行列陣計演算法

『壹』 矩陣的行列式怎麼算

在線性代數，行列式是一個函數，其定義域為的矩陣A，值域為一個標量，寫作det(A)。在本質上，行列式描述的是在n維空間中，一個線性變換所形成的「平行多面體」的「體積」。行列式無論是在微積分學中（比如說換元積分法中），還是在線性代數中都有重要應用。 行列式概念的最初引進是在解線性方程組的過程中。行列式被用來確定線性方程組解的個數，以及形式。隨後，行列式在許多領域都逐漸顯現出重要的意義和作用。於是有了線性自同態和向量組的行列式的定義。 行列式的特性可以被概括為一個n次交替線性形式，這反映了行列式作為一個描述「體積」的函數的本質。 若干數字組成的一個類似於矩陣的方陣，與矩陣不同的是，矩陣的表示是用中括弧，而行列式則用線段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的積的代數和，既是一個實數：求每一個積時依次從每一行取一個元因子，而這每一個元因子又需取自不同的列，作為乘數，積的符號是正是負決定於要使各個乘數的列的指標順序恢復到自然順序所需的換位次數是偶數還是奇數。也可以這樣解釋：行列式是矩陣的所有不同行且不同列的元素之積的代數和，和式中每一項的符號由積的各元素的行指標與列指標的逆序數之和決定：若逆序數之和為偶數，則該項為正；若逆序數之和為奇數，則該項為負。 逆序數：在一個排列中，如果一對數的前後位置與大小順序相反，即前面的數大於後面的數，那麼它們就稱為一個逆序。一個排列中逆序的總數就稱為這個排列的逆序數。逆序數為偶數的排列稱為偶排列；逆序數為奇數的排列稱為奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序數是4，為偶排列。
[編輯本段]垂直線記法
矩陣 A 的行列式有時也記作 |A|。絕對值和矩陣范數也使用這個記法，有可能和行列式的記法混淆。不過矩陣范數通常以雙垂直線來表示（如：），且可以使用下標。此外，矩陣的絕對值是沒有定義的。因此，行列式經常使用垂直線記法（例如：克萊姆法則和子式）。例如，一個矩陣： 行列式 det(A) 也寫作 | A | 或明確的寫作： 即矩陣的方括弧以細長的垂直線取代。
[編輯本段]定義
一個矩陣A的行列式有一個乍看之下很奇怪的定義： 其中sgn(σ)是排列σ的符號差。 對於比較小的矩陣，比如說二階和三階的矩陣，行列式表達如下，有些像是主對角線（左上至右下）元素的乘積減去副對角線（右上至左下）元素的乘積（見圖中紅線和藍線）。 2階： 3階：。 但對於階數較大的矩陣，行列式有 n! 項，並不是這樣的形式。 二維向量組的行列式 行列式是向量形成的平行四邊形的面積 設P是一個二維的有向歐幾里得空間，即一個所謂的歐幾里得平面。兩個向量X和X』的行列式是： 經計算可知，行列式表示的是向量X和X 』形成的平行四邊形的有向面積。並有如下性質： 行列式為零當且僅當兩個向量共線（線性相關），這時平行四邊形退化成一條直線。 如果以逆時針方向為正向的話，有向面積的意義是：平行四邊形面積為正當且僅當向量X和X』逆時針排列（如圖）。 行列式是一個雙線性映射。也就是說， ， 並且 。
三維向量組的行列式
設E是一個三維的有向歐幾里得空間。三個三維向量的行列式是： 這時的行列式表示X、X』和X』』三個向量形成的平行六面體的有向體積，也叫做這三個向量的混合積。同樣的，可以觀察到如下性質： 行列式為零當且僅當三個向量共線或者共面（三者線性相關），這時平行六面體退化為平面圖形，體積為零。 這時行列式是一個「三線性映射」，也就是說，對第一個向量有 ，對第二、第三個向量也是如此。
基的選擇
在以上的行列式中，我們不加選擇地將向量在所謂的正交基下分解，實際上在不同的基之下，行列式的值並不相同。這並不是說平行六面體的體積不唯一。恰恰相反，基的變換可以看作線性映射對基的作用，而不同基下的行列式代表了基變換對「體積」的影響。可以證明，對於所有同定向的標准正交基，向量組的行列式的值是一樣的。也就是說，如果我們選擇的基都是「單位長度」，並且兩兩正交，那麼在這樣的基之下，平行六面體的體積是唯一的。
線性變換
經線性映射後的正方體 設E是一個一般的n維的有向歐幾里得空間。一個線性變換把一個向量線性地變為另一個向量。比如說，在三維空間中，向量(x,y,z)被射到向量(x』,y』,z』)： 其中a、b、c等是系數。如右圖，正方體（可以看作原來的一組基形成的）經線性變換後可以變成一個普通的平行六面體，或變成一個平行四邊形（沒有體積）。這兩種情況表示了兩種不同的線性變換，行列式可以將其很好地分辨出來（為零或不為零）。 更詳細地說，行列式表示的是線性變換前後平行六面體的體積的變化系數。如果設左邊的正方體體積是一，那麼中間的平行六面體的（有向）體積就是線性變換的行列式的值，右邊的平行四邊形體積為零，因為線性變換的行列式為零。這里我們混淆了線性變換的行列式和向量組的行列式，但兩者是一樣的，因為我們在對一組基作變換。
[編輯本段]嚴格的定義
由二維及三維的例子，我們可以看到一般的行列式應該具有怎樣的性質。為了描述一個n維空間中的「平行多面體」的「體積」，行列式首先需要是線性的，這可以由面積的性質得到。這里的線性是對於每一個向量來說的，因為當一個向量變為原來的a倍時，「平行多面體」的「體積」也變為原來的a倍。其次，當一個向量在其它向量組成的「超平面」上時，「平行多面體」的「體積」是零（可以想像三維空間的例子）。也就是說，當向量線性相關時，行列式為零。於是可以得出行列式的定義：
向量組的行列式
行列式是E到K上的交替多線性形式。 具體來說，設 E 是一個內積空間，一個從E到K上的交替多線性形式是指函數： （多線性） 或者說，當ai = aj 的時候 （交替性） 所有E到K上的交替多線性形式的集合記作 An(E) 。 定理： An(E) 的維度是1，也就是說，設是 E 的一組基，那麼，所有的交替多線性形式都可以寫成 其中是在基B下的展開。 定理的證明是對任一個多線性形式，考慮將D依照多線性性質展開， 這時，由交替性，當且僅當 是的一個排列，所以有 這里， 。 向量組的行列式設是 E 的一組基，基B 的行列式就是唯一的（由定理可知）交替多線性形式 使得： detB(e1,...,en) = 1 於是向量組 的行列式就是 其中是在基B下的展開。 這個公式有時被稱作萊布尼茲公式。 基變更公式設B與B』是向量空間中的兩組基，則將上式中的detB改為detB』就得到向量組在兩組基下的行列式之間的關系：
矩陣的行列式
設Mn(K)為所有定義在K上的矩陣的集合。將矩陣 A 的元素為A=(aij)。將矩陣 M 的 n 行寫成，aj 可以看作是上的向量。於是可以定義矩陣A的行列式為向量組的行列式，這里的向量都在的正交基上展開，因此矩陣的行列式不依賴於基的選擇。 這樣定義的矩陣 A 的行列式與向量組的行列式有同樣的性質。單位矩陣的行列式為1，若矩陣的兩行線性相關，則行列式為零。 由萊布尼茲公式，可以證明矩陣行列式的一個重要性質：一個矩陣的行列式等於它的轉置矩陣的行列式。 也就是說矩陣的行列式既可以看作 n 個行向量的行列式，也可以看作 n 個列向量的行列式。 證明：矩陣 A 的轉置矩陣的行列式是： 令j = σ(i)，由於每個排列都是雙射，所以上式變成： 令τ = σ ，當 σ 取遍所有排列時，τ 也取遍所有排列，而且 σ 的符號差等於 τ 的符號差。所以 線性映射的行列式設 f 是 n 維線性空間 E 到自身的線性變換（線性自同態），f 在 E 的任意一組基下的變換矩陣的行列式都是相等的。設 B 是 E 的一組基。那麼 f 的行列式就是 f 在 B 下的變換矩陣的行列式： 之前對正方體做變換時， x1, ..., xn 是原來的基，，因此可以混淆向量組的行列式和線性變換的行列式。 考慮映射df,B使得 x1, ..., xn 被映射到 df,B 是一個交替n線性形式，因此由前面證的定理， df,B 和 detB 只相差一個系數。 令 x1, ..., xn 等於 B ，則得到 λ = df,B(B) 所以有 也就是說 對於另外一組基B' ，運用基變更公式，可以得到 , B(B) 等於 , B ' (B ' ) 。於是 df,B(B) 是一個不依賴於基，只依賴於 f 的數。這正是 detf 的定義。 特別地，行列式為 1 的線性變換保持向量組的行列式，它們構成一般線性群 GL(E) 的一個子群 SL(E) ，稱作特殊線性群。可以證明， SL(E) 是由所有的錯切生成的，即所有具有如下形式的矩陣代表的線性變換： 也就是說，錯切變換保持向量組形成的「平行多面體」的體積。同樣，可以證明兩個相似矩陣有相等的行列式。
[編輯本段]應用
求特徵值：若多項式p(x) = det(xI − A)，矩陣A的特徵值就是多項式的解。 多變元微積分的代換積分法（參見雅可比矩陣） 在n個n維實向量所組成的平行多面體的體積，是這些實向量的所組成的矩陣的行列式的絕對值。以此推廣，若線性變換可用矩陣A表示，S是R的可測集，則f(S)的體積是S的體積的倍。 朗斯基行列式
[編輯本段]行列式的基本性質
概述
在行列式中，一行（列）元素全為0，則此行列式的值為0。 在行列式中，某一行（列）有公因子k，則可以提出k。 在行列式中，某一行（列）的每個元素是兩數之和，則此行列式可拆分為兩個相加的行列式。 行列式中的兩行（列）互換，改變行列式正負符號。 在行列式中，有兩行（列）對應成比例或相同，則此行列式的值為0。 將一行（列）的k倍加進另一行（列）里，行列式的值不變。 注意：一行（列）的k倍加上另一行（列），行列式的值改變。 將行列式的行列互換，行列式的值不變。其中，行列互換相當於轉置，記作D = D。 例如
其它性質
若A是可逆矩陣， 設A『 為A的轉置矩陣， （參見共軛） 若矩陣相似，其行列式相同。 行列式是所有特徵值之積。這可由矩陣必和其Jordan標准形相似推導出。
[編輯本段]行列式的展開
余因式(英譯：cofactor) 又稱「餘子式」、「余因子」。參見主條目 余因式 對一個 n 階的行列式M，去掉M的第i行第j列後形成的 n-1 階的行列式叫做M關於元素mij的子試。記作Mij。 余因式為 Cij=（-1）^(ij)*Mij
代數餘子式
M關於元素mij的代數餘子式記作Cij。。
行列式關於行和列的展開
一個 n 階的行列式M可以寫成一行(或一列)的元素與對應的代數餘子式的乘積之和，叫作行列式按一行(或一列)的展開。 這個公式又稱作拉普拉斯公式，把 n 階的行列式計算變為了 n 個 n-1 階行列式的計算。
行列式函數
由拉普拉斯公式可以看出，矩陣A的行列式是關於其系數的多項式。因此行列式函數具有良好的光滑性質。 單變數的行列式函數設為的函數，則也是的。其對t的導數為 矩陣的行列式函數函數是連續的。由此，n階一般線性群是一個開集，而特殊線性群則是一個閉集。 函數也是可微的，甚至是光滑的（）。其在A處的展開為 也就是說，在裝備正則范數的矩陣空間Mn()中，伴隨矩陣是行列式函數的梯度 特別當A為單位矩陣時， 可逆矩陣的可微性說明一般線性群GLn()是一個李群。
[編輯本段]應用
行列式與線性方程組
行列式的一個主要應用是解線性方程組。當線性方程組的方程個數與未知數個數相等時，方程組不一定總是有唯一解。對一個有 n 個方程和 n 個未知數的線性方程組，我們研究未知數系數所對應的行列式。這個線性方程組有唯一解當且僅當它對應的行列式不為零。這也是行列式概念出現的根源。 當線性方程組對應的行列式不為零時，由克萊姆法則，可以直接以行列式的形式寫出方程組的解。但用克萊姆法則求解計算量巨大，因此並沒有實際應用價值，一般用於理論上的推導。

『貳』 三階行列式計算方法

三階行列式可用對角線法則：

D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32。

矩陣A乘矩陣B，得矩陣C，方法是A的第一行元素分別對應乘以B的第一列元素各元素，相加得C11，A的第一行元素對應乘以B的第二行各元素，相加得C12，C的第二行元素為A的第二行元素按上面方法與B相乘所得結果，N階矩陣都是這樣乘，A的列數要與B的行數相等。

三階行列式性質：

性質1：行列式與它的轉置行列式相等。

性質2：互換行列式的兩行(列)，行列式變號。

推論：如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零。

性質3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數k，等於用數k乘此行列式。

推論：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。

性質4：行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式等於零。

性質5：把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數然後加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變。

『叄』 行列式是如何計算的

1、二階行列式、三階行列式的計算，樓主應該學過。但是不能用於四階、五階、、、
2、四階或四階以上的行列式的計算，一般來說有兩種方法。
第一是按任意一行或任意一列展開：
A、任意一行或任意一列的所有元素乘以刪除該元素所在的行和列後的剩餘行列式，
B、將他們全部加起來；
C、在加的過程中，是代數式相加，而非算術式相加，因此有正負號出現；
D、從左上角，到右下角，「+」、「-」交替出現。
上面的展開，要一直重復進行，至少到3×3出現。
3、如樓上所說，將行列式化成三角式，無論上三角，或下三角式，最後的答案都是
等於三角式的對角線上(diagonal)的元素的乘積。

『肆』 矩陣行列式怎麼算

你好！用行列式的性質如下圖計算，把b換成x。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！

『伍』 行列陣計算

熟練掌握行列式的性質,再結合一些技巧來計算行列式.該文簡單介紹幾種行列式的計算方法:通過按行(列

『陸』 行列陣計算

|1 2 3 4|
|2 3 4 1|
|3 4 1 2|
|4 1 2 3|
=(後三行都加到第一行)
10 10 10 10
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
=10*
1 1 1 1
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
=10*
1 1 1 1
0 1 2 -1
0 1 -2 -1
0 -3 -2 -1
=10*
1 2 -1
1 -2 -1
-3 -2 -1
=10*
1 2 -1
0 -4 0
0 4 -4
=10*16
=160

『柒』 線性代數行列式的計算有什麼技巧嗎

線性代數行列式的計算技巧：

1．利用行列式定義直接計算

例1 計算行列式

9．拆開法

把某一行（或列）的元素寫成兩數和的形式，再利用行列式的性質將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡化以利計算。

『捌』 四階行列式怎麼計算

簡單地說，行列式的主要功能體現在計算機科學中
現在數學課上學習行列式，就是為了讓我們理解一些計算原理

我先講行列式怎麼計算吧
二階行列式（行列式兩邊的豎線我不會打，看得懂就行）：
a b
c d
它的值就等於ad-bc，即對角相乘，左上-右下的那項為正，右上-左下的那項為負
三階行列式：
a b c
d e f
g h i
它的值等於aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg，你在紙上用線把每一項里的三個字母連起來就知道規律了

計算機就是用行列式解方程組的
比如下面這個方程組：
x+y=3
x-y=1
計算機計算的時候，先計算x,y系數組成的行列式D：
1 1
1 -1
D=-2
然後，用右邊兩個數（3和1）分別代替x和y的系數得到兩個行列式Dx和Dy：
3 1
1 -1
Dx=-4
1 3
1 1
Dy=-2
用Dx除以D，就是x的值，用Dy除以D，就是y的值了