方程擬合演算法
『壹』 統計學(方程擬合)
洛倫茲曲線的方法 盡管可根據收入分配的統計數據加以描繪,但至今卻未能找到一種有效的方法,准確地擬合洛倫茲曲線方程並由此求出精確的基尼系數。目前常被使用
『貳』 數據擬合演算法
解:設一共有n個方程,第i個方程形如aiX1+biX2=ci,其中ai,bi,ci是已知數
設di(x1,x2)=(ci-aix1-bix2)(ci-aix1-bix2)
設D= d1+d2+...dn
原問題就是求D的極小值,分別求D關於x1和x2的偏導數,得
Dx1=2a1(a1x1+b1x2-c1)+2a2(a2x1+b2x2-c2)+...2an(anx1+bnx2-cn)
Dx2=2b1(a1x1+b1x2-c1)+2b2(a2x1+b2x2-c2)+...2bn(anx1+bnx2-cn)
極小值處偏導數等於0,所以令Dx1=0,Dx2=0建立方程組,解得
x1=(F*B-G*E)/(A*B-E*E)
x2=(G*A-F*E)/(A*B-E*E)
其中F=a1c1+a2c2+...+ancn
G=b1c1+b2c2+...+bncn
E=a1b1+a2b2+...+anbn
A=a1a1+a2a2+...+anan
B=b1b1+b2b2+...+bnbn
具體數據這里就不算了,用excel把公式打進去就可以算,另外excel本身就帶擬合功能
『叄』 曲線擬合的方法
用Matlab進行曲線擬合步驟:
一、 單一變數的曲線逼近
Matlab有一個功能強大的曲線擬合工具箱 cftool ,使用方便,能實現多種類型的線性、非線性曲線擬合。下面結合我使用的 Matlab R2007b 來簡單介紹如何使用這個工具箱。
假設我們要擬合的函數形式是 y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。
1、在命令行輸入數據:
》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475];
》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50];
2、啟動曲線擬合工具箱 》cftool
3、進入曲線擬合工具箱界面「Curve Fitting tool」 (1)點擊「Data」按鈕,彈出「Data」窗口;
(2)利用X data和Y data的下拉菜單讀入數據x,y,可修改數據集名「Data set name」,然後點擊「Create data set」按鈕,退出「Data」窗口,返回工具箱界面,這時會自動畫出數據集的曲線圖;
(3)點擊「Fitting」按鈕,彈出「Fitting」窗口;
(4)點擊「New fit」按鈕,可修改擬合項目名稱「Fit name」,通過「Data set」下拉菜單選擇數據集,然後通過下拉菜單「Type of fit」選擇擬合曲線的類型,工具箱提供的擬合類型有: Custom Equations:用戶自定義的函數類型
Exponential:指數逼近,有2種類型, a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x) Fourier:傅立葉逼近,有7種類型,基礎型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w) Gaussian:高斯逼近,有8種類型,基礎型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
Interpolant:插值逼近,有4種類型,linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
Polynomial:多形式逼近,有9種類型,linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
Power:冪逼近,有2種類型,a*x^b 、a*x^b + c
Rational:有理數逼近,分子、分母共有的類型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~;此外,分子還包括constant型
Smoothing Spline:平滑逼近(翻譯的不大恰當,不好意思)
Sum of Sin Functions:正弦曲線逼近,有8種類型,基礎型是 a1*sin(b1*x + c1) Weibull:只有一種,a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)
選擇好所需的擬合曲線類型及其子類型,並進行相關設置:
——如果是非自定義的類型,根據實際需要點擊「Fit options」按鈕,設置擬合演算法、修改待估計參數的上下限等參數;
——如果選Custom Equations,點擊「New」按鈕,彈出自定義函數等式窗口,有「Linear Equations線性等式」和「General Equations構造等式」兩種標簽。
在本例中選Custom Equations,點擊「New」按鈕,選擇「General Equations」標簽,輸入函數類型y=a*x*x + b*x,設置參數a、b的上下限,然後點擊OK。
(5)類型設置完成後,點擊「Apply」按鈕,就可以在Results框中得到擬合結果,如下例: general model: f(x) = a*x*x+b*x
Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 0.009194 (0.009019, 0.00937) b = 1.78e-011 (fixed at bound)
Goodness of fit: SSE: 6.146 R-square: 0.997
Adjusted R-square: 0.997 RMSE: 0.8263
同時,也會在工具箱窗口中顯示擬合曲線。
這樣,就完成一次曲線擬合啦,十分方便快捷。當然,如果你覺得擬合效果不好,還可以在「Fitting」窗口點擊「New fit」按鈕,按照步驟(4)~(5)進行一次新的擬合。
不過,需要注意的是,cftool 工具箱只能進行單個變數的曲線擬合,即待擬合的公式中,變數只能有一個。對於混合型的曲線,例如 y = a*x + b/x ,工具箱的擬合效果並不好。下一篇文章我介紹幫同學做的一個非線性函數的曲線擬合。
『肆』 請問採用什麼方法能擬合出方程里的兩個參數
採用什麼方法能擬合出方程里的兩個參數?一般可以用nlinfit()、 lsqcurvefit()、 lsqnonlin()這三個常用的函數來擬合系數,也可以用遺傳演算法來求。今以nlinfit函數為例說明,其擬合過程:
第一步,將三個自變數賦值給x,一個因變數賦值給y。即 x=[自變數1,自變數2,自變數3];y=[因變數];
第二步,自定義數學模型表達式。即 func=@(a,x) 數學模型表達式
第三步,初定擬合系數的初值,即a0=[a01,a02,a03,a04] %這里假定未知系數有4個
第四步,使用nlinfit函數求解其數學模型的系數,即
[a,r,J]=nlinfit(x,y,func,x0);
第五步,使用 nlparci函數求擬合系數的置信區間,即
ci = nlparci(p,r,J)
第六步,計算擬合值,即 yi=func(a,x)
第七步,計算擬合精度R²,判斷擬合是否成功。
『伍』 曲線擬合一般有哪些方法
用Matlab進行曲線擬合步驟:
一、 單一變數的曲線逼近
Matlab有一個功能強大的曲線擬合工具箱 cftool ,使用方便,能實現多種類型的線性、非線性曲線擬合。下面結合我使用的 Matlab R2007b 來簡單介紹如何使用這個工具箱。
假設我們要擬合的函數形式是 y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。
1、在命令行輸入數據:
》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475];
》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50];
2、啟動曲線擬合工具箱 》cftool
3、進入曲線擬合工具箱界面「Curve Fitting tool」 (1)點擊「Data」按鈕,彈出「Data」窗口;
(2)利用X data和Y data的下拉菜單讀入數據x,y,可修改數據集名「Data set name」,然後點擊「Create data set」按鈕,退出「Data」窗口,返回工具箱界面,這時會自動畫出數據集的曲線圖;
(3)點擊「Fitting」按鈕,彈出「Fitting」窗口;
(4)點擊「New fit」按鈕,可修改擬合項目名稱「Fit name」,通過「Data set」下拉菜單選擇數據集,然後通過下拉菜單「Type of fit」選擇擬合曲線的類型,工具箱提供的擬合類型有: Custom Equations:用戶自定義的函數類型
Exponential:指數逼近,有2種類型, a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x) Fourier:傅立葉逼近,有7種類型,基礎型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w) Gaussian:高斯逼近,有8種類型,基礎型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
Interpolant:插值逼近,有4種類型,linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
Polynomial:多形式逼近,有9種類型,linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
Power:冪逼近,有2種類型,a*x^b 、a*x^b + c
Rational:有理數逼近,分子、分母共有的類型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~;此外,分子還包括constant型
Smoothing Spline:平滑逼近(翻譯的不大恰當,不好意思)
Sum of Sin Functions:正弦曲線逼近,有8種類型,基礎型是 a1*sin(b1*x + c1) Weibull:只有一種,a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)
選擇好所需的擬合曲線類型及其子類型,並進行相關設置:
——如果是非自定義的類型,根據實際需要點擊「Fit options」按鈕,設置擬合演算法、修改待估計參數的上下限等參數;
——如果選Custom Equations,點擊「New」按鈕,彈出自定義函數等式窗口,有「Linear Equations線性等式」和「General Equations構造等式」兩種標簽。
在本例中選Custom Equations,點擊「New」按鈕,選擇「General Equations」標簽,輸入函數類型y=a*x*x + b*x,設置參數a、b的上下限,然後點擊OK。
(5)類型設置完成後,點擊「Apply」按鈕,就可以在Results框中得到擬合結果,如下例: general model: f(x) = a*x*x+b*x
Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 0.009194 (0.009019, 0.00937) b = 1.78e-011 (fixed at bound)
Goodness of fit: SSE: 6.146 R-square: 0.997
Adjusted R-square: 0.997 RMSE: 0.8263
同時,也會在工具箱窗口中顯示擬合曲線。
這樣,就完成一次曲線擬合啦,十分方便快捷。當然,如果你覺得擬合效果不好,還可以在「Fitting」窗口點擊「New fit」按鈕,按照步驟(4)~(5)進行一次新的擬合。
不過,需要注意的是,cftool 工具箱只能進行單個變數的曲線擬合,即待擬合的公式中,變數只能有一個。對於混合型的曲線,例如 y = a*x + b/x ,工具箱的擬合效果並不好。下一篇文章我介紹幫同學做的一個非線性函數的曲線擬合。
『陸』 線性回歸的擬合方程
一般來說,線性回歸都可以通過最小二乘法求出其方程,可以計算出對於y=bx+a的直線,其經驗擬合方程如下:
其相關系數(即通常說的擬合的好壞)可以用以下公式來計算:
雖然不同的統計軟體可能會用不同的格式給出回歸的結果,但是它們的基本內容是一致的。以STATA的輸出為例來說明如何理解回歸分析的結果。在這個例子中,測試讀者的性別(gender),年齡(age),知識程度(know)與文檔的次序(noofdoc)對他們所覺得的文檔質量(relevance)的影響。
輸出:
Source | SS df MS Number of obs = 242
-------------+------------------------------------------ F ( 4, 237) = 2.76
Model | 14.0069855 4 3.50174637 Prob > F = 0.0283
Resial | 300.279172 237 1.26700072 R-squared = 0.0446
------------- +------------------------------------------- Adj R-squared = 0.0284
Total | 314.286157 241 1.30409194 Root MSE = 1.1256
------------------------------------------------------------------------------------------------
relevance | Coef. Std. Err. t P>|t| Beta
---------------+--------------------------------------------------------------------------------
gender | -.2111061 .1627241 -1.30 0.196 -.0825009
age | -.1020986 .0486324 -2.10 0.037 -.1341841
know | .0022537 .0535243 0.04 0.966 .0026877
noofdoc | -.3291053 .1382645 -2.38 0.018 -.1513428
_cons | 7.334757 1.072246 6.84 0.000 .
------------------------------------------------------------------------------------------- ,,
其中,代表y的平方和;是相關系數,代表變異被回歸直線解釋的比例;就是不能被回歸直線解釋的變異,即SSE。
根據回歸系數與直線斜率的關系,可以得到等價形式:,其中b為直線斜率 ,其中是實際測量值,是根據直線方程算出來的預測值