omp演算法

1. OOMP演算法代碼

1. 信號的稀疏表示(sparse representation of signals)
給定一個過完備字典矩陣，其中它的每列表示一種原型信號的原子。給定一個信號y，它可以被表示成這些原子的稀疏線性組合。信號 y 可以被表達為 y = Dx ，或者。 字典矩陣中所謂過完備性，指的是原子的個數遠遠大於信號y的長度(其長度很顯然是n)，即n<<k。
2.MP演算法(匹配追蹤演算法)
2.1 演算法描述
作為對信號進行稀疏分解的方法之一，將信號在完備字典庫上進行分解。
假定被表示的信號為y，其長度為n。假定H表示Hilbert空間，在這個空間H里，由一組向量構成字典矩陣D，其中每個向量可以稱為原子(atom)，其長度與被表示信號 y 的長度n相同，而且這些向量已作為歸一化處理，即|，也就是單位向量長度為1。MP演算法的基本思想：從字典矩陣D（也稱為過完備原子庫中），選擇一個與信號 y 最匹配的原子(也就是某列)，構建一個稀疏逼近，並求出信號殘差，然後繼續選擇與信號殘差最匹配的原子，反復迭代，信號y可以由這些原子來線性和，再加上最後的殘差值來表示。很顯然，如果殘差值在可以忽略的范圍內，則信號y就是這些原子的線性組合。如果選擇與信號y最匹配的原子？如何構建稀疏逼近並求殘差？如何進行迭代？我們來詳細介紹使用MP進行信號分解的步驟：[1] 計算信號 y 與字典矩陣中每列(原子)的內積，選擇絕對值最大的一個原子，它就是與信號 y 在本次迭代運算中最匹配的。用專業術語來描述：令信號，從字典矩陣中選擇一個最為匹配的原子，滿足，r0 表示一個字典矩陣的列索引。這樣，信號 y 就被分解為在最匹配原子的垂直投影分量和殘值兩部分，即：。[2]對殘值R1f進行步驟[1]同樣的分解，那麼第K步可以得到：
， 其中 滿足。可見，經過K步分解後，信號 y 被分解為：，其中。
2.2 繼續討論
(1)為什麼要假定在Hilbert空間中？Hilbert空間就是定義了完備的內積空。很顯然，MP中的計算使用向量的內積運算，所以在在Hilbert空間中進行信號分解理所當然了。什麼是完備的內積空間？篇幅有限就請自己搜索一下吧。
(2)為什麼原子要事先被歸一化處理了，即上面的描述。內積常用於計算一個矢量在一個方向上的投影長度，這時方向的矢量必須是單位矢量。MP中選擇最匹配的原子是，是選擇內積最大的一個，也就是信號(或是殘值)在原子(單位的)垂直投影長度最長的一個，比如第一次分解過程中，投影長度就是。，三個向量，構成一個三角形，且和正交（不能說垂直，但是可以想像二維空間這兩個矢量是垂直的）。
(3)MP演算法是收斂的，因為，和正交，由這兩個可以得出，得出每一個殘值比上一次的小，故而收斂。
2.3 MP演算法的缺點
如上所述，如果信號(殘值)在已選擇的原子進行垂直投影是非正交性的，這會使得每次迭代的結果並不少最優的而是次最優的，收斂需要很多次迭代。舉個例子說明一下：在二維空間上，有一個信號 y 被 D=[x1, x2]來表達，MP演算法迭代會發現總是在x1和x2上反復迭代，即，這個就是信號(殘值)在已選擇的原子進行垂直投影的非正交性導致的。再用嚴謹的方式描述[1]可能容易理解:在Hilbert空間H中，，，定義，就是它是這些向量的張成中的一個，MP構造一種表達形式：;這里的Pvf表示 f在V上的一個正交投影操作，那麼MP演算法的第 k 次迭代的結果可以表示如下(前面描述時信號為y，這里變成f了，請注意)：
如果 是最優的k項近似值，當且僅當。由於MP僅能保證，所以一般情況下是次優的。這是什麼意思呢？是k個項的線性表示，這個組合的值作為近似值，只有在第k個殘差和正交，才是最優的。如果第k個殘值與正交，意味這個殘值與fk的任意一項都線性無關，那麼第k個殘值在後面的分解過程中，不可能出現fk中已經出現的項，這才是最優的。而一般情況下，不能滿足這個條件，MP一般只能滿足第k個殘差和xk正交，這也就是前面為什麼提到「信號(殘值)在已選擇的原子進行垂直投影是非正交性的」的原因。如果第k個殘差和fk不正交，那麼後面的迭代還會出現fk中已經出現的項，很顯然fk就不是最優的，這也就是為什麼說MP收斂就需要更多次迭代的原因。不是說MP一定得到不到最優解，而且其前面描述的特性導致一般得到不到最優解而是次優解。那麼，有沒有辦法讓第k個殘差與正交，方法是有的，這就是下面要談到的OMP演算法。

3.OMP演算法
3.1 演算法描述
OMP演算法的改進之處在於：在分解的每一步對所選擇的全部原子進行正交化處理，這使得在精度要求相同的情況下，OMP演算法的收斂速度更快。
那麼在每一步中如何對所選擇的全部原子進行正交化處理呢？在正式描述OMP演算法前，先看一點基礎思想。
先看一個 k 階模型，表示信號 f 經過 k 步分解後的情況，似乎很眼熟，但要注意它與MP演算法不同之處，它的殘值與前面每個分量正交，這就是為什麼這個演算法多了一個正交的原因，MP中僅與最近選出的的那一項正交。
(1)
k + 1 階模型如下：
(2)
應用 k + 1階模型減去k 階模型，得到如下：
(3)

我們知道，字典矩陣D的原子是非正交的，引入一個輔助模型，它是表示對前k個項的依賴，描述如下：
(4)
和前面描述類似，在span(x1, ...xk)之一上的正交投影操作，後面的項是殘值。這個關系用數學符號描述：
請注意，這里的 a 和 b 的上標表示第 k 步時的取值。
將(4)帶入(3)中，有：
（5）
如果一下兩個式子成立，(5)必然成立。
(6)
(7)
令，有

其中。
ak的值是由求法很簡單，通過對(7)左右兩邊添加作內積消減得到：

後邊的第二項因為它們正交，所以為0，所以可以得出ak的第一部分。對於，在（4）左右兩邊中與作內積，可以得到ak的第二部分。
對於(4)，可以求出，求的步驟請參見參考文件的計算細節部分。為什麼這里不提，因為後面會介紹更簡單的方法來計算。
3.2 收斂性證明
通過(7)，由於與正交，將兩個殘值移到右邊後求二范的平方，並將ak的值代入可以得到：

可見每一次殘差比上一次殘差小，可見是收斂的。
3.3 演算法步驟
整個OMP演算法的步驟如下：

由於有了上面的來龍去脈，這個演算法就相當好理解了。
到這里還不算完，後來OMP的迭代運算用另外一種方法可以計算得知，有位同學的論文[2]描述就非常好，我就直接引用進來：

對比中英文描述，本質都是一樣，只是有細微的差別。這里順便貼出網一哥們寫的OMP演算法的代碼，源出處不得而知，共享給大家。

再貼另外一個洋牛paper[3]中關於OMP的描述，之所以引入，是因為它描述的非常嚴謹，但是也有點苦澀難懂，不過有了上面的基礎，就容易多了。

它的描述中的Sweep步驟就是尋找與當前殘差最大的內積時列在字典矩陣D中的索引，它的這個步驟描述說明為什麼要選擇內積最大的以及如何選擇。見下圖，說的非常清晰。

它的演算法步驟Update Provisional Solution中求很簡單，就是在 b = Ax 已知 A和b求x， 在x的最小二范就是A的偽逆與b相乘，即：

2. 求omp演算法的原理圖

是指演算法描述嗎？

3. 請問壓縮感知重構omp演算法中的這句代碼，a=pinv(D(:,indx(1:j)))*x;廣義矩陣和信號的乘積 a是求的什麼呢

你對照著這個步驟再看看程序吧~

4. 壓縮感知重構OMP演算法代碼

%A-稀疏系數矩陣
%D-字典/測量矩陣（已知）
%X-測量值矩陣（已知）
%K-稀疏度
function A=OMP(D,X,L)
[n,P]=size(X);
[n,K]=size(D);
for k=1:P
a=[];
x=X(:,k);
resial=x;%殘差
indx=zeros(L,1);%索引集
for j=1:L
proj=D'*resial;%D轉置與resial相乘，得到與resial與D每一列的內積值
pos=find(abs(proj)==max(abs(proj)));%找到內積最大值的位置
pos=pos(1);%若最大值不止一個，取第一個
indx(j)=pos;%將這個位置存入索引集的第j個值
a=pinv(D(:,indx(1:j)))*x;%indx(1:j)表示第一列前j個元素
resial=x-D(:,indx(1:j))*a;
end
temp=zeros(K,1);
temp(indx)=a;
A(:,k)=temp;%只顯示非零值及其位置
end

5. 為什麼omp演算法比sp演算法耗時高

數據結構和演算法和編程語言並不重要，無論你學習C，C ++或java，數據結構和演算法是相同的。數據結構圖書市場是非常大的，基本上都是一樣的沒有什麼大的區別，挑了一系列的什麼將成為清華，最好的演算法是「引進演算法」，但只是一個復印件，不用翻譯。 CS南京理工大學，他們有自己的內部的翻譯，有的學生，然後借它。
Java的基本都是經典書籍「Java編程思想」（在Java編程思想）和「Java核心技術」JavaCore，開始看第二卷開始javacore還是很合適的。

6. K-SVD和OMP是什麼關系

K-svd是一種訓練字典的方法，演算法裡面在求取系數矩陣時要用到omp演算法。

7. openmp,這段快排用的是什麼演算法求分析他的思路

模擬的二叉樹排序，你在紙上按這個程序走一遍就清楚了，得到的是一個二叉排序樹，左小於根小於右

8. 為什麼omp演算法不一下選擇好幾個原子

1. 信號的稀疏表示（sparse representation of signals） 給定一個過完備字典矩陣，其中它的每列表示一種原型信號的原子。
給定一個信號y，它可以被表示成這些原子的稀疏線性組合。
信號 y 可以被表達為 y = Dx ，或者。

9. 稀疏重建中OMP演算法為什麼用最小二乘法來確定稀疏系數的

這個問題確實不是最小二乘，但也不是A的譜范數，而是等價於A的最小奇異值，這兩者不能算完全等價。
如果要編程實現的話取決於A的具體情況。
如果A的階數比較小的話可以用Jacobi演算法來算奇異值分解，再取出最小的那個對應的右奇異向量，目前來講這個方法精度最高。如果A的階數比較大並且稀疏的話可以考慮共軛梯度類演算法。當然，如果A有更多的信息也要想辦法用上。

樓上並不是不懂，不過為什麼總是犯一些不大不小的錯誤呢，我已經見了好幾次了，你要注意一下小節。

10. 如何給OMP演算法設計一個字典，這個字典會更新

1. 信號的稀疏表示(sparse representation of signals)
給定一個過完備字典矩陣，其中它的每列表示一種原型信號的原子。給定一個信號y，它可以被表示成這些原子的稀疏線性組合。信號 y 可以被表達為 y = Dx ，或者。 字典矩陣中所謂過完備性，指的是原子的個數遠遠大於信號y的長度(其長度很顯然是n)，即n<<k。
2.MP演算法(匹配追蹤演算法)
2.1 演算法描述
作為對信號進行稀疏分解的方法之一，將信號在完備字典庫上進行分解。
假定被表示的信號為y，其長度為n。假定H表示Hilbert空間，在這個空間H里，由一組向量構成字典矩陣D，其中每個向量可以稱為原子(atom)，其長度與被表示信號 y 的長度n相同，而且這些向量已作為歸一化處理，即|，也就是單位向量長度為1。MP演算法的基本思想：從字典矩陣D（也稱為過完備原子庫中），選擇一個與信號 y 最匹配的原子(也就是某列)，構建一個稀疏逼近，並求出信號殘差，然後繼續選擇與信號殘差最匹配的原子，反復迭代，信號y可以由這些原子來線性和，再加上最後的殘差值來表示。很顯然，如果殘差值在可以忽略的范圍內，則信號y就是這些原子的線性組合。如果選擇與信號y最匹配的原子？如何構建稀疏逼近並求殘差？如何進行迭代？我們來詳細介紹使用MP進行信號分解的步驟：[1] 計算信號 y 與字典矩陣中每列(原子)的內積，選擇絕對值最大的一個原子，它就是與信號 y 在本次迭代運算中最匹配的。用專業術語來描述：令信號，從字典矩陣中選擇一個最為匹配的原子，滿足，r0 表示一個字典矩陣的列索引。這樣，信號 y 就被分解為在最匹配原子的垂直投影分量和殘值兩部分，即：。[2]對殘值R1f進行步驟[1]同樣的分解，那麼第K步可以得到.