naive Bayes
在眾多的分類模型中，應用最為廣泛的兩種分類模型是決策樹模型(Decision Tree Model)和樸素貝葉斯模型（Naive Bayesian Model，NBC）。 樸素貝葉斯模型發源於古典數學理論，有著堅實的數學基礎，以 及穩定的分類效率。同時，NBC模型所需估計的參數很少，對缺失數據不太敏感，演算法也比較簡單。理論上，NBC模型與其他分類方法相比具有最小的誤差率。 但是實際上並非總是如此，這是因為NBC模型假設屬性之間相互獨立，這個假設在實際應用中往往是不成立的，這給NBC模型的正確分類帶來了一定影響。在屬 性個數比較多或者屬性之間相關性較大時，NBC模型的分類效率比不上決策樹模型。而在屬性相關性較小時，NBC模型的性能最為良好。10. CART: 分類與回歸樹
CART, Classification and Regression Trees。 在分類樹下面有兩個關鍵的思想。第一個是關於遞歸地劃分自變數空間的想法；第二個想法是用驗證數據進行剪枝。

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Ⅱ 人工智慧演算法有哪些

人工智慧演算法有：決策樹、隨機森林演算法、邏輯回歸、SVM、樸素貝葉斯、K最近鄰演算法、K均值演算法、Adaboost演算法、神經網路、馬爾可夫。

Ⅲ 機器學習中需要掌握的演算法有哪些

在學習機器學習中，我們需要掌握很多演算法，通過這些演算法我們能夠更快捷地利用機器學習解決更多的問題，讓人工智慧實現更多的功能，從而讓人工智慧變得更智能。因此，本文為大家介紹一下機器學習中需要掌握的演算法，希望這篇文章能夠幫助大家更深入地理解機器學習。
首先我們為大家介紹的是支持向量機學習演算法。其實支持向量機演算法簡稱SVM，一般來說，支持向量機演算法是用於分類或回歸問題的監督機器學習演算法。SVM從數據集學習，這樣SVM就可以對任何新數據進行分類。此外，它的工作原理是通過查找將數據分類到不同的類中。我們用它來將訓練數據集分成幾類。而且，有許多這樣的線性超平面，SVM試圖最大化各種類之間的距離，這被稱為邊際最大化。而支持向量機演算法那分為兩類，第一就是線性SVM。在線性SVM中，訓練數據必須通過超平面分離分類器。第二就是非線性SVM，在非線性SVM中，不可能使用超平面分離訓練數據。
然後我們給大家介紹一下Apriori機器學習演算法，需要告訴大家的是，這是一種無監督的機器學習演算法。我們用來從給定的數據集生成關聯規則。關聯規則意味著如果發生項目A，則項目B也以一定概率發生，生成的大多數關聯規則都是IF_THEN格式。Apriori機器學習演算法工作的基本原理就是如果項目集頻繁出現，則項目集的所有子集也經常出現。
接著我們給大家介紹一下決策樹機器學習演算法。其實決策樹是圖形表示，它利用分支方法來舉例說明決策的所有可能結果。在決策樹中，內部節點表示對屬性的測試。因為樹的每個分支代表測試的結果，並且葉節點表示特定的類標簽，即在計算所有屬性後做出的決定。此外，我們必須通過從根節點到葉節點的路徑來表示分類。
而隨機森林機器學習演算法也是一個重要的演算法，它是首選的機器學習演算法。我們使用套袋方法創建一堆具有隨機數據子集的決策樹。我們必須在數據集的隨機樣本上多次訓練模型，因為我們需要從隨機森林演算法中獲得良好的預測性能。此外，在這種集成學習方法中，我們必須組合所有決策樹的輸出，做出最後的預測。此外，我們通過輪詢每個決策樹的結果來推導出最終預測。
在這篇文章中我們給大家介紹了關於機器學習的演算法，具體包括隨機森林機器學習演算法、決策樹演算法、apriori演算法、支持向量機演算法。相信大家看了這篇文章以後對機器學習有個更全面的認識，最後祝願大家都學有所成、學成歸來。

Ⅳ 計算器進行根號、三角函數之類的復雜運算是運用的什麼原理

演算法，多數演算法是循環計算，近似出結果，每一步都是基本運算。

Ⅳ 如何評價一個演算法的好壞

首先，這個演算法必須是正確的
其次，好的演算法應該是友好的，便於人們理解和交流，並且是機器可執行的。
這個演算法還需要足夠健壯，即當輸入的數據非法或不合理時，也能適當的做出正確的反應或進行相應的處理
最後它還必須擁有高效率和低存儲量要求。
也就是所謂的時間復雜度和空間復雜度

1.時間復雜度

定義:在計算機科學中,演算法的時間復雜度是一個函數,他定量描述了該演算法的運行時間.一個演算法執行所耗費的時間,從理論上講,只有你把你的程序放機器上跑起來,才能知道.然而我們有一套時間復雜度的分析方式.一個演算法所花費的時間與其中語句的執行次數成正比例.演算法中的基本操作的執行次數,為演算法的時間復雜度.

2.時間復雜度為什麼不使用時間來衡量而使用基本語句的運行次數來衡量?

演算法的執行時間依賴於具體的軟硬體環境，所以，不能用執行時間的長短來衡量演算法的時間復雜度，而要通過基本語句執行次數的數量級來衡量。

3.時間復雜度的O漸進表示法(Big O notation)

是用於描述函數漸進行為的數學符號.

大O階方法推導:
計算基本語句的執行次數的數量級;
只需計算基本語句執行次數的數量級，這就意味著只要保證基本語句執行次數的函數中的最高次冪正確即可，可以忽略所有低次冪和最高次冪的系數。這樣能夠簡化演算法分析，並且使注意力集中在最重要的一點上:增長率。
如果演算法中包含嵌套的循環，則基本語句通常是最內層的循環體，如果演算法中包含並列的循環，則將並列循環的時間復雜度相加。例如:

for (i=1; i<=n; i++)
x++;
for (i=1; i<=n; i++)
for (j=1; j<=n; j++)
x++;

第一個for循環的時間復雜度為Ο(n)，第二個for循環的時間復雜度為Ο(n2)，則整個演算法的時間復雜度為Ο(n+n2)=Ο(n2)。

4.時間復雜度的:最優、平均、最差情況，為什麼時間復雜度看的是最差情況?

最差情況下的復雜度是所有可能的輸入數據所消耗的最大資源，如果最差情況下的復雜度符合我們的要求，我們就可以保證所有的情況下都不會有問題。

某些演算法經常遇到最差情況。比如一個查找演算法，經常需要查找一個不存在的值。
也許你覺得平均情況下的復雜度更吸引你，可是平均情況也有幾點問題。第一，難計算，多數演算法的最差情況下的復雜度要比平均情況下的容易計算的多，第二，有很多演算法的平均情況和最差情況的復雜度是一樣的. 第三，什麼才是真正的平均情況?如果你假設所有可能的輸入數據出現的概率是一樣的話，也是不合理的。其實多數情況是不一樣的。而且輸入數據的分布函數很可能是你沒法知道。
考慮最好情況的復雜度更是沒有意義。

5.如何求解:二分查找、遞歸求階乘、遞歸斐波那契的時間復雜度?

二分查找:通過折紙查找求解時間復雜度為O(logN);
遞歸求階乘:數基本操作遞歸N次得到時間復雜度為O(N);
遞歸斐波那契:分析得出基本操作遞歸了2N次,時間復雜度為O(2N);

6.什麼是空間復雜度?

空間復雜度是對一個演算法在運行過程中臨時佔用存儲空間大小的度量.空間復雜度不是程序佔用了多少bytes的空間,因為這個也沒太大意義,所以空間復雜度算的是變數的個數.空間復雜度計算規則基本跟時間復雜度類似,也使用大O漸進法表示.

7.如何求空間復雜度? 普通函數&遞歸函數

一個演算法的空間復雜度只考慮在運行過程中為局部變數分配的存儲空間的大小，它包括為參數表中形參變數分配的存儲空間和為在函數體中定義的局部變數分配的存儲空間兩個部分。若一個演算法為 遞歸演算法，其空間復雜度為遞歸所使用的堆棧空間的大小，它等於一次調用所分配的臨時存儲空間的大小乘以被調用的次數(即為遞歸調用的次數加1，這個1表示開始進行的一次非遞歸調用)。演算法的空間復雜度一般也以數量級的形式給出。如當一個演算法的空間復雜度為一個常量，即不隨被處理數據量n的大小而改變時，可表示為O(1);當一個演算法的空間復雜度與以2為底的n的對數成正比時，可表示為O(log2n);當一個演算法的空間復雜度與n成線性比例關系時，可表示為O(n).若形參為數組，則只需要為它分配一個存儲由實參傳送來的一個地址指針的空間，即一個機器字長空間;若形參為引用方式，則也只需要為其分配存儲一個地址的空間，用它來存儲對應實參變數的地址，以便由系統自動引用實參變數。
8. 分析遞歸斐波那契數列的:時間、空間復雜度，並對其進行優化，偽遞歸優化->循環優化

long long Fib(int N) {
if (N < 3)
return 1;
return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

普通遞歸實現的斐波那契數列:
時間復雜度:O(2^n)

計算並根據O漸進表示法得出時間復雜度.

空間復雜度:O(N);遞歸深度乘以(每一次遞歸的空間佔用{有輔助空間或常量})

偽遞歸優化:

long long fib (long long first, longlong second, int N) {
if(N <3)
return 1;
if(N == 3)
return first + second;
return fib(second, first+second,N-1);
}

時間復雜度:
O(N);
遞歸深度乘以每次遞歸的循環次數
空間復雜度:
O(1)或O(N)
關鍵看編譯器是否優化,優化則為O(1)否則O(N);

循環優化:

long long Fib(int N) {
long long first = 1;
long long second = 1;
long long ret = 0;
for (int i = 3; i <= N ; ++i) {
ret = first + second;
first = second;
second = ret;
}
return second;
}

時間復雜度:O(N);

空間復雜度:O(1);

9.常見時間復雜度

常見的演算法時間復雜度由小到大依次為: Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!) Ο(1)表示基本語句的執行次數是一個常數，一般來說，只要演算法中不存在循環語句，其時間復雜度就是Ο(1)。Ο(log2n)、Ο(n)、Ο(nlog2n)、Ο(n2)和Ο(n3)稱為多項式時間，而Ο(2n)和Ο(n!)稱為指數時間。

Ⅵ 推薦一些關於演算法的書籍

1、數據結構與演算法分析：C語言描述（適合入門）

這本書相對於演算法導論要簡單一些，更適合入門。演算法導論其實有比較強的理論性，看起來比較吃力。

《數據結構與演算法分析:C語言描述》內容簡介：書中詳細介紹了當前流行的論題和新的變化，討論了演算法設計技巧，並在研究演算法的性能、效率以及對運行時間分析的基礎上考查了一些高級數據結構，從歷史的角度和近年的進展對數據結構的活躍領域進行了簡要的概括。由於《數據結構與演算法分析:C語言描述(原書第2版)》選材新穎，方法實用，題例豐富，取捨得當。《數據結構與演算法分析:C語言描述》的目的是培養學生良好的程序設計技巧和熟練的演算法分析能力，使得他們能夠開發出高效率的程序。從服務於實踐又鍛煉學生實際能力出發，書中提供了大部演算法的C程序和偽碼常式。

2、演算法設計與分析基礎（適合入門）

作者基於豐富的教學經驗，開發了一套對演算法進行分類的新方法。這套方法站在通用問題求解策略的高度，能對現有的大多數演算法都能進行准確分類，從而使本書的讀者能夠沿著一條清晰的、一致的、連貫的思路來探索演算法設計與分析這一迷人領域。本書作為第2版，相對第1版增加了新的習題，還增加了「迭代改進」一章，使得原來的分類方法更加完善。

3.0、演算法引論：一種創造性方法（適合入門）

和普通的演算法書不同，這本書從創造性的角度出發——如果說演算法導論講的是有哪些演算法，那麼演算法引論講的就是如何創造演算法。結合前面的演算法設計與分析基礎，這本書把能解決的演算法問題數量擴大了一個數量級。

3.1 演算法競賽 | 信息學奧賽一本通（算競入門）

AlphaWA同學推薦的入門書籍，網上沒有PDF版本，自己去淘寶買嘍。

3.2 演算法競賽 | 演算法競賽進階指南（算競進階）

Ⅶ 大多數排序演算法都有哪兩個基本操作

元素比對：用於獲取元素間的偏序關系
元素移動：通過移動元素，使得序列成為滿足偏序關系的有序序列

Ⅷ 常用的數據排序演算法有哪些,各有什麼特點舉例結合一種排序演算法並應用數組進行數據排序。

排序簡介
排序是數據處理中經常使用的一種重要運算,在計算機及其應用系統中,花費在排序上的時間在系統運行時間中佔有很大比重;並且排序本身對推動演算法分析的發展也起很大作用。目前已有上百種排序方法，但尚未有一個最理想的盡如人意的方法，本章介紹常用的如下排序方法，並對它們進行分析和比較。

1、插入排序（直接插入排序、折半插入排序、希爾排序）；
2、交換排序（起泡排序、快速排序）；
3、選擇排序（直接選擇排序、堆排序）；
4、歸並排序；
5、基數排序；

學習重點
1、掌握排序的基本概念和各種排序方法的特點，並能加以靈活應用；
2、掌握插入排序(直接插入排序、折半插入排序、希爾排序)、交換排序（起泡排序、快速排序）、選擇排序（直接選擇排序、堆排序）、二路歸並排序的方法及其性能分析方法；
3、了解基數排序方法及其性能分析方法。

排序（sort）或分類

所謂排序，就是要整理文件中的記錄，使之按關鍵字遞增(或遞減)次序排列起來。其確切定義如下：
輸入：n個記錄R1，R2，…，Rn，其相應的關鍵字分別為K1，K2，…，Kn。
輸出：Ril，Ri2，…，Rin，使得Ki1≤Ki2≤…≤Kin。(或Ki1≥Ki2≥…≥Kin)。

1．被排序對象--文件
被排序的對象--文件由一組記錄組成。
記錄則由若干個數據項(或域)組成。其中有一項可用來標識一個記錄，稱為關鍵字項。該數據項的值稱為關鍵字(Key)。
注意：
在不易產生混淆時，將關鍵字項簡稱為關鍵字。

2．排序運算的依據--關鍵字
用來作排序運算依據的關鍵字，可以是數字類型，也可以是字元類型。
關鍵字的選取應根據問題的要求而定。
【例】在高考成績統計中將每個考生作為一個記錄。每條記錄包含准考證號、姓名、各科的分數和總分數等項內容。若要惟一地標識一個考生的記錄，則必須用"准考證號"作為關鍵字。若要按照考生的總分數排名次，則需用"總分數"作為關鍵字。

排序的穩定性

當待排序記錄的關鍵字均不相同時，排序結果是惟一的，否則排序結果不唯一。
在待排序的文件中，若存在多個關鍵字相同的記錄，經過排序後這些具有相同關鍵字的記錄之間的相對次序保持不變，該排序方法是穩定的；若具有相同關鍵字的記錄之間的相對次序發生變化，則稱這種排序方法是不穩定的。
注意：
排序演算法的穩定性是針對所有輸入實例而言的。即在所有可能的輸入實例中，只要有一個實例使得演算法不滿足穩定性要求，則該排序演算法就是不穩定的。

排序方法的分類

1．按是否涉及數據的內、外存交換分
在排序過程中，若整個文件都是放在內存中處理，排序時不涉及數據的內、外存交換，則稱之為內部排序(簡稱內排序)；反之，若排序過程中要進行數據的內、外存交換，則稱之為外部排序。
注意：
① 內排序適用於記錄個數不很多的小文件
② 外排序則適用於記錄個數太多，不能一次將其全部記錄放人內存的大文件。

2．按策略劃分內部排序方法
可以分為五類：插入排序、選擇排序、交換排序、歸並排序和分配排序。

排序演算法分析

1．排序演算法的基本操作
大多數排序演算法都有兩個基本的操作：
(1) 比較兩個關鍵字的大小；
(2) 改變指向記錄的指針或移動記錄本身。
注意：
第(2)種基本操作的實現依賴於待排序記錄的存儲方式。

2．待排文件的常用存儲方式
（1） 以順序表(或直接用向量)作為存儲結構
排序過程：對記錄本身進行物理重排（即通過關鍵字之間的比較判定，將記錄移到合適的位置）

（2） 以鏈表作為存儲結構
排序過程：無須移動記錄，僅需修改指針。通常將這類排序稱為鏈表(或鏈式)排序；

（3） 用順序的方式存儲待排序的記錄，但同時建立一個輔助表(如包括關鍵字和指向記錄位置的指針組成的索引表)
排序過程：只需對輔助表的表目進行物理重排（即只移動輔助表的表目，而不移動記錄本身）。適用於難於在鏈表上實現，仍需避免排序過程中移動記錄的排序方法。

3．排序演算法性能評價
（1） 評價排序演算法好壞的標准
評價排序演算法好壞的標准主要有兩條：
① 執行時間和所需的輔助空間
② 演算法本身的復雜程度

（2） 排序演算法的空間復雜度
若排序演算法所需的輔助空間並不依賴於問題的規模n，即輔助空間是O(1)，則稱之為就地排序(In-PlaceSou)。
非就地排序一般要求的輔助空間為O(n)。

（3） 排序演算法的時間開銷
大多數排序演算法的時間開銷主要是關鍵字之間的比較和記錄的移動。有的排序演算法其執行時間不僅依賴於問題的規模，還取決於輸入實例中數據的狀態。

文件的順序存儲結構表示

#define n l00 //假設的文件長度，即待排序的記錄數目
typedef int KeyType； //假設的關鍵字類型
typedef struct{ //記錄類型
KeyType key； //關鍵字項
InfoType otherinfo；//其它數據項，類型InfoType依賴於具體應用而定義
}RecType；
typedef RecType SeqList[n+1]；//SeqList為順序表類型，表中第0個單元一般用作哨兵
注意：
若關鍵字類型沒有比較算符，則可事先定義宏或函數來表示比較運算。
【例】關鍵字為字元串時，可定義宏"#define LT(a，b)(Stromp((a)，(b))<0)"。那麼演算法中"a<b"可用"LT(a，b)"取代。若使用C++，則定義重載的算符"<"更為方便。

按平均時間將排序分為四類：

（1）平方階(O(n2))排序
一般稱為簡單排序，例如直接插入、直接選擇和冒泡排序；

（2）線性對數階(O(nlgn))排序
如快速、堆和歸並排序；

（3）O(n1+￡)階排序
￡是介於0和1之間的常數，即0<￡<1，如希爾排序；

（4）線性階(O(n))排序
如桶、箱和基數排序。

各種排序方法比較

簡單排序中直接插入最好，快速排序最快，當文件為正序時，直接插入和冒泡均最佳。

影響排序效果的因素

因為不同的排序方法適應不同的應用環境和要求，所以選擇合適的排序方法應綜合考慮下列因素：
①待排序的記錄數目n；
②記錄的大小(規模)；
③關鍵字的結構及其初始狀態；
④對穩定性的要求；
⑤語言工具的條件；
⑥存儲結構；
⑦時間和輔助空間復雜度等。

不同條件下，排序方法的選擇

(1)若n較小(如n≤50)，可採用直接插入或直接選擇排序。
當記錄規模較小時，直接插入排序較好；否則因為直接選擇移動的記錄數少於直接插人，應選直接選擇排序為宜。
(2)若文件初始狀態基本有序(指正序)，則應選用直接插人、冒泡或隨機的快速排序為宜；
(3)若n較大，則應採用時間復雜度為O(nlgn)的排序方法：快速排序、堆排序或歸並排序。
快速排序是目前基於比較的內部排序中被認為是最好的方法，當待排序的關鍵字是隨機分布時，快速排序的平均時間最短；
堆排序所需的輔助空間少於快速排序，並且不會出現快速排序可能出現的最壞情況。這兩種排序都是不穩定的。
若要求排序穩定，則可選用歸並排序。但本章介紹的從單個記錄起進行兩兩歸並的 排序演算法並不值得提倡，通常可以將它和直接插入排序結合在一起使用。先利用直接插入排序求得較長的有序子文件，然後再兩兩歸並之。因為直接插入排序是穩定的，所以改進後的歸並排序仍是穩定的。

4)在基於比較的排序方法中，每次比較兩個關鍵字的大小之後，僅僅出現兩種可能的轉移，因此可以用一棵二叉樹來描述比較判定過程。
當文件的n個關鍵字隨機分布時，任何藉助於"比較"的排序演算法，至少需要O(nlgn)的時間。
箱排序和基數排序只需一步就會引起m種可能的轉移，即把一個記錄裝入m個箱子之一，因此在一般情況下，箱排序和基數排序可能在O(n)時間內完成對n個記錄的排序。但是，箱排序和基數排序只適用於像字元串和整數這類有明顯結構特徵的關鍵字，而當關鍵字的取值范圍屬於某個無窮集合(例如實數型關鍵字)時，無法使用箱排序和基數排序，這時只有藉助於"比較"的方法來排序。
若n很大，記錄的關鍵字位數較少且可以分解時，採用基數排序較好。雖然桶排序對關鍵字的結構無要求，但它也只有在關鍵字是隨機分布時才能使平均時間達到線性階，否則為平方階。同時要注意，箱、桶、基數這三種分配排序均假定了關鍵字若為數字時，則其值均是非負的，否則將其映射到箱(桶)號時，又要增加相應的時間。
(5)有的語言(如Fortran，Cobol或Basic等)沒有提供指針及遞歸，導致實現歸並、快速(它們用遞歸實現較簡單)和基數(使用了指針)等排序演算法變得復雜。此時可考慮用其它排序。
(6)本章給出的排序演算法，輸人數據均是存儲在一個向量中。當記錄的規模較大時，為避免耗費大量的時間去移動記錄，可以用鏈表作為存儲結構。譬如插入排序、歸並排序、基數排序都易於在鏈表上實現，使之減少記錄的移動次數。但有的排序方法，如快速排序和堆排序，在鏈表上卻難於實現，在這種情況下，可以提取關鍵字建立索引表，然後對索引表進行排序。然而更為簡單的方法是：引人一個整型向量t作為輔助表，排序前令t[i]=i(0≤i<n)，若排序演算法中要求交換R[i]和R[j]，則只需交換t[i]和t[j]即可；排序結束後，向量t就指示了記錄之間的順序關系：
R[t[0]].key≤R[t[1]].key≤…≤R[t[n-1]].key
若要求最終結果是：
R[0].key≤R[1].key≤…≤R[n-1].key
則可以在排序結束後，再按輔助表所規定的次序重排各記錄，完成這種重排的時間是O(n)。

Ⅸ 少數➗多數怎麼算

少數除以多數演算法有兩種
第一種：將除法算式改寫成分數形式,約簡後的最簡分數就是結果。
第二種：將除法算式橫式寫成豎式,試商計算，得出商和余數。